ТЕМА: «ИЗУЧЕНИЕ О ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

автор: Колосова Ирина Дмитриевна

учитель математики ГБОУ школа №356, г.Санкт-Петербург

ТЕМА: «ИЗУЧЕНИЕ О ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ

 

ТЕМА: «ИЗУЧЕНИЕ О ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

                                                                                             Составитель:

                                                                                         Колосова Ирина Дмитриевна,

учитель математики,

 первая квалификационная категория

                                                         

2020

 

ВВЕДЕНИЕ

• настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности. Понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся.

       

Линейка темы «Функции» в программе по алгебре  в различных учебниках для основной школы

 

Линейка темы «Функции» – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 7 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

1. понимать, что   функция   –   это   математическая   модель,

позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей.

1. правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;

1. находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

1. находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;
2. строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;
3. интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

В школьных учебниках место изучения функций различно. В учебниках под ред. Теляковского в 7 классе вводятся понятия функции (как зависимость одной переменной от другой), аргумента, области определения функции, графика функции, рассматриваются способы задания функции. Там же изучается прямая пропорциональность, линейная функция и

степенные функции вида у = х2, у = х3, их свойства и графики. В 8 классе 

рассматриваются обратная пропорциональность и функция у = √χ . В 9 классе вводятся понятия возрастающей и убывающей функций, чётности и нечётности функций. Рассматриваются квадратичная функция (её график и свойства), простейшие преобразования графиков (на примере квадратичной функции) и степенная функция у = хn с натуральным показателем.

• учебниках Ш.А. Алимова понятие функции вводится в 7 классе, как зависимость одной переменной от другой. Но здесь не вводится понятие аргумента, области определения функции, а рассмотрены только способы задания функции и график функции. После этого изучаются прямая пропорциональность и линейная функция, их графики. В 8 классе рассматривается квадратичная функция, сначала изучается график и свойства функции у = х2 затем у = ах2   и   y=ax2 +bx +c . В 9 классе вводятся понятия области определения функции, возрастание и убывание функции, чётность и нечетность

функции. Рассматриваются обратная пропорциональность и степенная функция у = хn .

В учебниках А.Г. Мордковича функция начинает изучаться в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя переменными и его график, линейная функция, прямая пропорциональность и функция у = х2, их графики. Учащиеся учатся находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях, разъясняется запись y = f (x), а также вводится функциональная символика. В 8 классе рассматриваются следующие функции: у = к/х,  y = ax2 + bx + c ,  y = x   и их графики. В 9 классе вводятся определение функции, способы задания функции, область значения, область определения функции, свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические представления о непрерывности и выпуклости функции. 

• учебниках Г.В. Дорофеева изучение функциональной линии начинается в 7 классе. Здесь вводится понятие функции, таблица значений и график функции, пропорциональные переменные. Учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью, с линейной функцией, с функцией  y=k/x их свойствами и графиком, а также с графиком линейного уравнения с двумя переменными. В 8 классе изучается функция y = x2, в 9 классе рассматривается квадратичная функция и функция y = xn (особое внимание уделяется случаю n = 3.

Итак, можно сделать вывод, что в учебниках А.Г. Мордковича функциональная линия является ведущей. В других учебниках (выше рассмотренных) внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии в этих учебниках умеренное. В рассмотренных учебниках содержание и место изучения данной содержательной линии отличается не существенно.

В различных учебниках используются различные способы исследования функции.

В учебниках под ред. Теляковского применяется комбинированный метод в 7 и 8 классе, а в 9 классе – аналитический. В учебниках Ш.А. Алимова, Г.В. Дорофеева используется комбинированный метод, в учебниках А.Г. Мордковича – графический метод.

