МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«ДМИТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ»

(ГБПОУ МО «Дмитровский техникум»)

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему

«Прогнозирование поведения функции по её производной с помощью нейросети: концепция разработки нейротренажёра»

Код специальности (профессии) 09.02.13

Специальность (профессия) Интеграция решений с применением технологий искусственного интеллекта

Выполнила студентка 1 курса:

Липатова Анжелика Витальевна ________________

(ФИО) (Подпись)

Группа 10ИИ

Руководитель исследовательской работыПреподаватель общеобразов. дисциплин(степень, ученое звание при наличии)
Алешина Лариса Анатольевна

Оценка_______________ Дата «______» _______________2026 г.

г. Дмитров

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СВЯЗИ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПОВЕДЕНИЕМ И ПРИМЕНЕНИЯ НЕЙРОСЕТЕЙ 6
1.1. Производная функции: «пульс» и «наклон» 6
1.2. Язык производной: как она описывает поведение функции 6
1.3. Нейросеть как инструмент анализа графиков 7
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 9
2.1. Краткая методика эксперимента 9
2.2. Выбор и обучение нейросетевой модели 10
2.3. Ожидаемые результаты и их интерпретация 10
2.4. Концепция разработки нейротренажёра «Прогнозирование поведения функции по её производной» 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Интеграция искусственного интеллекта (далее по тексту — ИИ) в научные и образовательные области является одним из ключевых трендов современности. В математике, являющейся основой многих технических и естественных наук, ИИ открывает новые возможности для автоматизации анализа и решения сложных задач [1]. Традиционные методы исследования функций, основанные на аналитическом вычислении производных и их интерпретации, требуют глубокого понимания математического аппарата и могут быть трудоёмкими. В то же время задачи прогнозирования поведения функции по её производной (определение экстремумов, интервалов монотонности, точек перегиба) являются фундаментальными в курсе математического анализа. Автоматизация этого процесса с помощью нейросетевых технологий отвечает вызовам цифровизации образования и науки, позволяя создать вспомогательные инструменты для студентов СПО и преподавателей [2][1].

Новизна исследования. Существует уже значительное количество работ, посвящённых применению нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений [3][4][5] и распознавания математических выражений [6]. Однако использование нейросетевых моделей именно для интерпретации графиков производных с целью прогнозирования поведения исходной функции представляет собой новое направление на стыке компьютерного зрения, машинного обучения и математического анализа. Данное исследование фокусируется не на решении уравнений, а на распознавании визуальных паттернов на графике производной и их переводе в качественные характеристики функции.

Практическая значимость данного исследования.

Для студентов СПО, особенно испытывающих трудности с математикой, разрабатываемый подход может служить наглядным инструментом для понимания связи между функцией и её производной. Нейросеть выступает в роли «цифрового напарника», который помогает визуализировать абстрактные понятия и проверять собственные решения [7].

Для преподавателей работа предоставляет методический ресурс для создания интерактивных заданий, вариативных примеров и средств наглядной демонстрации ключевых понятий математического анализа [8][2].

Цель исследования. Исследовать возможность применения нейросетевых моделей для автоматического прогнозирования свойств функции (экстремумов, интервалов монотонности, точек перегиба) на основе анализа графического изображения её производной.

Задачи исследования.

1. Теоретические:

• Систематизировать знания о связи производной функции с её поведением (экстремумы, монотонность, точки перегиба).

• Провести обзор существующих подходов к применению нейронных сетей в математическом анализе и задачах распознавания образов.

2. Практические:

• Разработать методику эксперимента, включая создание датасета графиков производных с разметкой.

• Описать процесс обучения и тестирования нейросетевой модели для анализа графиков.

• Разработать интерактивный пример (кейс), демонстрирующий применение модели для студентов СПО.

Гипотеза исследования. Нейросеть, обученная на размеченных графиках производных, сможет предсказывать поведение исходной функции (определять интервалы возрастания/убывания, локализовать экстремумы и точки перегиба) с точностью, достаточной для учебных целей, и может быть использована в качестве вспомогательного инструмента в образовательном процессе.

