Александр Яковлевич Хинчин (1894–1959) — известный советский методист-математик, неоднократно обращал внимание на то, что многие трудности в изучении школьником математики связаны с тем, что она «изучает не вещи, а отношения между ними». Поэтому от ученика постоянно требуются способности к абстрагированию, обобщению, переносу фактов об объекте или данных о нем в новые ситуации, в которых объект отсутствует или уже заменен аналогичным, подобным, соответственным и т. п. Воспитание и развитие этих способностей успешно осуществляется на уроках, если педагог, во-первых, понимает необходимость и максимально использует занятия для формирования у школьника опыта выполнения предметных действий в соответствии с идеей и логикой решения (постоянно указывая на это, тренируя школьника в выдвижении гипотез, планировании собственного маршрута поиска ответа на вопрос) и установкой на рассуждение, объяснение каждого шага. Во-вторых, максимально использует математическое содержание с присущими ему цифрами, данными, отношениями для расширения кругозора младших школьников, повышения их культурного уровня.
Характеристика математической подготовки школьника: от первого класса к четвертому
Математическая подготовка школьников 1–4 классов имеет свои особенности. Дадим краткий «математический портрет» ученика к концу каждого года обучения.
Первоклассник способен различать математические характеристики (число, количество, местоположение, результат сравнения без измерения – тяжелее, выше и т. п.) для описания знакомых предметов, количеств, фактов. Может понять (и, как следствие, ответить на вопросы, дополнить) практическую ситуацию, представленную с помощью рисунка, предметной модели, описать положение предмета на плоскости (по отношению к другому предмету) с использованием знакомой терминологии (слева-справа, над-под и т. п.). Готов действовать по правилу, а в игровой ситуации и обсуждать правило (это важно для развития умения составлять инструкцию, план). Может включаться в поиск подтверждения истинности конкретного достоверного события: использовать числовые характеристики (указать число или количество), наглядное сравнение (приложить предметы друг к другу определенным образом при сравнении по длине, высоте, росту), общеизвестные данные или информацию (календарь, содержание или шмуцтитулы учебника и пр.).
Второклассник может использовать под руководством учителя и самостоятельно математические характеристики и величины при описании предметов, событий, объектов и количеств. Понимает, как использовать числовые данные и простейшие алгоритмы (сложения, вычитания, измерения длины отрезка, нахождения периметра) в практических ситуациях (рассчитать стоимость покупки, длину границы объекта прямоугольной формы и др.). За два года он научился составлять модели изученных сюжетных ситуаций (при решении типовых задач на нахождение суммы и остатка, увеличения или уменьшения величины на несколько единиц, на понимание смысла арифметических действий). Второклассник умеет применять арифметические действия самостоятельно для поиска ответа на вопрос о количественной характеристике события или проблемы. Самостоятельно пользоваться изученной терминологией для описания положения и взаимного расположения объектов, для формулирования предположений, ответов, выводов, связанных с арифметическими действиями (названия компонентов и результатов арифметических действий, цифр, чисел, отношений). У второклассника появился опыт составления и проверки истинности (верности) и ложности (неверности) утверждения для предложенного набора математических объектов (чисел, геометрических фигур, величин и др.), чтения, представления информации, данных на рисунке, схеме, в таблице.
Третьеклассник понимает и умеет использовать математические характеристики, описывающие разные характеристики одних и тех же предметов, явлений, событий. Может применять числа, арифметические действия и их свойства, величины и зависимости для разрешения житейских проблем (расчет времени, стоимости покупки, оценки протяженности, реализации отношений «больше/меньше на или в несколько раз» и пр.). Школьник умеет выбирать и составлять модель текста задачи, использовать модель для планирования хода действий и разрешения практической ситуации. Третьеклассник умеет составлять и применять план, алгоритм при решении разнообразных математических задач (при работе с числами, величинами, текстовыми задачами, геометрическими величинами и информацией), готов различать и называть форму, размеры (длина, периметр, площадь). Накапливает опыт применения математических методов (прикидка, оценка, перебор, представление информации и др.) для проверки истинности факта, свойства, решения; может вести поиск информации по заданному плану, алгоритму, представлять в выбранной форме и презентовать результаты поиска, решения.
Четвероклассник понимает и самостоятельно применяет числовые данные, величины, отношения и зависимости (например, чем больше уменьшаемое, тем больше разность) при описании предметов, явлений, событий, решении практических задач. Умеет сравнивать и различать объекты окружающего мира по форме, размеру, протяженности. Готов решать проблемные задачи на установление истинности (верности-неверности, возможности-невозможности события), числовую оценку, нахождение геометрических величин, расчетные задачи на движение, куплю-продажу и пр. Младший школьник имеет опыт выбора адекватных математических средств для разрешения житейских проблемных ситуаций.
