автор: Любомеров Роман Александрович 6 класс
Руководитель: Гомбожапова Лилия Норполовна
Учитель математики МБОУ ООШ с. Чля Николаевского района Хабаровского края
Признаки делимости натуральных чисел
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа с. Чля
Николаевского муниципального района Хабаровского края
Тема: Признаки делимости натуральных чисел
Выполнил: Любомеров Роман,
ученик 6 класса
Руководитель: Гомбожапова
Лилия Норполовна,
учитель математики.
с. Чля, 2022 г.
Содержание
- Введение ……………………………………………………………… 1
- Признак Паскаля и его частные случаи ……………………………. 3
- Признаки делимости на составные числа ………………………….. 4
- Применение признаков делимости …………………………………. 4
- Заключение …………………………………………………………… 4
- Список литературы …………………………………………………… 5
Введение
Математика – одна из великих наук, изучением которой занимались многие великие ученые, такие как Рене Декарт, Блез Паскаль и другие.
Актуальность: при изучении на уроках математики темы «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Возникает необходимость, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Мне стало интересно, существуют ли другие признаки делимости, откуда они возникли? Наверняка, существуют более интересные и сложные признаки. Таким образом, я определил тему исследовательской работы.
Тема исследовательской работы «Признаки делимости натуральных чисел».
Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Цель: исследовать признаки делимости на числа от 2 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
- Изучить теоретический материал по данной теме;
- Провести анализ признаков делимости и сгруппировать их по своим свойствам;
- Рассмотреть на практике применение выявленных признаков делимости.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.
Новизна: в ходе выполнения исследовательской работы я углубил свои знания по математике о признаках делимости натуральных чисел, систематизировал знания о признаках делимости и выяснил, как эти знания могут пригодиться на уроках. А, ведь знание их значительно упрощает процесс вычисления.
Методы исследования: сбор информации; использование интернет-ресурсов; обработка данных; наблюдение; сравнение; анализ; обобщение, практическое применение.
Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. Великий французский ученый Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами в уме. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля.
Признак Паскаля и его частные случаи
Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному, без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в десятичной системе счисления.
Блез Паскаль один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»).
Основные частные случаи. Признаки делимости, изучаемые в школе.
Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру.
Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (9).
Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0.
Признак делимости на 10: число делится на 10 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 0.
Признаки изученные мною.
Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4 или две последние цифры нули.
Например: 135 456 делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14; 500 делится на 4, т.к. две последние цифры 0.
Признак делимости на 7: число делится на 7 без остатка тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Например: 112 делится на 7, т.к. 11- 2*2=7 и 7: 7.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
Например: 58000 делится на 8, т.к. последние цифры нули.
Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.
Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
Например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.
Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.
Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.
Признаки делимости на составные числа
Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:
Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.
т.к. 6 = 2 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3.
Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.
т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.
Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.
Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.
т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.
Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.
т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.
Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда
число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.
т.к. 20 = 10 ∙ 2, т.е. число должно делиться на 2 и на 10.
Таким образом, все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1 группа – когда делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам) – это признак делимости на 2,4, 5, 8, 10.
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признак делимости на 3, на 9.
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признак делимости на 7, на 11, на 13, на 17, на 19.
4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости – это признак делимости на 6, на 12, на 14, на 15, на 18, на 20.
Применение признаков делимости
Пример 1: Проверьте делится ли без остатка 378015 на 3; на 5; на 11.
Решение:
Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:
3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3.
Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.
Наконец, число делится на 11, так как суммы его чётных цифр:
3 + 8 + 1 = 12 и нечётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.
Пример 2: Проверьте делится ли число
а) 845 без остатка на 13;
б) 646 без остатка на 19.
Решение: а) 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.
б) 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).
Задачи на признаки делимости из ЕГЭ по математике (базовый уровень)
- Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно число.
- Найдите пятизначное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Заключение
В результате изучения различной литературы, гипотеза была мною подтверждена, действительно существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики в огромном количестве. Вывел общий признак делимости великий французский ученый Паскаль. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля.
Систематизировав полученную информацию, я заметил, что, зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа. Я изучил признаки делимости на числа от 2 до 20. Знание и использование основных признаков делимости значительно упрощает процесс вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления.
Я узнал, что знание признаков делимости мне пригодится при сдаче экзамена по математике в 11 классе (базовый уровень), т.к. задача № 19 решается с помощью этих признаков.
Список литературы
- Воробьев Н.Н. Признаки делимости—4-е изд.—М.:Наука, 1988.— С. 96.
- Яковлин М.В. Свойства чисел, аналогичных теореме Безу, «Математика в школе», 1991, №6.
- http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).
- http://www.bymath.net (энциклопедия).
5.Мамонтова, Г.Г. Математика. Подготовка к тестированию/ Г.Г. Мамонтова.—Минск: ООО “Новое знание”, 2005. – 680 с.
6.Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4—8 классов средней школы / Ф.Ф.Нагибин. — М.: Просвещение, 1988.—190 с.