Методы исследования. В работе применялся комплекс методов:

1. Анализ литературы: изучение авторитетных источников по математическому анализу [9][10][11] и научных статей по применению нейросетей в математике [3][6][4][12].

2. Сравнительный анализ: оценка существующих нейросетевых инструментов и платформ для работы с математическими графиками и данными [7][13].

3. Экспериментальное моделирование: описание методики создания датасета, выбора архитектуры нейросети (например, свёрточной сети CNN, пригодной для анализа изображений), процесса обучения и валидации модели [14][15].

4. Визуализация и интерпретация: графическое представление результатов работы модели для обеспечения наглядности и доступности понимания.

Данная исследовательская работа имеет важное прикладное значение для современной системы образования и особенно актуальна для студентов и специалистов, работающих на стыке математики и искусственного интеллекта, а также для тех, кто занимается разработкой образовательных технологий нового поколения.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемых источников

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СВЯЗИ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ С ЕЁ ПОВЕДЕНИЕМ И ПРИМЕНЕНИЯ НЕЙРОСЕТЕЙ

1.1. Производная функции: «пульс» и «наклон»

Производная – это фундаментальное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в конкретной точке [10]. Для нас студентов её можно представить, как «пульс» функции, который показывает, как быстро она «растёт» или «падает».

Геометрический смысл. Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Если график круто идёт вверх — производная большая и положительная, если вниз — большая по модулю и отрицательная [10][11].

Механический смысл. Если функция описывает путь тела от времени, то её производная — это мгновенная скорость. Положительная скорость означает движение вперёд (возрастание функции), отрицательная — движение назад (убывание) [11].

1.2. Язык производной: как она описывает поведение функции

Анализ производной позволяет сделать выводы о самой функции без построения её подробного графика. Эти связи являются основой для постановки задачи исследования:

1. Интервалы монотонности (возрастание/убывание):

• Если на интервале f'(x) > 0, то функция f(x) на этом интервале возрастает.

• Если на интервале f'(x) < 0, то функция f(x) на этом интервале убывает[10].

Промт для нейросети: Задача — по графику производной (где он выше или ниже оси X) определить участки возрастания/убывания исходной функции.

2. Точки экстремума (максимумы и минимумы):

• Точки, где производная равна нулю (f'(x) = 0) или не существует, являются критическими. Среди них могут быть точки локального максимума или минимума функции [16].

• При переходе через точку максимума производная меняет знак с «+» на «-», через точку минимума — с «-» на «+».

Промт для нейросети: Задача — найти точки пересечения графика производной с осью X и классифицировать их как точки максимума, минимума или не являющиеся экстремумом.

3. Точки перегиба:

• Точка перегиба — это точка графика функции, где меняется характер выпуклости/вогнутости. В такой точке вторая производная (f»(x)) равна нулю или не существует, и меняет знак при переходе через неё [17][18].

• На графике первой производной точке перегиба исходной функции соответствует экстремум (максимум или минимум) [17].

Промт для нейросети: Задача — найти экстремумы на графике производной, чтобы определить точки перегиба исходной функции.

1.3. Нейросеть как инструмент анализа графиков

Искусственные нейронные сети (далее по тексту — ИНС) — это математические модели, способные обучаться распознаванию сложных паттернов в данных.

В задачах распознавания образов. Нейросети, особенно свёрточные (CNN), эффективно решают задачи классификации и сегментации изображений, выделяя в них важные особенности [6][15]. График функции или её производной можно рассматривать как частный случай изображения.

Применение в математике. Нейросети уже используются для решения дифференциальных уравнений [3][4][5], оптимизации функций [14], распознавания рукописных математических символов и формул [6]. Это доказывает принципиальную возможность применения ИИ для анализа математических объектов.

Дидактический потенциал. Нейросети обладают свойствами, ценными для образования: адаптивностью, интерактивностью, способностью к генерации примеров и персонализации обучения [8][2]. Существуют специализированные ресурсы, например, сайт «Функции и нейросети», который предлагает методики интеграции ИИ в изучение математики школьниками [7].

На основании вышеизложенного, можно подчеркнуть, что классические математические понятия (производная) могут быть эффективно проанализированы с помощью современных технологий ИИ. Особенно интересно, что нейросети могут:

• Автоматически определять характеристики функций;

• Помогать в обучении математике;

• Решать сложные математические задачи.