К концу 4 класса ученик умеет обнаруживать и использовать в решении математическую сущность объектов, вести поиск, кодировку, представление и интерпретацию информации (данных). Умеет использовать логические конструкции при построении суждений, ориентироваться в геометрических формах и моделях окружающих его предметов.
Особенности изучения разделов курса математики в соответствии с требованиями ФГОС НОО
Разделы курса математики для начальной школы
| 2009 г. | 2021 г. |
| Числа и величины | Числа и величины |
| Арифметические действия | Арифметические действия |
| Работа с текстовыми задачами | Текстовые задачи |
| Пространственные отношения. Геометрические фигуры | Пространственные отношения и геометрические фигуры |
| Геометрические величины | |
| Работа с информацией | Математическая информация |
Из таблицы видно объединение двух геометрических разделов в один. В рабочей программе содержание работы с геометрическим содержанием прослеживается по следующим направлениям: ориентировка в пространстве; фигуры и действия над ними; построения; измерения; решение проблем.
На какие изменения в математическом содержании и его представлении в программе следует обратить внимание педагогу, организуя обучение по ФГОС НОО?
- Основное содержание курса представлено по годам обучения, и у педагога есть возможность увидеть перспективу изучения той или иной темы.
Особенностью программы является фиксирование круга понятий и терминов, которыми должны овладеть младшие школьники на каждом этапе обучения.
В разделе «Математическая информация» расширено содержание работы с утверждениями, представлены планируемые результаты этой работы с первого по четвёртый класс.
В программе обогащено содержание, раскрывающее становление функциональной математической грамотности. Оно обеспечивается поэтапным обучением решению учебных и практических задач, направленных на выявление сути математической ситуации, на отбор средств её решения, на осознанное применение математических отношений (например, «часть-целое», «больше-меньше»); на установление зависимостей между объектами (работа, движение).
Например, достаточно новым направлением обучения (появилось в содержании курса в 2009 году) является работа с элементами структуры и отдельными этапами решения текстовой задачи с целью повышения качества математической подготовки. В разделе «Работа с текстовыми задачами» учебного предмета «Математика» были выделены такие позиции: представление текста задачи, планирование хода решения и собственно решение. Авторы разных учебно-методических комплектов по предмету по-разному расставляли смысловые акценты: в одних внимание концентрировалось на отработке решения, в других – на получении и записи ответа, в-третьих – на составлении модели к тексту и дельнейшее ее использование для поиска способа, планирования и оформления решения. В разделе «Текстовые задачи» программы, доработанной в соответствии с обновленным ФГОС НОО 2021 года, все этапы работы над обучением решению представлены по годам обучения (см. табл. 1).
| Класс | Работа со структурой задачи и этапами ее решения |
| 1 | Текстовая задача: структурные элементы, составление текстовой задачи по образцу.
Решение задач в одно действие |
| 2 | Чтение, представление текста задачи в виде рисунка, схемы или другой модели.
План решения задачи в два действия. Запись решения и ответа задачи. Запись ответа к задаче и его проверка |
| 3 | Представление на модели, планирование хода решения задачи, решение арифметическим способом.
Запись решения задачи по действиям и с помощью числового выражения. Проверка решения и оценка полученного результата |
| 4 | Работа с текстовой задачей, решение которой содержит 2–3 действия: анализ, представление на модели, планирование и запись решения, проверка решения и ответа.
Разные способы решения некоторых видов изученных задач. Оформление решения по действиям с пояснением, по вопросам, с помощью числового выражения |
Из таблицы видно, что повышение внимания к каждому этапу решения задачи и преемственность в формировании умения выполнять каждый этап позволит сформировать у младших школьников более прочные знания по этому разделу. Аналогичный подход соблюдается и в других разделах курса.
- В обновленной программе по математике предметные требования к математической подготовке стали более конкретными, соблюдается преемственность от класса к классу.
В программе 2009 года требования к каждому разделу были представлены на конец четвертого года обучения, то есть за весь курс. Если предположить, что ученик не справился с заданием на конкретный планируемый предметный результат, то не представляется возможным выяснить, когда, на каком этапе обучения возник сбой (ученик не понял, не научился, не отработал) и как преодолеть затруднение. Ведь требования к предметным достижениям указывают на то, с чем приступит выпускник начальной школы к следующему этапу обучения.
