Региональный этап IХ Всероссийского конкурса исследовательских работ учащихся 5- 7 классов «Тропой открытий В.И. Вернадского»
Направление: Математика
«Практическое применение пропорций в повседневной жизни»
Фатхеева Руфина Фанисовна,
ученица 6 Б класса
МБОУ «Стародрожжановская средняя
общеобразовательная школа №1»
Дрожжановского муниципального района РТ
Научный руководитель:
Рахматуллова Лилия Асхатовна
учитель математики
МБОУ «Стародрожжановская средняя
общеобразовательная школа №1»
Дрожжановского муниципального района РТ
2026г.
Оглавление.
Введение ……………………………………………………………….……3
Глава 1. Теоретическая аспекты понятия и историй пропорций…………3
1.1. Истории изучения пропорций и её основные понятия………………3
1.2. Связь пропорций с разными науками…………………………………4
Вывод…………………………………………………………………………7
Приложение 1
к проекту «Практическое применение пропорций в повседневной
жизни». Сборник задач для учащихся 6 класса……………………………8
Введение
В этом учебном году на уроках математики мы изучили тему «Пропорция». Научились решать задачи на прямую и обратную пропорциональности, на деление числа в данном отношении и на проценты, изучили понятие масштаба. Умение решать эти задачи помогает мне в решении многих практических ситуаций. Задач в учебнике, содержащих материал моего района, нет. И я задумалась: как пополнить математический опыт и лучше узнать родной район и что же для этого я могу сделать? И вот мне и пришла идея составить сборник математических задач по теме «Практическое применение пропорций в повседневной жизни». Так возникла следующая проблема. Можно ли с помощью составления задач пополнить математический опыт и лучше узнать родной район.
Цель: узнать, где применяются пропорции в жизни человека, составить сборник задач для учащихся 6 класса по теме «Практическое применение пропорций в повседневной жизни» с использованием краеведческого материала о муниципальном Дрожжановском районе РТ и его жителях, которые заинтересуют моих одноклассников.
Гипотеза: человек применяет пропорции в разных сферах жизни.
Задачи: найти информацию о пропорции в различных источниках, материал о Дрожжановском муниципальном районе РТ и его жителях; решить представленные в учебнике задачи и составить аналогичные, связанные с родным районом; подготовить карточки с задачами и предложить одноклассникам решить их; сделать презентацию и выступить перед ребятами.
Глава 1. Теоретическая аспекты понятия и историй пропорций.
1.1. Истории изучения пропорций и её основные понятия.
Слово «пропорция» происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, расстояние между объектами на географической карте отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб карты. Такое равенство отношений и называют пропорцией. Пропорции используют с древности при решении разных задач в математике. В Вавилоне с помощью пропорций рисовали планы древних городов. При раскопках был найден план древнего вавилонского города Ниппура. Когда ученые сравнили результаты раскопок города с этим планом, оказалось, что он сделан с большой точностью.
Таким образом, изучение темы «Практическое применение пропорций в повседневной жизни» имеет большое значение для формирования всесторонне развитых личностей, готовых эффективно решать практические задачи и вносить вклад в развитие современного общества.
Основное свойство пропорции. Если a : b = c : d, то a∙d = b∙c. Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то a : c = b : d, d : b = c : a.
Математика применяется практически во всех сферах жизни человека. И в повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию.
1.2. Связь пропорций с разными науками.
Пропорция в кулинарии является основой рецептов приготовления пищи. Например, правильное соотношение ингредиентов обеспечивает вкус и качество блюда. Рассмотрим пример рецепта блинов: 1 стакан муки; 2 стакана молока; 2 шт. яйца; 2 ст. л. сахара; щепотка соли. Здесь важно соблюдать пропорцию муки и молока, чтобы тесто получилось нужной консистенции.
Таким образом, соблюдение правильных пропорций позволяет создать идеальное блюдо, соответствующее традициям и предпочтениям вашей кухни.
Пропорции играют важную роль в медицине при определении дозировок лекарств, расчёте питательных веществ, а также при оценке физических параметров пациента. Математические вычисления пропорций помогают врачам и исследователям анализировать данные, делать выводы и принимать решения.
Например: Расчёт дозы лекарства. Для лечения инфекции рекомендуется принять 10 мг антибиотика на 1 кг веса. Нужно определить, сколько миллиграммов антибиотика нужно принять человеку весом 70 кг.
Приготовление растворов. Раствор димексида для компресса разводят в пропорции 1:5, то есть 1 часть димексида и 5 частей воды.
