«Анализ и ценности школьного математического образования»

 

Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение

г. Москвы «Школа самоопределения № 734 им. А.Н.Тубельского»

Статья по вопросам преподавания

«Анализ и ценности школьного математического образования»

Автор:       Мойсенко А.В. учитель математики ГБОУ «Школа самоопределения №734 им. А.Н.Тубельского»

Новые подходы.

1.В данной работе изложена точка зрения автора на проблемы школьного математического образования и один из возможных вариантов перехода к ее новому содержанию. Следует подчеркнуть, что здесь изложены только основные концептуальные подходы, которые родились при анализе множества идей и предложений, содержащихся в многочисленных публикациях, а также — и это в основном, в ходе совместной экспериментальной работы кафедры математики школы 734, научной лаборатории школы, при совместном обсуждении, развитии и реализации идей нового ФГОСа,  нового содержания образования на научных семинарах, пленумах и непосредственно в поисковой работе, вот уже которыйй год разворачивающейся в школе.

Эти подходы могут стать основанием для дальнейшего развертывания экспериментальной работы в области содержания образования физико- математических (и других) дисциплин, с целью создания системы математического образования в школе.

Главная цель данной работы — в переориентации содержания образования в сторону освоения основных способов мышления и деятельности, с целью формирования саморазвивающегося, самообразовывающегося, самоопределяющегося индивида.

Работа состоит из следующих разделов:

1. Анализ ситуации с математическим образованием в школе.
2. Цели и задачи математического образования.

    III.Формирование мотивации — механизм перехода к новому содержанию образования.

IV.Новое содержание образования и обучения.

1. Периодизация способностей в процессе развития ученика.
2. Роль учителя математики в новом образовательном процессе.

 

1. Анализ ситуации с математическим образованием в школе.                                 

Следует сказать, что данный анализ не пытается вскрыть все причины изменившейся ситуации в образовании, которые во многом лежат в изменении cоциокультурной ситуации в самом нашем обществе.

1. Отмечается неуклонное снижение интереса к математике (и другим точным наукам) и ее популярности среди школьников и студентов вузов. На это указывает не только опрос учеников и учителей, но и низкие конкурсы в вузы, невысокие результаты ЕГЭ, вступительных экзаменов по математике, трудности с ее освоением в вузе. Существует и развивается тенденция недоверия к качеству образования и обучения математике в школе, о чем свидетельствует распространение системы репетиторства.
2. Содержание обучения математике в школе ориентировано на усвоение системы знаний, умений и навыков, выработанных кем-то и предписанных всем общеобразовательным школам. В свое время принцип единства советской школы не способствовал формированию творческого подхода учеников и учителей к предмету, тем более в рамках предложенных программ.

И в настоящее время, когда разработан новый, прогрессивный ФГОС, в рамках которого декларирована определенная свобода в подходах к содержанию образования, эти возможности ограничены системой  конкурсных экзаменов в вузы в формате ЕГЭ, что неизбежно требует от учителя работать в прежнем режиме натаскивания на определенные тестовые задачи и обучения, по стандартным сборникам и  программам.

1. Сами существующие программы и учебники не могут быть признаны удовлетворительными, т.к. грешат эклектичностью и дублированием представленных в них курсов, перегруженностью последних техническими деталями, их отдаленностью от общечеловеческих, общекультурных ценностей и целей и от личности самого ученика (да и учителя); наводят скуку сухим стилем изложения, поражают разностилием при подаче различных разделов математики, имеют дефекты научного характера. Поэтому они не могут создать у обучающихся по ним учеников законченного, целостного представления о предмете математике и математической науке.
2. В лучшем случае эти учебники могут быть использованы в качестве задачного конструктора. Но и здесь их применение ограничено, т.к. они не учитывают дифференциацию способностей учащихся. Учебники в раскрытии темы чаще всего однозначны. В них отсутствует проблемность и возможность выхода на математические проблемы; не представлены различные математические школы и культуры. Тем самым учебник изначально отказывает ученику в праве собственного мнения, мысли, выстраивания собственных гипотез и теорий. Ведь критерием истинности является мнение, изложенное в учебнике. Так зачем «изобретать велосипед», когда можно правильное решение прочесть в учебнике или найти в интернете. Таким образом, в обучении математике, особенно с введением ОГЭ и ЕГЭ отдается предпочтение натаскиванию и заучиванию.

5. Кроме контрольных диагностических работ, выпускных экзаменов в школе (опять же, — тестов ЕГЭ) с их не очень понятными критериями, не разработана система диагностики состояния математического образования и обучения применительно к каждому ученику в масштабах класса; школы с разнопрофильными классами; региона с разнопрофильными школами.

Не выделена система критериев успешности обучения в форме образцов мышления и деятельности; не разделена оценка математической натасканности и образованности ученика, не проработаны критерии работы и продвижения по сравнению с самим собой на предыдущем этапе. Или учителя не владеют методикой работы с этими критериями.

6. Отсутствие объективной диагностики системы образования по овладению способами мышления и деятельности, не позволяют рассматривать образование в области математики как главное условие сохранения, развития и процветания математической культуры как неотъемлемой части культуры общечеловеческой. Это еще раз доказывает неэффективность системы методической помощи учителю, существующей в наше время.
7. Отсутствует преемственность математического образования при переходе ученика из начальной школы в среднюю. Чаще всего эти две школьные структуры общего образования (НОО и ООО) располагаются в одном здании, но существуют автономно. Не передается ни работа с личностью ребенка, ни этапы ее развития, ни те общекультурные способности, которые были освоены, если были, в начальной школе. Математическое образование начинается заново и зависит только от личности учителя и его следования определенным программам и ФГОсам. Кроме того, и средняя школа не обсуждает с учителями начальной школы уровень требований, предъявляемых к ее выпускникам для успешного продолжения образования; не работает с личностью ребенка на начальном этапе его образования в школе 2-й ступени.

  8.И самое главное, декларируя право каждого человека на математическое образование, школа зачастую лишает его этого права, т.к. сам подход к обучению математике, ее программы и курсы не ориентированы на развитие личности каждого конкретного ребенка, сообразуясь с его склонностями и способностями. В программах не предусмотрен деятельный подход к формированию интеллектуальных способностей личности человека. Книги для учителя, методические разработки и указания также не ориентируют педагога на развитие личности ребенка, не учат его технике и технологии формирования условий для собственного самообразования, реализации этих условий. Методические разработки в области математики чаще всего не содержат принципов воспроизводства процесса мышления и деятельности, приводящих к овладению способами последних, не рассматривают образование в области математики как главное условие сохранения, развития и процветания математической культуры, как неотъемлемой части культуры общечеловеческой. 

