«Текстовые задачи на решение неравенств и их систем в целых числах»

автор: Лобанова Людмила Викторовна

учитель математики МБОУ СОШ №2 Барабинского района Новосибирской области

«Текстовые задачи на решение неравенств и их систем в целых числах»

 

 

 

 

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 Барабинского района Новосибирской области

Исследовательская работа по математике

«Текстовые задачи на решение неравенств

 и их систем в целых числах»

Выполнила:

ученица 8 «б» класса

Семениченко Алина

Руководитель:

учитель математики 

высшей квалификационной категории

Лобанова Людмила Викторовна

 

                     Содержание:

 

1. Цель и задачи……………………………………………..стр. 3
2. Введение…………………………………………………..стр. 4
3. Виды и методы решения задач…………………………..стр. 5-8
4. Практическая часть………………………………………..стр. 9-11
5. Примеры задач из сборника по подготовке к ЕГЭ………стр. 12
6. Заключение…………………………………………………стр. 13
7. Литература…………………………………………………стр. 14

 

Цель и задачи:

                              

Цель:  рассмотреть решение текстовых задач с помощью неравенств в целых числах.

Задачи:

– закрепить умения и навыки решать неравенства и системы неравенств;

– разобрать некоторые нестандартные приемы решения задач;

– научиться различать, видеть основные приемы, подходы решения неравенств и систем и применять их в традиционных и нетрадиционных примерах и задачах;

– воспитывать чувство уверенности в себе, своих силах.

 

Введение.

 

В задачах на составление уравнений и неравенств,  их называют ещё текстовыми задачами, как правило, речь идёт о конкретных ситуациях из практической деятельности. Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. При  решении задач выписываются соотношения, представляющие собой математическую модель описанной в задаче практической ситуации. Таким образом, текстовые задачи позволяют проверить не только навыки в решении уравнений и неравенств, но и умение описывать с помощью математических соотношений реальные события. Решение таких задач способствует развитию логического мышления, умению самостоятельно проводить небольшие исследования. Этим и объясняется тот факт, что задачи на составление уравнений и неравенств являются непременным элементом вариантов вступительных экзаменов.

 

Виды и методы решения задач

Текстовая задача — это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Текстовые задачи отличаются большим разнообразием содержания и могут существенно различаться по уровню сложности. Стандартные текстовые задачи, в которых условия записываются в виде уравнений, число которых равно числу неизвестных, обычно не вызывают особых затруднений, хотя и здесь могут встретиться непредвиденные сложности. Что же касается «нестандартных» по содержанию задач, то при их решении часто возникают трудности, объяснимые именно их непривычностью, необходимостью анализировать, рассуждать, а не просто формально решать системы уравнений или неравенств.

Все текстовые задачи по методике решения можно подразделить на основные виды:

– текстовые задачи группы vts (задачи на движение, на производительность, на цену – количество, стоимость, на перевозку груза и заполнение ёмкостей);

– процентносодержащие текстовые задачи и задачи на доли (задачи на проценты и доли, задачи с экономическим содержанием);

– текстовые задачи на прогрессии (применение формул арифметической и геометрической прогрессий и свойств этих последовательностей);

– текстовые задачи на целые числа (использование кратности чисел и запись чисел через сумму поразрядных произведений и через неполное частное и остаток);

– текстовые задачи на оптимизацию (решение задач с помощью неравенств и элементов математического анализа).

Методика алгебраического способа решения текстовых задач (с помощью уравнений и неравенств).  

 Основные моменты:

Этап	Цель	Форма записи
1.Арифметическая краткая запись условий задачи.	Осмысление задачи.	Схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи
2. Алгебраическая краткая запись условий задачи.	Удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.	такая, как и на 1этапе, но только вместо знаков “?” везде записать выражения с переменной.
3.Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).	Опираясь на условия задачи составить уравнение или неравенство ( систему уравнений или неравенств ) и найти его (её) решение.	Уравнение или неравенство, система уравнений или неравенств.
4.Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).	Из всех найденных решений уравнений или неравенств (систем уравнений или неравенств) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и, по мере необходимости, довычислить искомую величину.	Провести проверку  решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.
5.Ответ.	Записать правильный ответ, удовлетворяющий всем описанным условиям задачи и отвечающий на её “главный вопрос”.

 

Немного остановлюсь подробнее на этапах:

1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.

Важно помнить: этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями. На этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно “увязать” все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж. Неизвестные величины удобно обозначать знаком “?”, а “главный вопрос” задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти “Ответ”, так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять.

Значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Например: V,t,s-скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка); р,V,m-плотность вещества, объём тела, масса тела; W,t,V–производительность, время работы, объём работы; a,b,P,S–две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь; А0,р,n,An-первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А0 на р процентов n раз; MА,СА,M–масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси; mn=10m+n–запись двузначного числа, где m,n–цифры.

Схематический чертёж оказывает большую помощь в задачах “на движение”. Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации–встречи, остановки, повороты и тому подобное.

2 этап. Алгебраическая краткая запись условий задачи.

Обычно, этот этап в оформлении задачи начинается с фразы “Пусть х ед.-…,тогда…”,

не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных. Наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства.

Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи, точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи.

При введении переменных, следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. Часто имеет место ситуация, когда составленная по условию задачи система уравнений не позволяет однозначно определить неизвестные, однако, искомая величина, являющаяся некоторой комбинацией введенных неизвестных, находится однозначно. В большинстве задач “главный вопрос” подсказывает выбор переменной.

3 этап. Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами “По условию задачи (выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).”

 При составлении математической модели необходимо учитывать ОДЗ переменной (переменных) помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств). Для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы: S=vt-вычисление длины пути, пройденного телом; m=pV-вычисление массы тела; V=Wt-вычисление объёма работы; S=ab–вычисление площади прямоугольника.

В простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных. Но, если число уравнений (неравенств) оказалось меньше числа неизвестных и при этом использованы все условия задачи, то надо попытаться выразить то, что нужно найти, через введенные неизвестные. В корректной задаче, если все условия использованы, то нужное неизвестное или нужная комбинация неизвестных обязательно найдётся.

4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Обычно этот этап в оформлении задачи начинается фразой “По смыслу задачи х, должна быть величиной… (натуральной, положительной, целой, принадлежащей промежутку и так далее), (проверка на выполнение условий задачи по смыслу найденного значения переменной)=>(значение х) –постороннее решение ( если смысловое условие не выполнено) или (значение х)–(записать пояснение к найденной величине, если смысловое условие выполнено).”

Не каждое решение уравнения может являться решением задачи. Для любой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.

 

Практическая часть.

ЗАДАЧА 1.

Прибывших на парад солдат планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смогли участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первоначально предполагаемое число рядов- n, тогда число прибывших солдат равно 24n. После перестроения число рядов стало равным n-2, а число человек в ряду – соответственно n+24. Очевидно, что число солдат после перестроения явно меньше числа прибывших первоначально. Итак, число прибывших: 24n; число солдат после перестроения (n-2)*(n+24). Составим неравенство: 24n >(n-2)*(n+24)

 Получили: n2 – 2n – 48< 0

D=196, n1=8; n2= -6, n ϵ (0;8), n=1;2;3;4;5;6;7

Решая его, получаем, что число рядов лежит в интервале (-6;8). Число рядов может быть целым и положительным. Следовательно, круг решений ограничен от 1 до 7. Учитывая, что число человек в ряду, после перестроения, рано числу рядов,

 т.е. x2=24n,x= 2. Единственное число, удовлетворяющее этому условию  n=6, а соответствующее число солдат равно 144.

Ответ: 144

ЗАДАЧА 2.

Бригады рабочих получали спецодежду со склада по 2 комплекта на каждого человека. Каждая бригада получала на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов спецодежды было на складе?

РЕШЕНИЕ: Пусть было x бригад и n рабочих в каждой бригаде. Тогда число комплектов на каждую бригаду будет 2n, что на 20 больше, чем число бригад, т.е. 2n=x+20.

Если бы бригад было x+4, и каждая получила по 12 комплектов, то общее количество спецодежды было бы 12(x+4) и превысило бы их количество на складе: 12*(x+4) > 2nx . 

Это равносильно неравенству: 12*(x+4)>x*(x+20) 

X2+8x-48<0

D=256, x1=-12, x2=4, x ϵ (-12;4)

Условию задачи удовлетворяют лишь три числа: 1,2,3.

Далее из 2n=x+20 получаем, что x= 2n – 20, т.е. x – четное число, т.е. бригад 2 штуки. Итак, 2n – 20 =2, n=11, а число комплектов спецодежды будет равно 2nx= 2*11*2 = 44.

Ответ: 44.

ЗАДАЧА 3.

Токарю необходимо сделать 90 деталей, а ученику – 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью, вдвое большей, производительности ученика. Остальные 60 деталей он делал, повысив производительность ещё на 2 детали. Токарь свою работу закончит не раньше ученика, чем на 1 час. Однако, если бы токарь и первые 30 деталей делал с такой же производительностью, как оставшиеся 60, то он закончил бы работу не раньше чем через 30 минут после ученика. Какова производительность ученика?