Самое важное, что я поняла из данной главы — это то, что производная и нейросети тесно связаны в анализе функций. Производная даёт математическое описание поведения функции, а нейросети помогают это описание визуализировать и анализировать.

Особенно ценным кажется то, что нейросети могут применяться не только для решения сложных математических задач, но и для обучения математике, что напрямую связано с моей специальностью.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

2.1. Краткая методика эксперимента

Эксперимент направлен на проверку гипотезы и включает несколько этапов:

1. Генерация датасета («учебника» для нейросети)

Источник данных: Программная генерация семейства функций (например, многочленов 3-й и 4-й степени, синусоид) и аналитическое вычисление их производных.

Разметка данных: Для каждого графика производной f'(x) создаётся текстовая разметка (label), указывающая:

• Координаты интервалов, где f'(x) > 0 (функция возрастает).

• Координаты интервалов, где f'(x) < 0 (функция убывает).

• Координаты и тип точек, где f'(x) = 0 (максимум, минимум, не экстремум).

• Координаты экстремумов f'(x) (точки перегиба f(x)).

2. Подготовка изображений

Графики преобразуются в изображения фиксированного размера (например, 64×64 пикселя в оттенках серого), что является стандартным входным форматом для свёрточных нейросетей.

3. Разделение на выборки

Датасет делится на обучающую (70%), валидационную (15%) и тестовую (15%) выборки.

2.2. Выбор и обучение нейросетевой модели

Архитектура. В качестве базовой модели выбирается свёрточная нейронная сеть (Convolutional Neural Network, CNN), так как она эффективна для обработки изображений [15]. Архитектура может включать несколько свёрточных слоёв для выделения признаков (линий, изгибов, пересечений с осями) и полносвязных слоёв для классификации.

Обучение. Процесс обучения заключается в минимизации функции потерь, которая показывает, насколько предсказания нейросети отличаются от правильной разметки. Используется алгоритм обратного распространения ошибки и оптимизатор (например, Adam) [14].

Визуализация процесса обучения. Построение графиков уменьшения ошибки на обучающей и валидационной выборках, что позволяет контролировать, не переобучается ли модель.

2.3. Ожидаемые результаты и их интерпретация

Качественный анализ. После обучения модель демонстрируется на новых, незнакомых ей графиках производных. Успешной можно считать модель, которая корректно выделяет основные интервалы и точки.

Пример ошибок. Модель может допускать ошибки на графиках сложной формы (с множеством осцилляций, близко расположенных нулей), что соответствует и естественным трудностям студентов. Анализ таких ошибок помогает понять ограничения модели и направления для её улучшения.

Количественная оценка. Для классификации точек экстремума/перегиба вычисляется метрика точности (accuracy) на тестовой выборке.

2.4. Концепция разработки нейротренажёра «Прогнозирование поведения функции по её производной»

1. Общее описание

Интерактивный тренажёр для студентов СПО позволит отработать навыки анализа графика производной для определения свойств исходной функции. План реализации как веб — приложение с модульной архитектурой.

Платформа: веб-браузер (кросс-платформенный).

Режим работы: онлайн/офлайн (с возможностью кэширования заданий).

2. Функциональные модули

1. Модуль визуализации графиков:

• отрисовка графиков f′(x) и f(x) с помощью библиотеки Chart.js или D3.js;

• интерактивные элементы: масштабирование, перемещение, всплывающие подсказки при наведении на критические точки;

• поддержка различных типов графиков: непрерывные, с разрывами, асимптотами.

1. Модуль ввода ответов студента:

• форма с полями для интервалов возрастания/убывания (в формате LaTeX: (−3;2));

• выпадающий список для выбора типа экстремума (минимум/максимум/не экстремум);

• текстовое поле для обоснования ответа (2 – 4 предложения);

• холст для эскиза графика (на базе HTML5 Canvas или Fabric.js).

1. Модуль анализа «нейросетевой модели»:

• алгоритм на основе правил математического анализа (не настоящая нейросеть);

• логика определения:

• интервалов монотонности по знаку f′(x);

• точек экстремума по смене знака f′(x);

• точек перегиба по экстремумам f′(x) (смена знака f′′(x));

• генерация протокола анализа в текстовом и графическом виде.