  9.Можно, наверное, говорить о том, что средний уровень квалификации учителей математики невысок. Хотя учителя, как правило, добросовестно относятся к своей работе,  сохраняя за математикой ранг ведущего школьного предмета. При этом учителя перегружены учебными занятиями и обязанностями, часто не имеющими отношения к делу. Некоторые учителя, ориентирующиеся на развитие мышления своих учеников, достигают хороших результатов. На различных уровнях проходят математические олимпиады, конкурсы, творческие экзамены и конференции для одаренных детей. Это поддерживает определенный уровень студентов математических факультетов ведущих вузов страны и их выпускников, идущих в специализированные исследовательские центры.

10.Математика развивается благодаря накоплению в общечеловеческой культуре ценностей собственно математической культуры и культуры педагогической. Следует сказать, что учителя математики в большинстве своем испытывают трудности при освоении и использовании ценностей этих двух культу. Это еще более усугубляет трудности адаптации учителя в новых, постоянно меняющихся в современных условиях. Учитель не оснащен методами переработки и переосмысления громадного объема информации, психологическими знаниями и способностями адекватно и точно реагировать на поведение учеников и коллег в процессе обоюдного общения. Поэтому он часто находится в стрессовых ситуациях, на грани срыва.

11.Формированию этой стрессовой ситуации способствуют и противоречия в системе школьного математического образования:

а) противоречия между развитием математической науки, что требует отражения все новых и новых знаний в школьном курсе, и скоростью развития школьной педагогики, особенно в условиях массового обучения, требующего длительного времени на освоение новых технологий обучения в системе нашего непрерывного педагогического образования;

б) противоречие между массовым характером математического образования (а это есть потребность развития цивилизации) и декларируемым индивидуальным характером познания.

12. Можно подвергнуть критике и само состояние педагогической науки в области математики. Деятельностный подход к образованию и обучению подразумевает осмысленность действий каждого из участников процесса образования или обучения на любой его стадии. В школе же часто не только ученики не понимают смысла своего «обучения математике», но и учителя зачастую не могут вразумительно объяснить, зачем нужна математика, тот или иной ее раздел, в чем смысл той педагогической работы (или деятельности), которую он осуществляет на уроках и вне их.

Поэтому следующая глава о целях математического образования.

1. Зачем нужна математика?

Математика – язык мира

«Философия написана в величественной книге — Вселенной, которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры и математические формулы, без которых человек не смог бы понять в ней ни слова; без них он был бы обречён блуждать в потемках по лабиринту». (Г.Галилей «Пробирных дел мастер», М. Наука, 1987, с. 41).

«Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в физике обычно язык математики, а именно, математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов».

(В.Гейзенберг «Физика и философия», М. ИЛ 1963, с. 140).

«Где можно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой неопределенности, ни для какого неточного истолкования

(Луи де Бройль «По тропам науки», 1962, с. 326).

Поэтому «…математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки» (Нильс Бор).

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира».

(Ф.Энгельс «Анти-Дюринг», Соч. т. 20, с. 37).

Математическая культура — это часть культуры общечеловеческой. История математики и ее преподавания насчитывает тысячелетия. Развитие нашей цивилизации идет по пути развития техники и технологии производства, что приводит к возрастанию роли точных наук, в том числе и математики. Свойственный последней стиль мышления пронизывает практически все сферы жизни и определяет во многом процесс и уровень развития общества.

Достаточно вспомнить о первых шагах покорения космоса, изучения внутриатомных процессов и их использования для получения управляемой людьми энергии, создания ЭВМ, интернета, поразительных успехах медицины, молекулярной биологии и многих других открытиях, для которых потребовался долгий путь научных поисков, гипотез, построения количественных теорий и инженерных изобретений. Многие области науки и практики, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств исследования, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина этого, конечно, заключается не в преходящей моде, а в том, что чисто качественное исследование явлений природы, экологии, врачебного дела, организации производства, как правило, оказывается недостаточным и требуются количественные математические модели этих процессов.

Особенно это заметно в современном производстве, где скорости технологических процессов настолько возросли, что человеческая психика уже не способна своевременно принимать решения о дальнейшем их течении и на основании полученной информации осуществлять необходимое управление. Возникает настоятельная необходимость передачи управления быстродействующим автоматам, способным решать не только логические задачи. И при этом необходимость в основательно проработанной математической теории оптимального управления, которая в свою очередь ведет к ускорению прогресса техники и прогрессу математики, ставя перед ней все новые задачи.

И все же главное, с нашей точки зрения, состоит в том, что математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для освоения окружающей нас действительности, т.к. изучает понятия, введенные путем абстрагирования от явлений реального мира, их структуру, операции, взаимосвязи, способы и методы взаимоотношений, допускающие самые различные материальные воплощения, а следовательно, и практические применения.

Школа — ключевое звено системы математического образования, т.к. наша система образования устроена так, что для многих людей обучение в школе — единственная в жизни возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.   

Что же это за ценности?

1.В рамках школьного математического образования может осуществляться формирование и выращивание различных форм мышления:

1.1 Логической, — как универсального инструмента мышления, необходимого при построении правильно расчлененного анализа ситуации и вывода следствий из известных фактов путем логических рассуждений; при создании идеальных математических моделей реальных процессов, выдвижении гипотез, их обосновании или опровержении; при классификации различных процессов и выработке критериев для этого, при обращении к самой структуре математики, ее понятиям и сущности, вводимым дедуктивно — аксиоматическим образом.

1.2. Пространственно-геометрической,- при получении необходимой информации из заданной пространственной конфигурации, путем ее анализа и дополнения, если надо — с помощью рисунков, схем, моделей или мысленного представления; при обращении к наглядным образцам, схемам, моделям для решения математических и др. задач

1. Алгоритмической, — при разработке и освоении алгоритмов решения различных задач, применении известных алгоритмов и методов в новой конкретной ситуации, при преобразовании задачи к выполнению конечной цепи более элементарных действий и доведении до конца плана решения, при обучении компьютерной грамотности и т.д.
2.  Сравнительной, — при выдвижении различных гипотез и методов решения задач, при возникновении необходимости сравнивать и находить оптимальные варианты и пути движения к цели, вырабатывать оптимальные критерии оценки результата и т.д.
3.  Рефлексивной, — при освоении способов решения задач; при проверке собственных построений на непротиворечивость критериям; при столкновениях с многочисленными трудностями и проблемами в самом движении и их анализе, равно как и при анализе способа своей деятельности.