 

Остановимся на методике введения общего понятия функции по учебнику алгебры 7-го класса Ю. Н. Макарычева и др., в котором функция трактуется как особого рода зависимость одной переменной от другой. Термин «зависимость» мыслиться как связь между переменными. Такая точка зрения имеет богатые исторические корни, тесно связана с приложениями и позволяет полнее использовать язык графиков. Кроме того, у учащихся уже имеется достаточный опыт в использовании понятия зависимости между величинами. Поэтому целесообразно избирать индуктивный метод с эвристической беседой при введении понятия функции, рассмотрев и проанализировав три-четыре ранее встречающиеся зависимости между переменными, заданные формулой, графиком и таблицей, которые позволили бы раскрыть содержание терминов: «независимая переменная», «зависимая переменная». (в учебнике предлагаются четыре задачи на движение, площади квадрата, стоимости проезда, графике температуры, в которых величины выступают как переменные). При этом подчеркнуть, что каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Сообщить, что такая зависимость одной переменной от другой называется функциональной, или функцией. После такой подготовительной работы можно вводить определение, а затем термины «аргумент», «область определения функции», «значения аргумента и функции». Важно обратить внимание на то, что термин «функция» в учебнике употребляется в двух смыслах: как особого рода зависимость между двумя переменными, так и сама зависимая переменная. Для учащихся должны быть привычными обороты речи типа «площадь квадрата является функцией длины его стороны», «зависимость площади квадрата от длины его стороны является функциональной» и т. п.

Учащиеся учатся при любом способе задания находить значение функции по значению аргумента и решать обратную задачу, осуществлять переход от одного способа задания функции к другому (если это возможно). Каждый из названных способов задания функции обладает определенными недостатками (какими?), поэтому на практике пользуются одновременно несколькими из них. Не допускать в речи учащихся фразы «функция y = 2x + 5», заменяющей правильное произношение «функция, заданная формулой y = 2x + 5», т. к. это приводит к ошибочному отождествлению функции с формулой. Учитель должен постоянно подчеркивать различие между этими понятиями. Следует обращать внимание учащихся на то, что при задании функции формулой необходимо указывать область определения – множество значений независимой переменной. На данном этапе продолжается работа по формированию умения строить и читать графики реальных зависимостей, выяснять, принадлежит ли точка графику, выполнять задания на подведение конкретных зависимостей под понятие.

Аналогичный подход раннего введения понятия функции принят и в учебниках алгебры 7-го класса Ш. А. Алимова и др.; К. С. Муравина и др. как одной из пары переменных (y есть функция x – y(x)).

• определении функции по К. С. Муравину и др. включены слова «допустимое значение» для переменной x, появление этих слов объясняется учащимся тем, что буквенные выражения, с помощью которых задаются функции, не всегда имеют смысл. В других учебниках федерального списка формально-логическое определение функции дается позднее (8-й или 9-й класс). К этому времени учащиеся уже знакомы со множеством действительных чисел и поэтому можно без опасений говорить об области определения функции и графики строить в виде непрерывной линии.

• большинстве школьных учебников алгебры изучение темы «Линейная функция» традиционно начинается с прямой пропорциональности и ее графика. С понятием прямой пропорциональной зависимости двух величин, числовые значения которых выражаются положительными числами, учащиеся уже знакомы. Им известно, что две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Они решали задачи на пропорциональные величины с помощью пропорции, учитывая, что отношения соответствующих значений этих величин равны. Поэтому зависимость называлась прямой пропорциональностью. Вышеприведенное определение верно только для положительных чисел. В алгебре оно заменяется на другое, которое включает и отрицательные числа.

Изучение прямой пропорциональности целесообразно начать с рассмотрения нескольких подводящих задач, которые учащиеся уже неоднократно решали. Например, таких:

 

1. Мотоциклист двигался со скоростью 16 м/с в течение t секунд. Сколько метров (s) проехал он за это время?
2. Ученик купил n карандашей по 5 р. Сколько рублей (r) он заплатил за покупку?