Таким образом, все химические вещества взяты в определенном соотношении друг к другу, с использованием пропорций.
На уроках технологии также используют пропорцию. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров фартука в одно и тоже число раз.
В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на карте меньше, чем указанное расстояние на самом деле.
Существуют разные виды масштаба: численный, линейный и именованный. Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.
Архитектурные сооружения часто строятся с учётом золотого сечения (1∶1,618), которое придаёт зданиям эстетически приятную форму. Это соотношение использовалось в знаменитых памятниках архитектуры, таких как Парфенон в Афинах. З. с. – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.
Основные золотые пропорции нашего тела: расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя; расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы; расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы; расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней; расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей; расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки; расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки.
Пропорции важны в дизайне интерьера при выборе мебели и декоративных элементов. Правильное соотношение размеров предметов помогает создать гармоничное пространство. Например, высота потолка влияет на выбор высоты шкафов и зеркал.
Пример: Для комнаты с высотой потолков 2,5 метра рекомендуется выбирать шкафы высотой около 2 метров, чтобы сохранить ощущение пространства.
Пропорции применяются в финансовых операциях, таких как расчёт процентов по кредитам или инвестициям. Например, процентная ставка кредита рассчитывается пропорционально сумме займа и сроку погашения.
Пример: Кредит на сумму 10 000 рублей под 10% годовых на год составит дополнительные 1 000 рублей.
С глубокой древности люди используют понятие «Пропорция». Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также пропорции можно увидеть в живой природе.
Прямая и обратная пропорциональность — понятия, которые описывают зависимость между величинами. Прямая пропорциональность — при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Например: После уроков я хожу в бассейн. Моя постоянная скорость плавания равна 50 м/мин. Я решила посчитать сколько метров смогу проплыть за 3 мин, 5 мин, 6 мин. Оказалось, что при увеличении времени, расстояние тоже увеличивается: 150 м (1,5 круга), 250 м (2,5 круга), 300 м (3 круга). Т.е. время и расстояние прямо пропорциональные величины.
Обратная пропорциональность — при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Например: Если пройденный путь постоянен, то скорость движения и время движения – обратно пропорциональные величины. В один из поездок в ближайший нам город Ульяновск я решила это проверить.
| Скорость | Расстояние | Время | |
| Дрожжаное – Ульяновск | 120км/ч | 80км | 40мин |
| Ульяновск – Дрожжаное | 100км/ч | 80км | 48мин |
Действительно, при уменьшении скорости время на обратный путь увеличилось.
Следует отметить, что не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.
Вывод: Исследования показали, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой пропорциональными зависимостями и эти зависимости люди используют в повседневной жизни. Человеку необходимо знать и уметь применять пропорции в разных профессиях и жизненных ситуациях. Понимание и использование пропорций позволяют: создавать вкусные и качественные блюда; оформлять интерьеры гармонично и функционально; строить красивые и устойчивые здания; эффективно управлять финансами. Таким образом, наша гипотеза полностью подтвердилась.
Заключение: Данный проект продемонстрировал важность понимания и применения пропорций в повседневной жизни. Эти знания и навыки полезны в широком спектре ситуаций, от простых бытовых задач до сложных профессиональных проектов. Продолжайте изучать и применять пропорции, чтобы сделать вашу жизнь более организованной и успешной!
Использованные источники:
- Волошинов А. В. «Математика и архитектура».- М.: «Просвещение». 2000
- Виленкин Н. Я. и д.р. «Математика 6 класс».-М.: «Мнемозина». 2011
- В. Лаврус «Золотое сечение».- электронная библиотека. «Наука и техника».
- Муравин Г. К. «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры»;
- Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / книга для учащихся/. — М.: Просвещение, 1990 г.
- Ресурсы сети Интернет.
Приложение 1
к проекту «Практическое применение пропорций в повседневной жизни»
Сборник задач для учащихся 6 класса
- Задачи с прямо пропорциональными величинами.
Задача 1.1. Сельскохозяйственный потребительский снабженческо-сбытовой кооператив «Дувановские сады» (СПССК) Дрожжановского муниципального района занимается выращиванием плодовых и ягодных культур. В основном выращивают российские сорта яблок, клубники, малины, чёрной смородины. В саду растет 320 деревьев, из которых 40% составляют яблони. Сколько яблонь растет в саду?