1. Развитие интуиции или интуитивного мышления. Наряду с навыками рационально-логического мышления при решении математических задач развивается способность предвидеть результат и предугадать оптимальный путь решения. При этом развивается воображение, устанавливаются связи между левым и правым полушариями мозга. Это особо проявляется, когда на каком-то этапе решения проблемы или задачи важен не путь решения, а результат, чтобы, опираясь на него, выстраивать дальнейшее движение. Это путь к научному творчеству.
2. Интеллектуальная творческая активность, как нестимулированное извне продолжение мышления, является чисто личностным свойством, объединяющим познавательные и мотивационные факторы. В этом случае личность действует на таком уровне, когда результат шире поставленной цели и деятельность приобретает порождающий характер.

При этом, если на эвристическом уровне человек, имея достаточно надежный способ решения, продолжает анализировать состав и структуру своей деятельности, составляет между собой отдельные задачи и способы, что приводит его к открытию новых, оригинальных способов решения (это уровень познания особенного); то на креативном, творческом уровне интеллектуальной активности обнаруженная человеком эмпирическая закономерность становится для него не просто эвристическим приемом решения, а самостоятельной проблемой, ради изучения которой он готов прекратить предложенную извне деятельность, начав другую, мотивированную уже изнутри (это уровень познания общего и всеобщего).

З.1. Но творчество, скорее всего, невозможно без развитого эстетического воспитания, чему способствуют, без сомнения, классические формы искусства. Но и математика может внести свой вклад в этот процесс, т.к. красивая идея, результат или решение математической задачи, неожиданный поворот хода решения способен доставить не меньшее эстетическое наслаждение. Тем более что наслаждение миром идей, логических выкладок, абстрактных моделей и форм не заменяет, а дополняет эстетическое развитие личности в мире классического искусства.

1. Математика может помочь человеку в осознании самого себя и в формировании своей собственной личности, своего характера. Работа в математической культуре требует от человека интеллектуальной честности, объективности, настойчивости, внимания и терпимости к                      чужому мнению, способности и труду. Она способствует развитию рефлексивной самооценки своей деятельности, а эта способность позволяет проводить самооценку собственной личности, производить коррекцию ее развития. Таким образом, появляется возможность через специализированное математическое образование, его историю и культуру выйти на приобретение универсальных способностей, т.е. на самоформирование личности.

5. Наконец, курс школьной математики должен быть ориентирован также на выполнение социального заказа общества: обеспечить овладение учащимися математическими знаниями и умениями, необходимыми как для ориентации в современном мире (навыки вычислений, практической геометрии, функционального анализа, моделирования; составление пропорций, решения уравнений, неравенств, сравнения и др.), так и для изучения других дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) и продолжения образования.

В заключение хочется сказать, что на вопрос: «Зачем нужна математика и все, что ей сопутствует?» каждому ученику, каждому учителю приходится отвечать заново каждый раз, как только он сталкивается с этой областью человеческой культуры. И каждый раз этот ответ будет разным, в зависимости от уровня образовательной потребности личности в данный момент и уровня ее развития. При этом одной из важнейших педагогических проблем является проблема: как же работать учителю с этими различными целями, мотивами, смыслами приобщения к математике? Но как сформировать эти мотивы и помочь их осознанию? Как сплавить их в едином образовательном процессе, и вообще: что делать?     Об этом наши следующие главы.

 

III. Механизм перехода к новому содержанию образования через формирование мотивации.

В работе над новым содержанием образования следует выделить два плана. И первый — это работа в плане личности ребенка, работа по формированию у него интереса, мотива смысла включения в процесс самообразования, потребности выращивания в себе этого содержания, чтобы оно было не только осознано, но и внутренне принято, т.е. приобрело значимость для учащегося и нашло, таким образом, отклик и опорную точку в его переживаниях.

Механизм перехода к новому содержанию образования — это, прежде всего, механизм формирования мотивации этого перехода, и мотивации самообразования как у учителя, так и ученика. При этом формирование сознательно-волевого уровня мотивации подразумевает, во-первых, образование иерархической регуляции мотивов и побуждений; во- вторых, противопоставление высшего уровня этой регуляции стихийно формирующимся, импульсным влечениям, потребностям, интересам.

Этот процесс формирования мотивов может идти и сверху вниз (чем зачастую злоупотребляют управленцы всех уровней), когда побуждения, цели, идеалы, содержания, направленности личности предъявляются ученикам (или учителям) в готовой форме и должны по замыслу управленца постепенно превратиться из внешне понимаемых во внутренне принятые и реально действующие. Но будущее, с нашей точки зрения, за механизмом формирования мотивов снизу вверх, когда управленец (в частности, учитель) работает с условиями и отношениями стихийно сложившимися или специально организованными учителем, школой и при этом избирательно актуализирует отдельные ситуативные побуждения, которые при систематической актуализации постепенно переходят в устойчивые мотивационные образования.

Например, при рефлексивном обсуждении с ребятами мотивов и смыслов изучения математики учитель актуализирует следующие мотивы или побуждения: с помощью освоения способов мышления разобраться в самом себе и окружающем мире, т.е. актуализирует идеальные потребности, определяющие соответствующие мотивы и вызывающие виды деятельности.

Учебная и образовательная деятельность всегда полимотивирована, в ней переплетаются внешние и внутренние мотивы и стимулы. К внутренним образовательным мотивам относятся такие, как собственное развитие, понимание значения образования для будущего, мотивы самоопределения и самосовершенствования, действия вместе с другими и для других, познание нового, неизвестного. Такие мотивы, как понимание необходимости знания для дальнейшей жизни, а самого процесса обучения, как возможности общения, похвала от значимых лиц, являются вполне естественными, хотя их уже нельзя отнести полностью к внутренним формам мотивации. Еще более насыщены внешними моментами такие мотивы, как учеба ради лидерства и престижа, стремление оказаться в центре внимания, избегание неудач, материальное вознаграждение, учеба как вынужденное поведение и привычное функционирование.

Задачи и роль учителя и состоит в развитии внутренней мотивации учения и образования, которое происходит при сдвиге внешнего мотива на цель образования, т.е. сдвиге на каждом шаге одного мотива на другой более внутренний, более близкий к цели образования. Поэтому здесь, как и в процессе образования, учителю следует учитывать зону ближайшего развития мотивов. И учитывать тот факт, что развитие внутренней мотивации (т.е. движение вверх) дается гораздо сложнее, чем движение вниз — к мотивации самосохранения, материального благополучия и комфорта. Поэтому очень важно иметь чувство меры в педагогических воздействиях. Чрезмерное внимание и неискренние похвалы, неоправданно завышенные оценки и использование престижных ценностей, принижающая критика и наказания, игнорирование вниманием и заниженные оценки, и др. средства «педагогического воздействия» могут привести к регрессу мотивации  учеников.