1. Модуль сравнения результатов:

• автоматическое сопоставление ответов студента с эталонными;

• цветовая индикация:

• зелёный — совпадение;

• красный — расхождение;

• жёлтый — пропущенный элемент;

• механизм выявления частичных совпадений (например, студент указал интервал (−3;0), а правильный ответ (−3;2)).

1. Модуль обратной связи:

• база знаний с типовыми ошибками и пояснениями;

• динамическая генерация вопросов-ответов для каждого расхождения;

• итоговый вывод с рекомендациями («Обратите внимание на поиск точек перегиба…»).

1. Модуль управления контентом:

• администраторская панель для добавления новых графиков f′(x);

• редактор параметров:

• координаты критических точек;

• уравнения функций (для проверки);

• уровни сложности (начальный/ продвинутый);

• импорт/экспорт заданий в формате JSON.

1. Модуль статистики:

• учёт попыток студента по каждому заданию;

• визуализация прогресса (графики улучшения навыков);

• экспорт данных в CSV для преподавателя.

3. Технические характеристики

Фронтенд:

• язык: JavaScript/TypeScript;

• фреймворк: React.js или Vue.js;

• библиотеки:

• Chart.js/D3.js — для графиков;

• MathJax — для отображения формул в LaTeX;

• Fabric.js — для интерактивного холста.

Бэкенд:

• язык: Python (Django/Flask) или Node.js;

• БД: PostgreSQL или MongoDB (хранение заданий, ответов, статистики);

• API: RESTful для взаимодействия фронтенда и бэкенда.

Развёртывание:

• хостинг: облачный сервер (AWS, Google Cloud, Yandex Cloud);

• контейнеризация: Docker (для модульности);

• CI/CD: GitHub Actions или GitLab CI.

4. Алгоритм работы системы

Инициализация:

• студент выбирает задание или режим (тренировка/экзамен);

• система загружает график f′(x) из БД.

Этап 1 (анализ студента): отображение графика f′(x) с интерактивными элементами; заполнение формы и эскиза.

Этап 2 (анализ модели): запуск алгоритма обработки графика; генерация протокола с пояснениями.

Этап 3 (сравнение): сопоставление ответов; подсветка расхождений; показ точного графика f(x).

Этап 4 (обратная связь): вывод пояснений для каждой ошибки; сохранение результатов в статистику.

Завершение: отображение итогового вывода и рекомендаций; предложение перейти к следующему заданию.

5. Интерфейс пользователя

Экран задания:

• левая панель: график f′(x), кнопки управления (масштабирование, сброс);

• центральная область: форма ввода ответов и холст для эскиза;

• правая панель: протокол модели (появляется после проверки).

Экран результатов:

• разделённое отображение: ответ студента vs ответ модели;

• график f(x) с маркерами точек экстремума и перегиба;

• блок пояснений с вопросами-ответами;

• прогресс-бар и кнопка «Следующее задание».

6. Требования к безопасности и доступности

• аутентификация студентов (логин/пароль);

• разграничение прав (студент/преподаватель/администратор);

• валидация ввода (защита от XSS и SQL-инъекций);

• поддержка скринридеров (ARIA-атрибуты для графиков);

• адаптивный дизайн (мобильные устройства, планшеты).

7. Сценарии использования

Тренировочный режим: неограниченное число попыток; подсказки по запросу; постепенное усложнение заданий.

Экзаменационный режим: таймер (30 — 60 мин); ограничение на 1 попытку; автоматическая оценка (баллы за каждый правильный элемент).

Режим преподавателя: создание кастомных заданий; просмотр статистики группы; генерация отчётов.

8. Критерии успеха

• точность сопоставления ответов: ≥ 95 %;

• время отклика системы: < 2 с;

• покрытие тестовыми сценариями: 80 % кода;

• удовлетворённость пользователей: ≥ 4,5/5 по опросу.

9. План развития концепции разработки

• интеграция с LMS (Moodle, Canvas);

• добавление голосового ввода для слабовидящих;

• мультипользовательский режим (соревнование студентов);

• мобильное приложение (на базе React Native).