Рассмотрим на примере раздела «Геометрические величины»
Планируемые результаты
1 КЛАСС
Предметные действия: распознавать отрезки, измерять длину отрезка (в см), сравнивать отрезки по длине (длиннее-короче).
Универсальные действия: характеризовать геометрическую фигуру (отрезок).
2 КЛАСС
Предметные действия: определять длину с помощью измерительных инструментов (линейки, сантиметровой ленты и др.), измерять длины реальных объектов с помощью линейки, указывать числовые данные на рисунке/чертеже, проверять правильность измерения.
Универсальные действия: наблюдать математическое отношение часть-целое (относительно единиц длины), распределять отрезки на группы, объяснять выбор единиц при измерении, комментировать свои действия.
3 КЛАСС
Предметные действия: использовать единицы длины (см, мм) при выполнении практических действий, пользоваться измерительными инструментами для определения длины, сравнивать по длине (больше/меньше на/в), выполнять прикидку и оценку результата измерения, выполнять сложение и вычитание однородных величин, выполнять измерение по алгоритму.
Универсальные действия: конструировать геометрические фигуры, прикидывать и проверять значение длины, дополнять данными чертеж, использовать математическую терминологию и символику в ходе измерения, осуществлять переход от одних единиц измерения к другим, вести поиск и исправлять ошибки.
4 КЛАСС
Предметные действия: выполнять прикидку и оценку результата измерения, использовать измерительные инструменты (в т. ч. циркуль) для построения и измерения, сравнения длин отрезков, строить логические рассуждения, составлять план решения задачи на построение, выбирать рациональное решение.
Универсальные действия: сравнивать и записывать признак сравнения (отрезков) конструировать отрезок заданной длины, использовать терминологию при комментировании, записи решения, контролировать правильность и полноту применения алгоритма измерения.
Все эти действия и умения представлены в учебных пособиях, дидактических материалах по контролю и оценке знаний младших школьников, поэтому педагог может увидеть проблемы ученика и своевременно организовать работу по устранению и предупреждению ошибок.
- Усиление отдельных предметных составляющих курса математики и акцент на овладении обучающимися конкретными математическими действиями.
В программе усилена работа с числами, величинами. Более широко, чем в предыдущей редакции, представлен геометрический материал. Больше внимания уделено обучению решению текстовых задач (об этом говорилось выше) и работе с математической информацией (в частности, работе с утверждениями).
Усиление геометрической линии курса проявилось в том, что в тексте ФГОС НОО работа с геометрическим материалом, развитие пространственного мышления представлено в 4 из 7 пунктов требований к математической подготовке школьника: число рассматривается как результат счета и измерения (пункт 1), указано на необходимость развития пространственного мышления, умений строить и измерять (пункт 3), знать алгоритмы измерений (пункт 4), развивать способности к установлению пространственных отношений при решении практических задач (пункт 7).
- Планомерное формирование универсальных учебных действий.
- Включение младших школьников в совместную математическую деятельность.
В ходе совместной деятельности, распределенной по годам обучения, младшие школьники учатся:
участвовать в парной работе с математическими задачами (1 класс);
решать в ходе командной работы математические проблемы поискового характера (все варианты решения, новый способ или прием оформления и т. п.), использовать или наблюдать действие измерительных инструментов (2 класс);
определять значения величин, выполнять прикидку и оценку результата (3 класс);
договариваться о способе решения математической задачи, согласовывать мнения при поиске доказательства, формулировании объяснения к полученному ответу, проводить расчеты, разметку, проверку и оценку и т. д. (4 класс).
Приведём примеры конкретных заданий для работы в группах, парах.
1 класс – «Измерение длины с помощью мерки в заданных единицах (клетках или сантиметрах)», «Проверка правильности вычислений с использованием раздаточного материала, линейки, модели действия».
2 класс – «Анализ хода выполнения действия с использованием разных приёмов вычислений, выбор рационального приёма и его применение», «Соотнесение текста задачи с её иллюстрацией, схемой, другой моделью, составление модели к тексту задачи», «Конструирование геометрической фигуры с заданным свойством, выполнение модели из бумаги».
3 класс – «Нахождение площади фигуры, составленной из прямоугольников (дополняемой до прямоугольника)», «Переход от одних единиц площади к другим с комментированием и иллюстрацией», «Составление и решение текстовой задачи заданного вида», «Составление таблицы с информацией для предложенной практической ситуации».
4 класс – «Применение разных способов проверки правильности вычислений», «Классификация чисел, геометрических фигур по двум основаниям, представление результатов классификации в табличной форме», «Придумывание практической проблемы, которая может быть решена математическими средствами, составление образца решения».