Работа педагога в этом плане нового содержания образования возможна только, если учитель ставит перед собой задачу работать с ребятами в сфере мотивации, осознает и разрабатывает собственные механизмы формирования мотивации. И при этом понимает, что сдвиг мотива на образовательную цель зависит не только от характера педагогического воздействия, но и от того, на какую внутриличностную почву и объективную ситуацию учения или образования они ложатся.

Поэтому второй план работы над новым содержанием образования

• это работа с формированием на уроках математики образовательной ситуации, отличающейся от ситуации обучения, прежде всего, наличием у учителя и у ученика вопроса, который может их продвигать и развивать.

1. Как изменить содержание математического образования?
2. Для этого необходимо переориентировать школьную часть математики — со знаково-информационного подхода с соответствующим содержанием знаний, умений и навыков на освоение способов, методов и техник мышления и деятельности, имеющих культурно-исторические корни. При этом основными процессами школьного образования должны стать процессы воспроизводства мышления и деятельности, их рефлексия, приводящая к овладению способами этих самых мышления и деятельности.

Следует отметить, что математика более чем какая-то другая наука ориентирована на процессы воспроизводства мышления с целью выделения способов последнего и обладает для этого соответствующей методологией и математическим символьным языком. Более того, и другие науки начинают говорить языком математики, как только подходят к определению способов мышления и деятельности в своих сферах, т.к. абстрагирование, обобщение, анализ и синтез, индуктивное и дедуктивное умозаключение есть предмет математики. При этом в процессе воспроизводства мыследеятельности и ее рефлексии способы их могут сниматься только тогда, когда эти воспроизводимые учениками процессы претерпевают качественные изменения по отношению к первоначальным, а именно:

1. обобщение или «сгущение» того, что первоначально реализовано в конкретной, развернутой, детализированной форме (например, схематизация решения задачи);
2. конкретизация и детализация того, что реализовано в более общем или сжатом виде (составление пошагового алгоритма); 
3. замена одной мыследеятельностной операции (или содержания) другой, равнозначной по смыслу;
4. смещение или перемещение отдельных частей операции (например, доказательство в прямом и обратном направлении);
5. обьединение того, что дано отдельно друг от друга, или разъединение того, что в оригинале было связано между собой;
6. дополнения, выходящие за рамки воспроизводимого процесса;
7. искажение смыслового содержания первоначальной мыследеятельностной . операции в целом или ее отдельных частей.

Анализ изменений, наблюдаемых при воспроизведении, показывает, что все они, за исключением искажения оригинала, являются сами по себе итогом мыследеятельностной переработки исходного процесса и могут служить для учителя определенным критерием освоения способов мыследеятельности. Под мыследеятельностным процессом при этом мы понимаем процесс (формирования идей, гипотез, абстрагирования, обобщения, решения задач и проблем), который разворачивается в конкретной деятельности с определением целей, промежуточных и конечных результатов, критериев успешности, необходимых условий и средств в коммуникации с кооперантами, имеющими определенные позиции в данном процессе и содержательном плане, на котором этот процесс разворачивается.

2.Поэтому и в самом построении программы, подборе материала математики необходимо уйти от занудно — ЗУНовского подхода с его эклектичной нашпигованностью школьных программ различными курсами и разделами математической науки к диалектической, дедуктивной по своей структуре математике, к природе, которая отражается в математических моделях, к анализу и рассмотрению общечеловеческих ценностей, нашедших отражение в математической культуре с целью формирования саморазвивающегося, самоопределяющегося, самостоятельного индивида.

3.Усвоение знаний в математике возможно только через анализ всей мыслительной и социокультурной ситуации, в которой (или с помощью которой) они были получены в образовательном процессе и в истории культуры так как знания для нас — это не только фиксированный продукт, но и мыслительный процесс. Знать – это « значит понять и сделать понятное и познанное орудием дальнейшего познания и практической мыслительной работы».

4.Следует разделить при обсуждении содержания образования ситуации обучения, требующие определенного набора педагогических методик, техник и способов работы и ситуации образовательные, в которых роль учителя и ученика коренным образом меняются. При этом образование не отрицает возможность и необходимость обучения со всеми его навыками, умениями, тренингом, усвоением определенной информационной базы и др.

Надо сказать, что под тренингом мы понимаем такой процесс повторения, который дает возможность по-новому посмотреть на уже воспринятый материал, выделить в нем то, что до этого не было выделено, а не просто процесс восстановления того, что уже было. Важно, чтобы это повторение включалось в новую деятельность (в решение новой задачи, например) как его необходимое звено, как основа решения новой задачи, как средство ее решения.

Сам процесс познания математики эффективен лишь при условии понимания и ясного осознания учащимися всех привлекательных понятий, фактов, рассуждений и оснований для этих рассуждений. Путь к этому пониманию может быть различным, в зависимости от индивидуальности ученика и учителя. Однако ясно, что приоритет здесь за активными формами обучения, привлекающими учащихся к возможно более широкой самостоятельной мыслительной и оперативной деятельности, как на этапе постановки цели или задачи, так и на последующих этапах: планирования, организации деятельности и анализа результатов этой деятельности. При этом научение, если оно не только раскрывает содержание понятия, но включает также обучение способам оперирования ими, не препятствует, а наоборот способствует мышлению.

5. Мышление — это неразрывно связанный с речью социально обусловленный и целенаправленный процесс самостоятельного искания и открытия существенно нового, т.е. опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза, возникающий на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходящий за его пределы. Обучение способам и приемам мышления на математике происходит при решении задач, которые формулируются как мысленная, знаковая модель некоторой проблемной ситуации, описанной на математическом языке и отражающая определенные стороны этой проблемной ситуации.

Сегодня мы имеем значительное количество задач, накопленных в математическом культуре, разнообразных по своей тематике, сложности, педагогической направленности и содержательности. Поэтому задача на уроках математики может и должна выступать средством индивидуализации обучения, развития мышления и способностей к иной деятельности.

Т.к. математическая задача является стержневым элементом обучения в математике, следует уделить ей некоторое внимание. Любая задача требует использования специфических методов и средств, которые выработаны человечеством в процессе исторической практики. Каждое такое средство решения задач принадлежит определенной области математических знаний и должно являться содержанием математического образования. При этом язык, на котором сформулирована задача, может быть неадекватен самой задаче или языку математики, которым владеет ученик. Тогда является другое содержание математического образования — а именно моделирование задачи на адекватном ей языке, понятном ученику. Тем самым ученик строит свою задачу, являющуюся субъектной моделью полученной изначально.

В зависимости от того, владеет или не владеет ученик средствами решения задачи, они (задачи) делятся на такие виды: а) задача — упражнение или алгоритмически разрешимая задача, когда метод решения известен ученику; б) субъективная задача, когда средства решения объективно известны, но не известны ученику; в) научная задача, когда средства решения ее неизвестны ни ученику, ни учителю, ни науке.