Далее внимание учащихся следует обратить на то, что формулы, выражающие совершенно различные явления, имеют одинаковую математическую структуру и в общем виде могут быть записаны одной формулой: y=kx, где k ≠ 0, х и у – две переменные. Поэтому можно сказать, что такие явления описываются одной и той же функцией, которую можно назвать прямой пропорциональностью. После этого формулируется определение: прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой видау= kх, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Обратить внимание учеников на исключение, что k ≠ 0, т. к. k – это коэффициент прямой пропорциональности. Для усвоения определения необходимо предлагать учащимся упражнения на распознавание прямой пропорциональности среди функций, заданных формулой (таблицей), нахождение коэффициента пропорциональности. При пропорциональности переменных выражение, стоящее в правой части формулы, имеет смысл при всех значениях х и каждому х соответствует единственное у, следовательно, формула задает функцию. Теперь можно перейти к построению и изучению графика прямой пропорциональности. Учащимся предлагается построить несколько графиков функции (например, у = 2х, у = 0,5х, у = —2х) по нескольким точкам (например, шести-семи), зафиксированным в таблице значений. После нанесения точек на координатную плоскость учащиеся с помощью линейки (эмпирически) убеждаются, что все отмеченные точки лежат на прямой, которая проходит через начало координат. Проведя с помощью линейки прямую в каждом случае, ученики убеждаются, что она и является графиком заданной функции. Из курса геометрии учащиеся знают, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для построения графика достаточно вычислить координаты двух точек, одной из которых может быть начало координат. На первых порах в целях контроля за вычислениями и построением целесообразно находить координаты третьей точки. Далее можно перейти к исследованию расположения графика в координатной плоскости в зависимости от коэффициента. Предварительно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы на координатной плоскости построить графики конкретных функций при различных значениях k>0 и k<0, а затем ответить на вопрос: от чего зависит расположение графиков в каждом случае? Рассматривая графики, учащиеся наглядно установят роль коэффициента. Итогом проделанной работы будет общий вывод, касающийся графика изучаемой функции:

• графиком является прямая;

 

• прямая проходит через начало координат;

 

• прямая строится по двум точкам;

 

• прямая располагается при k>0 в I и III координатных четвертях, а при k<0 – во II и IV;

 

• прямая не совпадает с осями координат;

 

• точка принадлежит прямой, если ее координаты соответствующие друг другу значения аргумента и функции.

Следующий шаг ‒ изучение очередной функции – линейной и ее графика. Название говорит о геометрической модели функции прямой линии, служащей ее графиком. Знакомство с новой функцией происходит с опорой на знания о прямой пропорциональности и осуществляется по тому же плану. Вначале рассматриваются две-три сюжетные задачи в качестве мотивировки. Приведем возможные из них:

• 1. Автомобиль, находясь в 5 км от города, начал движение от него со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии (s) от города он будет через t ч?
  2. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе (m) через n дней? Решение задач приводит к двум формулам: s= 60 t + 5 (t 0), m = — 30 n + 500(n =1, 2,16), которые не напоминают прямую пропорциональность, следовательно, имеем дело с новой функцией, которая задается общей формулой у= kx + b и называется линейной. Как видим, формула возникает в результате обобщения результатов реальных ситуаций. Дается соответствующее определение. Внимание учеников обращается на то, что в формулировке нет ограничений на числа k и b. Сразу же необходимо заметить, что если в формуле положить b = 0, то будем иметь при k ≠ 0 уже изученную функцию, т. е. линейная функция обратилась в прямую пропорциональность. Этот факт может навести учащихся на мысль, что у этих функций много общего. Все эти теоретические знания целесообразно подкреплять наглядными графиками, выполненными заблаговременно учителем в различных прикладных программах, и предложить ребятам выполнить построение на бумаге, а в качестве творческой работы дома с помощью ЭТ или диаграмм.