Решение:
К-во деревьев Проценты
↓ 320 100 %↓
х 40 %
320:x=100:40
100x = 320 * 40
x=320∗40:100
x=32∗4:1
x = 128, значит, 128 яблонь растет в саду
Ответ: 128 яблонь.
Задача 1.2. Среди редких и находящихся под угрозой исчезновения видов Дрожжановского района выделяют ушастого ежа. Все привыкли думать, что ежи очень медлительны. Однако это не совсем так. Вечером, в темноте еж может развивать немалую скорость. Так, расстояние 3 км еж прошла за 15 мин. Найдите какое расстояние пройдет еж за 30 мин.
Решение: 15 мин=0,25 ч, 30 мин=0,5 ч
Расстояние Время
↓3 км 0,25 ч ↓
х км 0,5 ч
3:х=0,25:0,5
х=3*0,5:0,25
х=6 км
Ответ: 6 км.
Задача 1.3. Согласно итогам Всероссийской переписи населения 2020 года численность населения Дрожжановского района РТ составляет 21000 человек. Из них: татары составляют 56 % населения района, чуваши — 42 %, русские — 2 %. Сколько татар, чуваш, русских проживало в Дрожжановском районе в 2020 году?
Решение:
Кол-во человек Процент
↓ 21000 100% ↓
х 56%
21000:x=100:56
100x = 21000 * 56
x=21000∗56:100
x=11760(чел.)-татары.
Кол-во человек Процент
↓ 21000 100% ↓
х 42%
21000:x=100:42
100x = 21000 * 42
x=21000∗42:100
x=8820(чел.)-чуваши.
Кол-во человек Процент
↓ 21000 100% ↓
х 2%
21000:x=100:2
100x = 21000 * 2
x=21000∗2:100
x=420(чел.)-русские. Ответ: 11760 т., 8820 ч., 420 р.
Задача 1.4. В 1940-е площадь Дрожжановского района составляла всего 824 км², 12 октября 1959 года в состав района вошла часть территории упразднённого Цильнинского. В 1963-м Дрожжановский район вовсе упразднили, передав земли Буинскому, но уже через три года восстановили. Современные границы Дрожжановского района существуют с 1966 года. Теперь общая площадь Дрожжановский район составляет 1029,5 км². На сколько процентов увеличилась площадь Дрожжановского района?
Решение:
Площадь Процент
↓ 824 км² 100% ↓
1030 км² х%
824:1030=100:х
824*x = 1030*100
x=103000:824
x=125% 125%-100%=25%
Ответ: на 25% увеличилась площадь Дрожжановского района с 1940 года.
Задача 1.5. Старошаймурзинское сельское поселение (1257 чел.) — самый крупный по численности населённый пункт, а Старочукалинское сельское поселение(616чел.) – самое маленькое сельское поселение Дрожжановского района Республики Татарстан. На сколько процентов численность населения Старочукалинского сельского поселения меньше Старошаймурзинского сельского поселения?
Решение:
Кол-во человек Процент
↓ 1257 100% ↓
616 х%
1257:616=100:х
x=100*616:1257
x=49 %
100%-49%=51%
Ответ: На 51% численность населения Старочукалинского сельского поселения меньше Старошаймурзинского сельского поселения.
- Задачи с обратно пропорциональными величинами.
Задача 2.1. Вертолет со скоростью 100 км/ч преодолевает расстояние от Казани до Дрожжановского района за 45 мин, за сколько минут он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч?
Решение: 45 мин=0,75 ч
Скорость Время
↑100 км/ч 0,75 ч ↓
150 км/ч х ч
Зависимость обратно пропорциональная, исходя из этого составляем пропорцию:
100:150=х:0,75
150 * х = 100 * 0,75
х=75:150
х=0,5 ч=30 мин вертолет преодолеет такое же расстояние со скоростью 150 км/ч.
Ответ: за 30 мин.
Задача 2.2. Сельское хозяйство — главное занятие жителей Дрожжановского района Татарстана. Площадь сельхозугодий района — 82,2 тыс. га, из которых на пашни приходится — 68,8 тыс. га. 25 тракторов вспахали поле за 14 дней. Сколько нужно тракторов, чтобы вспахать такое же поле за 10 дней?
Решение:
Время Кол-во тракторов
↓14 дней 25↑
10 дней х
10:14=25:х
х = 14 *25:10
х = 35
тракторов, значит, 35 тракторов нужно, чтобы вспахать такое же поле за 10 дней.
Ответ: 35 тракторов.