В случае субъективной задачи, как основного звена процесса математического обучения, степень проблемности может быть очень различной: от случая, когда ученик даже не знаком с областью знаний, в которой содержатся средства решения задачи (и тогда появляется мотивация к освоению этой области знаний), до случая, когда он знает все элементы метода решения, но не умеет их использовать (и тогда появляется необходимость освоения способа работы).

Мы здесь рассматриваем только заданную ситуацию, когда ученик получает задачу извне и процесс мышления начинается с этапа принятия им задачи. Ученик по мере ознакомления с ней или принимает ее, или же отвергает. Фактически уже на этом этапе в рефлексивном режиме начинается работа учителя над новым содержанием образования. Когда ученик принимает задачу осмысленно, он тем самым попадает в проблемную ситуацию, противоречием которой является противоречие между возникшей потребностью решить задачу и отсутствием нужных для этого возможностей.

6.Процесс мышления начинается с анализа этой проблемной ситуации, которая характеризует определенное психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения задания или решения задачи, для которого нет готовых средств, и которое требует усвоения новых знаний о предмете, освоение новых способов выполнения задания, способов разрешения этой проблемной ситуации. Эти новые для ученика способы и приемы разрешения проблемной ситуации и становятся содержанием математического образования. При этом, если обнаруженные учеником способы, приемы и закономерности решения проблемы становятся для него не только эвристикой, не просто приемом или способом решения, а самостоятельной проблемой, мотивированной уже изнутри, то такой ученик выходит на креативный уровень освоения способов проблематизации ситуации, что является одним из важнейших элементов содержания математического образования.

7.Таким образом, содержанием математического образования мы считаем приобретаемые учащимися в процессе освоения математической культуры универсальные способности, методы и способы мышления и деятельности, такие, как:

а) способность анализировать и обобщать различные объекты и явления, проблематизировать ситуацию или результаты деятельности, формулировать проблемы, ставить задачи и решать их;

б) способность понимать и рефлексировать те процессы мышления и деятельности, которые привели к получению этих и других результатов;

в) способность к различным формам понятийного, логического, рефлексивного и др. мышления, т.е. способность к формированию, конструированию понятий, их осмыслению, оборачиванию на сам процесс мышления и деятельности;

г) способность к целеполаганию и организации собственной или коллективной деятельности, к коммуникации;

д) способность оперировать в деятельности полученными результатами и известными знаниями, а также приобретать новые знания в процессе новой деятельности.

При этом под способностями понимаем индивидуальным образом освоенные и свернутые в сознании деятельности, предназначенные для освоения новых деятельностей и формирования новых способностей.

Однако освоение этих универсальных способностей происходит через формирование у учащихся более специфичных и специальных способов и приемов учебной деятельности, которые тесно связаны с предметом математики, помогают понять его логическую структуру и при этом на их основе формируются необходимые умения и навыки,

В содержательном плане можно выделить следующие общие и специфические способы и приемы мыслительной деятельности, которые реализуются в процессе формирования и усвоения математических понятий:

а) наблюдение (измерение, построение, моделирование) объектов и процессов с целью выделения их свойств;

б) анализ свойств математических объектов и операций, в ходе которого можно определить, какие из них являются общими, особенными, существенными или несущественными;

в) сравнение объектов, операций и их свойств;

г) установление и использование аналогии в этих процессах;

д) абстрагирование от различных или несущественных свойств;

е) синтез объектов, процессов и их свойств;

ж) обобщение, формулировка суждения об общих существенных признаках объектов, введение символа для обозначения понятия;

з) использование индуктивного умозаключения;

и) определение понятия или — формулировка предложения, в котором формулируются необходимые и достаточные признаки понятия;

к) конкретизация понятия — подтверждение существования класса объектов, соответствующих понятию; выведение следствий из определения понятия;

л) подведение под понятие — соотнесение любого объекта с понятием, предполагающее наличие у этого объекта признаков данного понятия;

м) классификация понятий;

н) систематизация понятий, установление между ними связей;

о) специализация — переход к рассмотрению понятий более узкого класса;

п) структурирование понятий, установление отношений между ними;

р) запоминание.

При формировании различных понятий значимость тех или иных из перечисленных способов и приемов мыслительной деятельности меняется в зависимости от возрастных особенностей учащихся, этапов работы над понятиями, материала математики, который учитель выбирает для реализации своих образовательных целей.

 

1. Периодизация способностей соответственно возрастному и интеллектуальному развитию ученика.

Вообще говоря, каждый учитель рассматривает процесс формирования способностей в зависимости от конкретного ученика, его уровня развития, от конкретной ситуации в группе или в классе.

Однако ясно, что содержательная работа учителя по формированию определенных приемов и способов мышления и деятельности должна опираться на знание им этапов психофизиологического и интеллектуального возрастного развития ребенка. Важно при этом различать тесно связанные между собой, но не тождественные виды детского развития: функциональное, прямо зависящее от овладения ребенком отдельными знаниями, умениями и способами действия, и собственно возрастное развитие, которое характеризуется новым психофизиологическим уровнем, новым планом отражения действительности, новыми видами деятельности.

Закладывая в содержание математического образования определенные способы мыследействия, надо помнить, что у ребенка в каждом периоде его развития одна из деятельностей является ведущей, определяющей характер развития ребенка в этом периоде. Поэтому и способности ребенка должны преимущественно формироваться в рамках этой ведущей деятельности и быть ориентированы на их расширение в сторону зоны ближайшего развития.

1.Младшие школьники (1-4 классы) расположены к учебной деятельности в силу наличия у них в этом периоде авторитета учителя, веры в истинность всего, чему учат, доверчивой исполнительности и других психологических особенностей. Но уже в этот период у ребенка происходит появление теоретического отношения к действительности, внутреннего плана действий. К концу начальной школы начинается иной уровень социального развития, когда ребенок не только осознает себя субъектом, но и испытывает потребность реализовать свою субъективность, вступить в широкий круг общественных отношений. Под влиянием различных видов деятельности дети этого возраста обнаруживают большие возможности в использовании различных систем отсчета, могут отвлекаться от схемы тела и переходить к динамическим и иным базам отсчета, произвольно менять позиции наблюдателя. Поэтому в этот период и надо работать на математике над освоением приемов и способов проектирования, моделирования, что требует освоенных приемов наблюдения, анализа, сравнения, обобщения, синтеза. Конечно, степень освоения этих приемов и способов является в основном эмпирической, но уже здесь необходимо создавать ситуации, поднимающие деятельность ребенка до уровня содержательного, теоретического анализа, сравнения, обобщения.