Квадратичная зависимость между величинами обнаруживается как в самой математике, так и в её приложениях в других науках и в технической практике. С помощью квадратичной функции выражаются законы многих явлений и процессов в природе и технике. Этим объясняется повышенное внимание к ней в школьной программе, которая предусматривает сначала изучение элементарными средствами (основная школа), затем – с помощью понятия производной (старшая школа). В основной школе учащиеся имеют возможность познакомиться с новыми свойствами функций; с построением и чтением более сложных графиков; с элементарными преобразованиями графиков; с решением простейших задач на максимум и минимум; с графическим способом решения квадратного уравнения и неравенства и др. Решение квадратного уравнения и неравенства целесообразно приблизить к изучению квадратичной функции, т. к. этот материал тесно взаимосвязан. Кроме того, нужно подчеркнуть различие между понятиями «квадратное уравнение» и «квадратичная функция»: при решении уравнения ax2+bx+c=0 мы находим те значения x (корни уравнения), при которых равенство обращается в тождество, а при изучении функции y= ax2+bx+c интересуемся законом, по которому каждому значению x соответствует определенное значение y (учащиеся часто смешивают эти понятия). Квадратичную функцию часто называют еще квадратным трехчленом, т. к. в правой части формулы он и записан. Изучение квадратичной функции по традиции в основной школе проводится поэтапно. По числу выделяемых этапов учебники различаются. В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. последовательность такова: y=x2 (7-й класс), y=ax2, y=ax2+n, y=a(x–m)2, y=a(x‒m)2+n, y=ax2+bx+c (9-й класс); в учебниках Ш.А. Алимова и др. весь материал сосредоточен в 8-м классе и особо выделяются три функции: y=x2, y=ax2, y=ax2+bx+c. Постепенное рассмотрение графиков частных случаев квадратичной функции необходимо для нахождения наиболее рационального способа её построения, поскольку по выбранным точкам, принадлежащим графику, трудно установить его вид. Чтобы легче было определить точки, нужно преобразовать квадратный трехчлен, задающий функцию. На конкретном графическом материале учащиеся знакомятся с линейными преобразованиями графиков. Кроме того, по формуле y=a(x‒m)2+n можно провести простейшие исследования свойств функции, не используя график. Заметим, что во всех учебниках алгебры излагаются свойства функций y=x2 и y=ax2, а также вытекающие из них особенности графиков. Исследование свойств квадратичной функции в общем виде не предусматривается. Учащиеся должны уметь исследовать только конкретные примеры функций по построенному графику и частично по аналитическому заданию (формуле). 

Для облегчения построения графиков целесообразно использовать лекала (шаблоны) парабол y=x2, y=0,5x2, y=2x2, y=1/3x2, y=3x2 (для классной доски с масштабом 1дм = 1ед., для тетради – 1см = 1ед.), координатную сетку, миллиметровую бумагу. На уроках применять готовые таблицы различных графиков, использовать компьютерные варианты преобразований графиков.

При изучении квадратичной функции графический метод разумно сочетается с аналитическим методом.

Изучение семейства квадратичной функции начинается с y=x2, связанной с действием возведения числа в квадрат. В некоторых учебниках эта функция ещё и не получает названия. Но она важна тем, что учащиеся знакомятся с новым видом функциональной зависимости, отличным от линейной (графиком, его особенностями и свойствами), её график в дальнейшем поможет ввести понятия четности и монотонности функции, иррационального числа, установить неравномерный характер изменения значений функции и др. Мотивировкой изучения функции является задача об установлении зависимости площади квадрата от длины его стороны. График функции y = x2 строится по большому числу точек, координаты которых занесены в таблицу. Для большей точности построения нужно проследить, как график ведет себя вблизи начала координат, для чего полезно дополнительно выбрать еще несколько значений функции на отрезке [-1;1]. После нанесения точек на координатную плоскость и соединения их можно выявить некоторую плавную кривую линию. Дается название полученной линии – парабола. Обращается внимание на то, что график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси ординат, а на рисунке мы изображаем только часть его.

Исходя из формулы, таблицы и графика, формулируют свойства функции и графика, а также дают им обоснование.