Трудности, которые возникают у младших школьников при изучении математики, могут быть как чисто предметными, так и обусловленными причинами общеучебного характера. К последним относятся неготовность удержать учебную задачу, незнание математического термина или понятия, недостаточность опыта применения сравнения, анализа, смыслового чтения или несформированность других универсальных учебных действий. Также следует отметить, что предметные трудности могут провоцироваться чрезмерным объемом заданий воспроизводящего характера, невниманием педагога к обсуждению идеи и плана выполнения задания, анализу ответа и других способов его получения, недостаточное применение инициативных деятельностей детей (взаимопроверка, коллективное обсуждение гипотез, поиск наиболее рационального решения).
Предпосылкой формирования интеллектуальных процессов называют в дидактике поисково-исследовательскую деятельность. Это связано с тем, что в её основе лежит обсуждение проблем, с которыми обучающиеся ранее не сталкивались, что требует постановки гипотез, обмена мнениями, поиска доказательств и т.д. Ну, и конечно, потребность младших школьников подражать, импровизировать, играть в ролевые игры подтверждает необходимость использования продуктивно–творческой деятельности – различных учебных ситуаций, которые строятся на фантазии и воображении.
В методических рекомендациях (Приложение 1) раскрываются примеры использования творческих заданий с учётом специфики учебного предмета.
Таким образом, в методических рекомендациях раскрываются зависимости возникающих у обучающихся трудностей учения от методических неточностей в организации учебного процесса и обсуждаются возможные пути изменения образовательной технологии с целью устранения и предупреждения проблем обучения. Эти положения конкретизируются в таблице.
Зависимость трудностей учения от характера обучения
| Трудность, возникающая в процессе учения | Характер обучения |
| Неготовность решать нестандартные
задачи |
Приоритет образца и типовых задач |
| Низкий уровень сформированности универсальный учебных действий | Приоритет решения предметных задач |
| Неумение рассуждать, предполагать, импровизировать («эффект ленивого мозга») | Отсутствие заданий на постановку гипотез, рассуждение, поиск ошибок, доказательств |
| Низкий уровень контроля и самоконтроля, неумение обучающегося устанавливать причину ошибки и её предвидеть | Контроль и оценка – функция учителя, обучающийся в деятельности контроля не участвует |
Выбирая учебник или учебное пособие, педагогу стоит обратить внимание на акценты, которые расставляют авторы в содержании обучения в каждом классе.
В математической подготовке современного младшего школьника делаются следующие существенные акценты.
Первый. Поэтапное формирование математических представлений. Обучение младшего школьника в начальной школе учитывает его возрастные особенности, степень актуальности и востребованности знаний и умений. Делается установка на активное применение изучаемого материала для решения учебных и практических задач. От класса к классу меняется уровень алгоритмизации действий, степень развернутости комментариев к выполнению изученных и новых действий.
Второй. Внимание к математическому развитию ребенка. Успешность освоения обучающимися математических представлений во многом обеспечивается становлением действий универсального характера, приоритетных для математики: рассуждать, анализировать, обобщать, применять, упорядочивать, приводить пример, действовать по алгоритму, составлять план/инструкцию и др. Младшие школьники приобретают опыт использования в речи математической терминологии, формулируют выводы, составляют утверждения и проверяют их истинность. Например, «строить логические рассуждения, (одно-двухшаговые) с использованием связок «если .., то», «и», «или», «некоторые».
Третий. Акцент на выделении и преемственном представлении тем практического характера на применение, самостоятельное использование младшим школьником предметных умений (приведение примеров, измерение величин, изображение и построение геометрических фигур, овладение простейшими способами измерения длин, площадей).
Четвертый. Формирование предметных умений и универсальных учебных действий, мотивирующих к дальнейшему обучению, обеспечивающих готовность к продолжению математического образования, способность работать с разноплановой информацией.
В методических рекомендациях раскрываются обновленные подходы к оцениванию планируемых результатов обучения по учебным предметам начальной школы: русскому языку, литературному чтению, математике, окружающему миру. Обсуждается понятие «оценочная деятельность», принципы определения объектов контроля и оценки. Дается общая характеристика видов оценочных работ, раскрывается значение, особенности организации двух видов оценки планируемых результатов обучения, которые определяют перспективное построение образовательного процесса: стартовая оценка (начало каждого года обучения) и промежуточная аттестация (конец обучения в четвертом классе). Приводятся примеры заданий для этих видов оценочных процедур по каждому учебному предмету.