2. Для учащихся 5-6 классов характерно обращение к своему внутреннему миру, стремление разобраться в своих чувствах, настроениях, мнениях, отношениях. Для многих из них ведущей деятельностью остается игровая, они расположены к внеучебным делам со сверстниками, которые им доступны и где они могут проявить свои новые возможности. В мышлении подростка преобладают наглядно-образный и практически- действенный компонент, оно в основном конкретно.

Содержанием математического образования в этот период становятся способы и приемы оперирования с числами, величинами, понятиями, способность делать индуктивное умозаключение относительно свойств изучаемых объектов, исходя из наглядного рассмотрения и опытного обоснования фактов, использования и обобщения жизненного опыта учащихся (например, при доказательстве законов и свойств арифметических действий, признаков делимости, геометрических фактов и зависимостей).

Также используются и осваиваются здесь приемы аналогии, продолжается развитие и освоение приемов анализа, синтеза, обобщения, способности к конкретизации понятий. При этом обобщаются как образные, так и отвлеченные, теоретические компоненты мышления, намечается и подготавливается переход от преобладания наглядно- образного, действенного к понятийному и логическому мышлению.

Общие способы и приемы учебной деятельности по математике так же как, способы работы над математической задачей, приемы поиска решения и контроля решения задачи, реализуются и осваиваются при этом с помощью освоения частных и специальных приемов учебной деятельности по математике: приемы решения уравнений и неравенств, вычисления числовых значений алгебраических выражений, тождественных преобразований, использования буквенной и геометрической символики, приемы схематизации и чтения чертежа задачи и т.д.

3.Возраст учащихся 7-8 классов — переходный возраст. В этот период происходит не только физическое созревание человека, но и интенсивное формирование личности, убеждений, нравственных принципов. Стремление к самопознанию и самовоспитанию выше, чем у пятиклассников. Ведущей деятельностью для большинства ребят является деятельность общения, заключающаяся в построении интимно- личностных отношений с товарищами на основе определенных морально- этических норм.

В мыслительной деятельности ребят этого возраста за счет соответственного материала — разделения предмета математики на два (алгебра и геометрия) осуществляется переход к более высокому уровню обобщения и абстрагирования, к построению точных определений, формированию понятий и дедуктивного умозаключения. То есть развивается абстрактное мышление путем восхождения от конкретно — образного.

При этом большое место в содержании образования занимает формирование способностей к понятийному и рефлексивному мышлению, т.к. в этот период математического образования уточняются известные понятия курса математики (выражения, уравнения, неравенство, число, точка, прямая и др.) формируется большое количество новых понятий (тождество, числовые промежутки, функция, график функции, одночлен, многочлен, аксиома, теорема, постулат, доказательство, рассуждение и др.). Здесь появилась возможность и необходимость включить в содержание математического образования способность формулировать математические предложения, выделять их математическую структуру, проводить дедуктивные рассуждения (доказательство теорем, тождеств) выполнять некоторые логические операции (приемы логического следствия), а также анализировать в рефлексивном плане решения задач и свою деятельность в процессе решения; самостоятельно формировать условия для реализации цели деятельности, подбирать необходимую литературу и кооперантов для этого.

4. Эти способы и приемы мыследеятельности, которые реализуются также через частные и специальные приемы учебной деятельности, являются содержанием работы учителя математики и в 9-10 классах. У учащихся этого возраста, особенно 9 класса, отмечается ярко выраженное различие по многим параметрам, в частности, в интеллектуальной деятельности, развиваются стойкие интересы к одному или нескольким предметам, появляется у некоторых устойчивая склонность к умственной работе, а у других — отсутствие этой склонности, неустойчивость интересов и профессиональных намерений. В основном это результат отсутствия целенаправленной работы по формированию их мыслительных способностей в предыдущих классах.

Поэтому в этих классах учитель тактично работает над коррекцией основных универсальных способностей, а также подбирает такой материал и формирует такие ситуации, которые способствовали бы освоению и усвоению основных математических способов и приемов, перечисленных выше. Особое внимание уделяется в этот период развитию способностей логически перерабатывать материал, организовывать свою учебную и образовательную деятельность, ставить и переформулировать (в случае необходимости) задачу, выдвигать гипотезы, проблематизировать ситуацию (т.е. способность вычленить и сформулировать проблем) в какой-то затруднительной ситуации).

5.В этот период, а также в 11 классе учитель работает с учащимися в плане содержательного абстрагирования и обобщения, которые выступают как две стороны единого процесса формирования единицы конкретной математической науки (алгебры, анализа, тригонометрии, геометрии, теории вероятности и др.), конкретной задачи или проблемы.

      Что мы понимаем под процессом выделения единицы? В чем его механизм? Благодаря абстрагированию ученик вычленяет исходное отношение некоторой целостной системы данной науки или задачи и при мысленном восхождении к ней удерживает его специфику. Это исходное отношение сначала выступает как особенное отношение, но в процессе обобщения ученик при установлении закономерных связей этого отношения с единичными явлениями, понятиями или элементами данной теории может обнаружить его всеобщий характер как основу внутреннего единства целостной системы, т.е. выделить единицу какого-нибудь процесса или системы — это значит провести содержательное обобщение, открыть некоторую закономерность, необходимую взаимосвязь особенных и единичных элементов (явлений) с общей основой некоторого целого, открыть закон становления этого целого. Такое содержательное обобщение осуществляется путем анализа некоторого целого с целью открытия его генетического исходного, существенного, всеобщего отношения как основы внутреннего единства этого целого — его единицы.

При этом фиксация этого общего отношения происходит на языке математики, т.е. в знаково-символической форме. Однако этому процессу — формированию способов и средств знаково-символической деятельности в математике, а именно: кодированию и декодированию, схематизации, замещению, моделированию и т.п., посвящена отдельная работа.

Следует сказать, что в данной работе представлена далеко не полная периодизация способностей при обучении математике для различных возрастов. Автор и не ставил перед собой такой задачи не только потому, что данные исследования достаточно полно отражены в работах Выготского Л.С., Эльконина Д.Б., Гальперина П.Я., Давыдова В.В., Круглова Б.С., Фридмана Л.М., Епифановой О.Б., Крутча В.И. и других авторов, но еще и потому, что в процессе перехода на новое содержание образования каждый учитель разрабатывает своих подходы к математическому образованию, свою периодизацию формирования способностей, исходя из своих представлений и идей, из конкретной ситуации, в которой он оказывается, и, главное, идя от конкретного ребенка, с которым он начал совместное восхождение к вершинам математики.

Изменение содержания образования неизбежно требует и изменения роли учителя и ученика в этом процессе, формирования иной концепции учителя математики. И в этом еще один из возможных выходов на механизм перехода к новому содержанию математического образования.

