Технологическая карта урока
Предмет: Алгебра и начала математического анализа
Класс: 11 класс (или 1 курс СПО)
Тема урока: Применение производной для решения прикладных задач (физика, экономика, геометрия)
Тип урока: Урок комплексного применения знаний и умений (урок-практикум)
Форма урока: Групповая + индивидуальная работа с практическим содержанием
Длительность: 45 минут
Цели и планируемые результаты
Дидактические цели
- Образовательная: научить применять производную для решения оптимизационных задач из физики, экономики и геометрии (нахождение максимума/минимума, скорости, предельных величин).
- Развивающая: развивать математическую грамотность, умение переводить реальную ситуацию на язык производной и интерпретировать результат.
- Воспитательная: формировать понимание связи математики с профессиями (инженер, экономист, врач-исследователь).
Планируемые результаты (УУД)
| Личностные | Метапредметные | Предметные |
|---|---|---|
| Осознание практической ценности математики; умение работать в команде. | Познавательные: анализ условия, выбор формулы, построение модели. Регулятивные: планирование решения, контроль времени, коррекция ошибок. Коммуникативные: аргументация ответа, распределение ролей в группе. |
Умеют вычислять производные, находить критические точки, определять экстремум функции. Применяют алгоритм оптимизации для решения реальных задач. |
Оборудование и материалы
- Доска, проектор (презентация с условиями задач).
- Раздаточный материал: Карточки с кейсами (3 варианта: Физика, Экономика, Геометрия).
- Листы А3 для группового решения, маркеры.
- Калькуляторы (по необходимости).
Ход урока (45 минут)
| Этап (время) | Деятельность учителя | Деятельность учеников | Формируемые УУД |
|---|---|---|---|
| 1. Орг. момент и мотивация (3 мин) | Приветствие. Демонстрирует фрагмент текста задачи ЕГЭ профильного уровня (№10 или №12). Вопрос: «Зачем инженеру или бизнесмену уметь находить максимум функции?» | Слушают. Высказывают гипотезы (найти оптимальную скорость, минимальные затраты, максимальную прибыль). | Личностные: понимание «зачем мне это». Коммуникативные: высказывание мнения. |
| 2. Актуализация знаний (5 мин) | Экспресс-опрос (или математический диктант): 1) =3x2 — что это? 2) Правило нахождения экстремума? 3) Физический смысл v(t)=(t)? |
Вспоминают алгоритм: 1) (x)=0 2) Критические точки 3) Знаки производной 4) Max/Min |
Регулятивные: актуализация знаний. |
| 3. Постановка проблемы (2 мин) | Учитель формулирует проблему: «Функция не всегда дана в виде формулы. Как найти лучший размер коробки?» Объявляет тему и цель: «Решение прикладных задач на оптимизацию». |
Записывают тему в тетрадь. | Регулятивные: целеполагание. |
| 4. Групповая работа (14 мин) — основной этап | Делит класс на 3 группы (Физики, Экономисты, Геометры). Раздает кейсы (см. ниже). Инструктирует: «Нужно составить модель, взять производную, найти оптимум, защитить решение». |
Получают карточку. Читают условие. Строят модель на листе А3. Вычисляют производную. Находят экстремум. |
Познавательные: математическое моделирование. Коммуникативные: работа в группе. Предметные: нахождение экстремума. |
| 5. Физминутка / Смена деятельности (1 мин) | *«Быстро встали. Если производная положительна — потянулись вверх, отрицательна — присели. f(x)=x², x>0» * (тренируют знак производной). | Выполняют движения. | Здоровьесбережение. |
| 6. Презентация решений (10 мин) | Вызывает по 1 представителю от группы к доске. Задает уточняющие вопросы: «Почему вы отбросили отрицательный корень?», «Что означает это число на практике?» | Представитель вывешивает лист А3, объясняет ход решения. Остальные слушают, дополняют, задают вопросы. | Коммуникативные: защита проекта. Регулятивные: контроль. |
| 7. Самостоятельная работа (3 мин) | Раздает индивидуальные мини-карточки с разноуровневыми задачами (Задача 1 — легкая, Задача 2 — сложная). | Решают в тетради (или выбирают уровень). | Регулятивные: самоконтроль. |
| 8. Рефлексия и ДЗ (2 мин) | Вопросы: 1) Где в жизни встречается оптимизация? 2) Какое открытие сделали сегодня? Дает комментарий к ДЗ. |
Отвечают. Записывают ДЗ. | Личностные: самооценка. |
Содержание кейсов для групповой работы (Раздаточный материал)
- Кейс 1. «Физики» (Оптимальная скорость)
Условие: Теплоход расходует топливо в час по закону F(v)=0.5v2−20v+300 (усл. ед.), где v — скорость (км/ч), 10≤v≤30.
Задание: Найдите скорость, при которой расход топлива будет минимальным. Оправданно ли для экономии гнать теплоход со скоростью 30 км/ч?
Решение:
- F′(v)=v−20.
- F′(v)=0⇒v=20 (критическая точка).
- При v<20 производная < 0 (убывает), при v>20 — > 0 (возрастает). Значит, v=20 — точка минимума.
- Ответ: v=20 км/ч. Гнаться быстрее (30 км/ч) невыгодно, расход растет.
- Кейс 2. «Экономисты» (Максимум прибыли)
Условие: Функция выручки R(x)=120x, функция издержек C(x)=0.5x2+20x+500, где x — количество товара (шт.), x≥0.
Задание: Найдите количество товара x, при котором прибыль P(x) будет максимальной.
Решение:
- P(x)=R(x)−C(x)=120x−(0.5x2+20x+500) = −0.5x2+100x−500.
- P′(x)=−x+100.
- P′(x)=0⇒x=100.
- Производная меняет знак с «+» на «-» ⇒ максимум.
- Ответ: 100 единиц товара.
- Кейс 3. «Геометры» (Оптимальный размер коробки)
Условие: из квадратного листа картона со стороной 24 см нужно вырезать по углам одинаковые квадраты и согнуть края, чтобы получилась коробка без крышки.
Задание: Какой высоты должна быть коробка (x — сторона вырезаемого квадрата), чтобы ее объем был максимальным?
Решение:
- Объем: V(x)=(24−2x)2⋅x=4x3−96x2+576x.
- (x)=12x2−192x+576=12(x2−16x+48) = 0.
- x2=12x2−16x+48=0 ⇒ x1=4, x2=12.
- x=12 не подходит по смыслу (сторона станет 0). Проверяем x=4: производная меняет «+» на «-» ⇒ максимум.
- Ответ: Высота коробки = 4 см.
Индивидуальная самостоятельная работа (3 минуты)
- Вариант 1 (Простой):
Тело движется по закону S(t)=t2−4t+5. Найдите скорость в момент времени t=3t=3.
- Вариант 2 (Продвинутый):
Найдите наибольшее значение функции y=x3−3x2+2 на отрезке [0;2] (жизненная задача: максимум выработки).
- *(Ответы: Вар 1: v(3)=2; Вар 2: y(0)=2, y(2)=−2, максимум в точке 0 = 2).*
Домашнее задание
- Обязательный уровень: № 937 (из учебника Мордковича, любое издание) — задача на нахождение максимальной площади прямоугольника, вписанного в треугольник.
- Творческий уровень: Придумайте свою прикладную задачу, где требуется найти минимальное или максимальное значение с помощью производной (в физике, географии, строительстве). Решите её и оформите на альбомном листе.