РЕШЕНИЕ:

 За x дет/ч примем производительность ученика. Тогда ученик затратил времени ч.  Первые 30 деталей токарь делал с производительностью 2x , а остальные 60 с производительностью (2x+2),т.е. он затратил времени + ч. По условию, токарь свою работу закончит не раньше ученика, чем на 1 час. Известно, что при производительности (2x+2) на 90 деталей токарь закончит работу не раньше, чем через 30 минут после ученика.   Получим систему неравенств:

  + – ≥ 1 ;

     – ≥

Условию удовлетворяет единственное значение x = 5.           Ответ: 5.

ЗАДАЧА 4.

Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:

План A: $250 плюс $10 в час; 

План B: $20 в час.

В каком из случаев выгоднее воспользоваться планом выплат A или B.

РЕШЕНИЕ:

Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?  Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает $250 + $10.20, или $250 + $200, или $450. Его заработок согласно плану B составит $20.20, или $400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n= 30, и согласно плану A, Эрик заработает $250 + $10.30, или $250 + $300, или $550. При плане B, он заработает $20.30, или $600, поэтому план B лучше в этом смысле.

 Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство. 

20n > 250 + 10n

10n > 250

n > 25

 Проверка. 

Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: $250 + $10.25, или $250 + $250, или $500, и выплаты согласно плану B составят $20.25, или $500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов, доход одинаков для каждого плана в разделе Понимание задачи мы видели, что согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов. Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.

 Вывод: 

Для значений n, больше чем 25 часов, план B является лучшим.

 

Примеры задач из сборника по подготовке к ЕГЭ.

ЗАДАЧА 1.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+11t-5t2 ,

где h- высота в метрах, t- время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

РЕШЕНИЕ:

Составим и решим неравенство:

1+11t-5t2 ≥3

-5t2+11t+1-3≥0

-5t2+11t -2≥0

-5t2+11t -2=0

D=81, D>0, 2 действительных корня: t1=0,2 ; t2 =2; tϵ [0,2;2].  Для ответа на вопрос необходимо найти ∆t.  ∆t=2-0,2=1,8

Ответ: 1,8

ЗАДАЧА 2.

Зависимость объема спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс.руб.) задается формулой q=85-5p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс.руб.) вычисляется по формуле r(p) = q*p. Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 300 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.рублей.

РЕШЕНИЕ:

Составим и решим неравенство: (85-5p)p≥300

-5p2 +85p-300≥0

-5p2 +85p-300=0

D=49, D>0, 2 действительных корня:p1 =5; p2 =12; pϵ [5;12]. Наибольшая цена p=12.

Ответ: 12

 

Заключение:

 

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Задачи выполняют очень важную функцию в курсе математики — они являются полезным средством развития  логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями.

Считаю, что поставленной цели: рассмотреть решения текстовых задач с помощью неравенств, добилась.

В ходе работы закрепила умения и навыки решать неравенства и системы неравенств, разобрала некоторые нестандартные приемы решения задач. Убедилась, что решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли. В процессе работы я расширила рамки школьной программы и испытала чувство удовлетворенности от приложенного труда.

 

Литература:

1. Бродский И.Л., Видус А.М. , Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов.- М.: АРКТИ, 2004
2. Иванов М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.
3. Лурье М.В., Александров Б.И.  Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.
4. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. (серия < В помощь абитуриенту>). Учебное пособие.- 3-е изд., стер. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. 
5. Семёнов А.Л., Ященко И.В. Математика: типовые экзаменационные варианты. М .-Издательство «Национальное образование», 2013.

 

Тезисы к работе «Текстовые задачи на решение неравенств и их систем в целых числах».

Цель:  рассмотреть решение текстовых задач с помощью неравенств в целых числах. Задачи: закрепить умения и навыки решать неравенства и системы неравенств;  разобрать некоторые нестандартные приемы решения задач; научиться различать, видеть основные приемы, подходы решения неравенств и систем и применять их в традиционных и нетрадиционных примерах и задачах; воспитывать чувство уверенности в себе, своих силах.

В задачах на составление уравнений и неравенств,  как правило, речь идёт о конкретных ситуациях из практической деятельности. Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. 

Решение таких задач способствует развитию логического мышления, умению самостоятельно проводить небольшие исследования. Этим и объясняется тот факт, что задачи на составление уравнений и неравенств являются непременным элементом вариантов вступительных экзаменов.

Текстовая задача — это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Текстовые задачи отличаются большим разнообразием содержания и могут существенно различаться по уровню сложности. 

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.