1. Роль учителя математики в новом образовательном процессе

1.Наряду с тем, что повышение роли математического образования в современную эпоху ставит вопрос о необходимости резкого увеличения вкладываемого в него общественного труда, активного участия всей математической общественности в помощи школе в различных формах, ведущим звеном образовательной системы является педагог, причем роль его в этом процессе возрастает и существенным образом меняется. Участвовать в образовании человека может только тот, кто имеет собственный образ человека и готов включиться в совместную с учеником образовательную деятельность на равных. Ведь образовывать приходится прежде всего самого себя.

2.Специфика работы учителя математики состоит в том, что он несет на себе математическую культуру, в которой отразилась вся история развития человеческой культуры. Он владеет материалом математики и ее содержанием, т.е. владеет способами содержательного абстрагирования и обобщения, анализа, сравнения, схематизации и моделирования, проблематизацни ситуации, постановки и решения задачи, рефлексии своей деятельности, дедуктивным и индуктивным умозаключением, логикой, аналогией и другими. И, кроме того, имеет или развивает в себе интуицию, которая помогает оперативно определиться в проблемной ситуации и определить способ ее разрешения, так как учитель всегда находится в проблемной ситуации, общаясь со своими учениками.

Для учителя математики, в отличие от других предметников, способы мыследеятельности являются не просто необходимым и желательным фактом его собственного развития, но и непосредственно содержанием и предметом его работы с детьми. Поэтому он не просто должен освоить эти способности, но и владеть ими на разных уровнях анализа и конкретизации, вплоть до понимания алгоритмического Предписания, необходимого для освоения соответствующего приема или способа. Например:

— Анализировать — это значит:

а) определить цель анализа (обычно это понимание сущности объекта);

б) расчленить изучаемый объект на составные элементы (признаки, свойства, отношения, части и др.);

в) исследовать отдельно каждый элемент, включая, если нужно, каждый изучаемый объект в связи и отношения с другими);

г) составить план изучения объекта в целом;

— Сравнить объекты — это значит:

а) используя наблюдение и анализ, выделить свойства объектов или их частей;

б) установить общие и существенные свойства или признаки объектов;

в) установить различные или несущественные свойства объектов;

г) сформулировать основание для сравнения (заданное или выделенное среди свойств);

д) сопоставить объекты или их части по данному основанию;

е) сформулировать вывод сравнения.

И так далее.

При этом специфическим компонентом работы учителя математики является выделение соответствующего культурного математического материала, адекватного формулируемому способу или приему мыслительной деятельности.,

3. Таким образом, первое, с чего надо начинать свою деятельность учителю математики, — это формирование идеи, гипотезы, концепции своей собственной педагогической работы с конкретными учениками, учитывающей их возрастные интеллектуальные особенности и включающей в себя как механизм формирования мотивации совместной деятельности, так и конкретные способы, приемы и методы мышления и деятельности, которые учитель считает содержательными для себя и данных учащихся, а также тот математический материал, на котором возможно их формирование.

В процессе совместной деятельности с ребятами, данная гипотеза или концепция рефлексируется, анализируется обеими сторонами, трансформируется и обобщается, т.е. подвергается математической обработке с целью дальнейшего развития и совершенствования.

4.Так как процесс образования рассматривается нами как система различных видов деятельности ученика и учителя в индивидуальном или коллективной форме, направленных на развитие тех качеств личности, которые составляют цель образования, то основным принципом педагогической деятельности должно быть создание условий для развития потребностей, мотивов, смыслов и целей деятельности учеников в определенном математическом материале. Круг деятельности, в который включен ученик на уроке математики, в частности, побуждается разнообразными потребностями. Учителю важно поддержать развитие познавательных потребностей ребенка (в младших классах — любознательность, в старших — потребность в творческой деятельности). Потребность, находя предмет, способный ее удовлетворить, становится мотивом, направляющим соответствующую деятельность. Не следует забывать, что в качестве мотива всегда выступает переживание чего-то личностно значимого для ребенка. Учитель может побуждать ребенка к переживанию различным образом: своими вопросами, деятельностью, воспоминаниями и другими средствами.

При этом он создает условия для формирования и актуализации смыслообразующих мотивов, которые, побуждая деятельность, придают ей личностный смысл.

Другие мотивы, выполняющие роль побудительных факторов, порой остро эмоциональных, но лишенных смыслообразующей функции являются мотивами-стимулами и тоже учитываются учителем в своей работе.

Смысл выражает отношение мотива деятельности к непосредственной цели действия. Одно и то же действие, входя в разномотивированные деятельности, приобретает различный смысл. «Смыслу не учат — смысл воспитывается».

5. Проблема, которую постоянно несет на себе учитель — это проблема сознательности учения (образования), т.е. проблема того смысла, какой приобретают для ученика те образовательные и учебные ситуации и то содержание, которое он в них получает.

Итак, учителю надо работать в сфере мотивации. Работать — значит управлять процессом формирования этой мотивации, формирования соответствующих способностей. Степень этого управления может быть различной: жесткой, гибкой, личностной. Чем выше степень самостоятельности и самоопределения ученика в целеполагании им своей деятельности и ее рефлексии, тем выше степень личностности управления, которая должна возрастать по мере роста учащихся и в старших классах приобретать всеобщий характер. Но при этом управление процессами образования должно всегда опираться на

внутренние силы и возможности учащихся.

6. Каковы этапы формирования нового содержания образования?

Учитель организует или использует естественную ситуацию, пробуждающую у учеников интерес, при котором возникает познавательная потребность. В процессе сознания этой потребности ученики вместе с учителем осуществляют соответствующую деятельность и реализуют эту потребность (и это является первым содержанием образования, CO1) или же сталкиваются с противоречием между потребностью и своими возможностями ее удовлетворения. В этом случае они оказываются в проблемной ситуации. Потом строится рефлексия, осознание этого противоречия (второе содержание образования, СО2). Процесс осознавания этого противоречия и есть фактическое начало мышления, направленное на разрешение проблемной ситуации. Этот процесс мышления (СО2) состоит на данном этапе в установлении характера и особенностей проблемной ситуации, построения мысленной модели этой ситуации. Далее эта мысленная модель описывается символическим языком математики с привлечением всех необходимых в этом случае способов, смыслов, материалов, выработанных в математической культуре (освоение этой культуры учениками и является СОЗ), содержание которой несет в себе учитель, его компаньон или любой из участников этой проблемной ситуации. Так формируется задача (математическая), как знакомая модель проблемной ситуации, отражающая лишь некоторые основные ее стороны. И далее все начинается сначала, только на новом уровне, т.к. ученики опять попадают в затруднительную проблемную ситуацию с противоречием между потребностью решить задачу и отсутствием нужных для этого возможностей. Поэтому вся предыдущая его деятельность является содержанием образования в смысле решения данной задачи. Далее идет процесс осмысления задачи, ее условия, перевода ее на понятный язык, переформулировки ее условия, т.е. построения модели или схемы задачи (это СО2). Любая математическая задача требует использования специфических методов, приемов и средств, которые выработаны человечеством в математической культуре. Освоение этих средств, способов и методов и является очередным содержанием образования (СО2), которое приобретают участники этого процесса. Потом идет решение задачи, анализ его, рефлексия способа и метода решения, проверка на непротиворечивость, соответствие возникшей ситуации и другие действия, входящие в культурный пласт СО3.