В 8-м или 9-м классе вводится понятие квадратичной функции, рассматриваются её свойства, особенности графика и приёмы построения параболы, приводятся примеры квадратичной зависимости величин. Квадратичная функция определяется, как обычно, формулой y=ax2+bx+c. Здесь же выясняются её частные случаи в зависимости от коэффициентов b и c (один или оба равны нулю); коэффициент, а≠0 по определению. Учащиеся должны научиться распознавать квадратичную функцию по формуле и определять коэффициенты. Изучение квадратичной функции начинается с частного случая y=ax2 (а≠0). При а=1 получаем уже знакомую функцию y=x2, которая послужит своеобразным эталоном при изучении других функций.

Уместно показать на двух-трех задачах потребность в особом изучении функции y=ax2. Например, сопротивление среды движению тела (самолета, подводной лодки) пропорционально квадрату его скорости; путь, пройденный телом при равномерно-ускоренном (замедленном) движении, пропорционален квадрату времени; площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Вызвав познавательный интерес к функции, можно её изучение начать с выяснения влияния коэффициента (а≠1) на поведение функции (иначе говоря установление геометрического смысла а) при а>1, 0<a<1, a<0. Для этого предложить ученикам в одной системе координат построить графики функции y=ax2 при различных значениях а (а=1; 2; 0,5; -2 Предложить занести значения функций в таблицу и на графике для одних и тех же значений аргумента, выяснить особенности расположения графиков в сравнении с графиком при а=1. Учащиеся знакомятся с понятиями растяжения и сжатия графика, однако отработка этих преобразований не приводится. Говорится о симметрии графиков относительно оси абсцисс при a>0 и при a<0. От величины коэффициента а зависит степень крутизны параболы: большему значению а соответствует более «крутая» парабола, меньшему – более «пологая», а от его знака – направление ветвей параболы. После выяснения особенностей расположения параболы формулируются свойства функции y=ax2 при a>0 и при a<0, выясняется их общность и различие. 

Изучение двух других частных случаев квадратичной функции y=ax2+n и y=a(x-m)2 происходит по аналогии с первым случаем, но здесь главное внимание обращается на построение графиков, а свойства их остаются в тени. Эталоном для сравнения будет выступать уже функция y=ax2 (а≠1). Рассуждения все ведутся на конкретных примерах функций. Для первого случая можно выбрать y=2x2 , y=2x2+2, y=2x2‒2, для второго ‒ y=2x2, y=2(x‒2) 2, y=2(x+2) 2. Сравнивая  составленные  таблицы  значений  функций  и  соответствующие графики, учащиеся смогут сформулировать вывод.

Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической, обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции – это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций. Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции — однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение: «Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x.» Далее следует пояснение данного сопоставления на примере. Равенство y=2x-1 каждому значению y ставит в соответствии следующее значение x: x=(y+1)/2. например при у=1 х=1; при у=2 х=1,5; при у=3 х=2 и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y=2x-1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: x=(y+1)/2. «Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы: y=f(x), и х=φ(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде, мы получим у=φ(х). Определенная таким образом функция у=φ(х) называется обратной по отношению к функции y=f(x). Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.»

Методика введения понятия функции вида y=√¯х основана на аналогичном примере: Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь S cм². Каждому, значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S=a², где a>0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой a=√¯S. Формулами S=a², где a>0, a=√¯S задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата a, а во втором — площадь S. Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:  у=х², где х>0, и у=√¯х.

Построим график известной учащимся функции у=х² и предложить им составить таблицу значений функции у=√¯х. По точкам таблицы построить график функции у=√¯х и затем предложить сформулировать некоторые свойства функции. Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительно прямой у=х.

Для закрепления темы найти по графику значения аргумента по функции и наоборот.   Пользуясь графиком найдите:

а) значение √¯х при х=0,5; 5,5; 8,4;

б) значение х, которому соответствует √¯х =1,2; 1,7; 2,5

При обучении функциям целесообразно использовать компьютерные технологии, что позволяет активизировать устойчивый интерес к математике, получить всесторонние представления об изучаемом математическом объекте.