Задача 2.3. Фабрика «Древпромтара» Дрожжановского района производит деревянные ящики для фруктов. За одну смену бригада рабочих изготавливает 180 ящиков. Если увеличить количество работников бригады вдвое, то число ящиков, производимых каждым рабочим за смену, уменьшится на 15 штук. Сколько рабочих было первоначально?
Решение: Обозначим первоначальное количество рабочих буквой , тогда каждый рабочий изготавливал 180/ ящиков за смену. При удвоенном количестве рабочих 2, каждый рабочий стал бы производить 180/2=90/ ящиков за смену. По условию задачи известно, что при увеличении числа рабочих вдвое, производство каждого рабочего уменьшается на 15 ящиков. Тогда получаем уравнение:
По условию задачи известно, что при увеличении числа рабочих вдвое, производство каждого рабочего уменьшается на 15 ящиков. Тогда получаем уравнение:
180/n-90/n=15
(180-90)/n=15
90/n=15
n=6 рабочих.
Ответ: Изначально на фабрике работало 6 рабочих.
Задача 2.4. Фирма «Солнечный круг» Дрожжановского района изготавливает детские игровые площадки. Если ежедневно изготавливается 10 площадок, работа завершится за 15 дней. Сколько дней потребуется фирме, чтобы изготовить такое же количество игровых площадок, если увеличить ежедневный выпуск до 15 площадок?
Решение:
Время Кол-во площадок
↓15 дней 10↑
х дней 15
15:х=15:10
х = 15*10:15
х=10 дней.
Ответ: При увеличении ежедневного выпуска до 15 площадок фирма выполнит заказ за 10 дней.
Задача 2.5. Земельный участок сельскохозяйственного назначения в Дрожжановском районе обрабатывается двумя тракторами. Один трактор способен обработать этот участок за 12 часов, второй — за 18 часов. За какое время обработают этот участок оба трактора, работая одновременно?
Решение: Обозначим весь земельный участок за единицу. Первый трактор обрабатывает участок за 12 часов, значит, его производительность равна 1/12. Аналогично, производительность второго трактора равна 1/18.
Тогда общая производительность двух тракторов вместе: 1/12+1/18=5/36.
Это означает, что вместе они обрабатывают 5/36 участка за каждый час. Чтобы определить, за сколько часов они обработают весь участок, решим уравнение:
5/36*=1
=7,2 часа Ответ: За 7,2 часа оба трактора совместно обработают участок.
- МАСШТАБ
Задача 3.1. В Дрожжановском районе РТ разрабатывается проект освоения месторождения, здесь предполагается строительство цементного завода. Современное производство цемента не более вредно, чем большинство других производств, тем более местонахождение будет на расстоянии 15 км от Дрожжановского района. Определите расстояние между изображениями Дрожжаное и предполагаемого цементного завода на карте, если численный масштаб карты равен 1:1 000 000?
Решение:
S = 15 км = 1 500 000 см
х:1 500 000=1:1 000 000
х=1 500 000:1 000 000= 1,5 см Ответ: 1,5 см.
Задача 3.2. От села Старое Дрожжаное до Дувановских садов, который находится в д. Дуваново, 11 км. Определите расстояние между изображениями Дувановских садов до села Старое Дрожжаное на карте, если численный масштаб карты равен 1:500 000?
Решение:
S = 11 км = 1 100 000 см
х:1 100 000=1:500 000
х=1 100 000:500 000=2,2 см Ответ: 2,2 см.
Задача 3.3. Дувановские сады Дрожжановского района имеет вид прямоугольника, длина которого 6700 м, а ширина 400 м. Какие размеры будет иметь изображение этого сада на плане, выполненном в масштабе 1:100 000?
Решение: Длина 6 700 м=670 000 см,
х:670 000=1:10 000
х=670 000:10 000
х=67 см
Ширина 400 м=40 000 см
х:40 000=1:10 000
х=40 000:10 000
х=4 см Ответ: 67 см, 4 см.
Задача 3.4. На карте масштаб указан как 1∶2 000 000. Расстояние между городами Казань и районным центром Дрожжаное на этой карте равно 9 см. Найдите действительное расстояние между этими населёнными пунктами.
Решение: По условию задачи известно следующее: — Масштаб карты: 1∶2 000 000
— Измеренное расстояние на карте: 9 см. Масштаб означает, что каждый сантиметр на карте соответствует 2 000 000 сантиметров в реальности. 2 000 000 см=20 км,
9 см×20 км=180 км, Таким образом, действительное расстояние по прямой между Казанью и Дрожжановским районом равна 180 километров.
Ответ: 180 км.