Задача решена. Проблемная ситуация исчерпана. Но далее может осуществиться выход учеников вместе с учителем на новое содержание образования (СО4), если они попытаются в рефлексии выйти на содержательное обобщение той деятельности 1 по выходу из проблемной ситуации и деятельности 2 по решению задачи и сформулировать обобщенный метод формирования ориентировочной основы своих собственных действий разрешения проблемы, обобщенную эвристическую программу решения этого класса задач. Освоение данное, содержание образования (СО4) и позволяет учащимся устойчиво работать в этом образовательном процессе, переносить освоенные приемы и способы на другой материал, в другую сферу деятельности. И по наличию способностей к такому переносу можно говорить о законченном процессе формирования математического образования.

7. Однако, эта способность к переносу приемов, способов и средств мыследеятельности формируется не только на уроках математики. И здесь по-новому формулируется задача кооперации учителей различных предметов, сотрудников и научных работников школы на основе общей цели по формированию у учащихся общих и специфических способов и приемов мышления, погружения в деятельность по овладению этим содержанием образования на различном предметном материале.

Это те самые межпредметные связи, но под которые подведена иная смысловая база в рамках нового содержания образования. Сами же учителя кооперируются и осуществляют совместную деятельность по рефлексии и овладению способами и средствами педагогической деятельности на базе формирования общих способностей.

И роль математики в этой кооперации, с нашей точки зрения, ключевая. Другое дело, что данный процесс должен быть подготовленным и гармонично вписываться в систему работы школы, ее отдельных направлений, кафедр, учителей и сообществ детей и взрослых по формированию самоопределяющейся, самообразовывающейся, самостоятельной личности. Но это уже концепция управления школой как образовательной системы.

Поскольку проблемные ситуации целенаправленно организуются педагогом (и только в этом контексте можно вести разговор о педагогическом мастерстве), можно определить те проблемные области, в которых они могут выстраиваться и организовываться.

— Область проблем собственно математических. Сюда относятся как проблемы, связанные с не владением математическими средствами и методами решения задач, так и проблемы зарождения, становления и развития математической науки, ее философия и история; проблемы Эвклидовой и неэвклидовой геометрии, проблемы математического моделирования и прогнозирования, теория решения уравнений любого порядка, применение различных систем исчисления и отображений в процессе решения задач, проблемы функционального анализа и самого понятия функции и т.д. Любым математиком этот ряд может быть продолжен или ограничен в зависимости от его видения материала.

— Область проблем, связанных с переносом приобретенных на математике новообразований (способов, методов и техник решения задач, мышления и т.д.) на другие сферы и области деятельности, прежде всего мировоззренческого плана.

— Область проблем педагогических. Ведь ученик перестает быть объектом педагогического воздействия и становится субъектом своего собственного образования, а значит, перед ним возникают те же педагогические проблемы по образованию и обучению самого себя и своих товарищей, что стоят и перед учителем. Это проблемы преодоления разрыва между учеником и учителем, между учеником и процессом его самообразования, выхода на новое содержание образования (СО4).

8. Образовательная ситуация.

                 Таким образом, складывание образовательной ситуации в процессе общения учителя и ученика может идти различными путями. Но в любой такой ситуации, с нашей точки зрения, присутствует совместная деятельность учеников и учителя, реализуемая каждым участником исходя из своих собственных индивидуальных побуждений, мотивов, возможностей, понимания и рефлексии этой самой совместной деятельности, как своей, так и партнеров. Деятельность эта разворачивается в проблемном поле по поводу решения собственной или общей для группы проблемы и имеет выход на культурное содержание, или это культурное содержание вносится кем-либо из участников процесса (учитель, ученый-математик, методолог, ученик и др.)

 8.1. Это может быть столкновение и сравнение различных гипотез и мнений по известным математическим проблемам, представленных учащимися, учителем и имеющихся в математической культуре и ее истории. При этом на первом этапе учащиеся разрабатывают собственные версии развития и разрешения данной проблемы, учатся их культурно обсуждать и лишь потом сравнивают их с культурными образцами, выделяя при этом механизм и критерии сравнения и изучая историю становления данной математической проблемы или гипотезы, осваивая способы проблематизации и решения проблем.

            8.2. Это может быть на материале эвристической для учащихся задачи, на которой каждый из участников реализует свои образовательные цели: освоение алгоритма решения задачи, выделение методов решения задачи, выделения и освоения собственного способа решения задачи, освоение универсальных способов решения и их переноса на задачи из другой сферы деятельности и др. При этом и учитель реализует свои цели по складыванию данной образовательной ситуации. После этого анализ продвижения и достижения цели каждым из участников этого процесса. Интересно, что данный подход позволяет на материале одной и той же математической задачи работать с учащимися, имеющими разный уровень математической подготовки и овладения основными формами математического мышления, техниками понимания. При этом в процессе коллективной рефлексии данной ситуации учитель имеет возможность обращать внимание учащихся на наиболее содержательные формы и способы мышления, осваивать новые способности и новые средства своей мыследеятельности.

1. Это может происходить, когда учитель идет учиться у учеников, идет с целью проблематизировать и раскритиковывать все то, что он имеет и знает, опираясь на результаты, полученные в совместной работе с учащимися. При этом он руководствуется принципом, что любая мысль или идея ребенка, отличная от подхода, имеющегося у учителя — потенциально гениальна. Необходимо ее развивать, сталкивать в противоречиях, проблематизировать ею знания и методы самого учителя, развивать до логического конца. И при этом ни в коем случае не отвергать с ходу.
2. Все это позволяет педагогу выстраивать ситуацию взаимодействия учащихся между собой, с учителем, с текстом различных математических задач, с различными математическими культурами. При этом в такой ситуации присутствует заинтересованность, постановка целей всеми участниками данного процесса, проблемное поле, осознание всего процесса деятельности, ее структуры, результатов и дальнейших перспектив, а также осознание своего собственного движения, личного результата. Наверное, в этом смысле можно вести речь об образовательной ситуации на уроках математики или при других формах общения педагога с учащимися.

При этом еще раз хочется подчеркнуть, что учитель работает прежде всего собой и с собой. Изменяет не столько ученика, сколько свое собственное сознание.