Как видно из вышеизложенного глава 2 отчётливо демонстрирует, как можно объединить математику и искусственный интеллект для создания полезного образовательного продукта. Особенно ценно, что данная исследовательская работа включает:

• Полную концепцию разработки от идеи до реализации;

• Современные технологические решения, напрямую связанные с моей специальностью;

• Понимание ограничений и путей их преодоления;

Поэтому этот опыт будет полезен для моей будущей работы, так как показывает, как правильно планировать и реализовывать проекты по интеграции ИИ-решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках данной исследовательской работы были достигнуты следующие результаты:

1. В теоретическом обосновании в главе 1 систематизированы знания о взаимосвязи производной функции с её поведением (монотонность, экстремумы, точки перегиба) на основе авторитетных математических источников [17][10][16]. Проанализирован существующий опыт применения нейронных сетей в математике, что подтвердило принципиальную возможность использования ИИ для решения поставленной задачи [3][6][4].

2. Разработана детальная методика проведения эксперимента по обучению нейросети для анализа графиков производных. Методика включает создание датасета, выбор архитектуры CNN, процесс обучения и валидации, а также критерии оценки результатов [14][15].

3. Педагогический инструментарий. Предложена концепция разработки нейротренажёра «Прогнозирование поведения функции по её производной», интегрирующего нейросетевую модель в учебный процесс для наглядной демонстрации связи f'(x) и f(x) и предоставления студентам немедленной обратной связи.

Рекомендации

Студентам рекомендуется:

Использовать нейросетевые инструменты (в том числе образовательные, как на платформе [7]) как вспомогательное средство для визуализации и проверки своих рассуждений о поведении функций.

Начинать анализ с простых функций, чтобы чётко уловить логику: «положительная производная → рост», «ноль производной + смена знака с + на — → максимум».

Преподавателям математики и смежных дисциплин рекомендуется:

Рассмотреть возможность внедрения элементов данной концепции для подобного исследования в проектную деятельность студентов.

Использовать генеративные возможности нейросетей для создания банка вариативных заданий и наглядных материалов, иллюстрирующих абстрактные понятия математического анализа [8][2].

Направления дальнейшего исследования

1. Развитие модели: Работа над архитектурой нейросети для повышения её точности на сложных функциях (с разрывами, асимптотами, высокочастотными колебаниями).

2. Расширение функционала: Обучение модели не только качественному, но и приближённому количественному анализу (например, предсказание примерного значения функции в точке на основе графика производной).

3. Интеграция в образовательные платформы. Разработка на основе подобных моделей плагинов для систем дистанционного обучения или мобильных приложений, превращающих их в персональных математических ассистентов.

4. Педагогические исследования. Проведение экспериментов для оценки реального влияния использования таких ИИ-инструментов на мотивацию и успеваемость студентов в курсе математического анализа [2].

Таким образом, проведённое исследование демонстрирует, что прогнозирование поведения функции по графику её производной с помощью нейросетей является перспективным междисциплинарным направлением. Оно сочетает в себе строгость математического анализа с мощью современных технологий искусственного интеллекта, открывая новые пути как для автоматизации анализа, так и для повышения эффективности и наглядности математического образования.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Исследование возможностей применения искусственного интеллекта в математике [Электронный ресурс] // Время развития. — URL: https://vremyarazvitiya.ru/issledovanie-vozmozhnostej-primeneniya-iskusstvennogo-intellekta-v-matematike/ (дата обращения: 03.05.2026).

2. Использование нейросетевых технологий для визуализации исторического материала и повышения мотивации обучающихся [Электронный ресурс] // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-neyrosetevyh-tehnologiy-dlya-vizualizatsii-istoricheskogo-materiala-i-povysheniya-motivatsii-obuchayuschihsya-na (дата обращения: 04.05.2026).

3. Применение нейросетевых методов машинного обучения к задаче решения дифференциальных уравнений разеых видов [Электронный ресурс] // Международный научный журнал 7universum.com. — URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13767 (дата обращения: 06.05.2026).

4. О применении нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных производных [Электронный ресурс] // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-primenenii-neyronnyh-setey-dlya-resheniya-differentsialnyh-uravneniy-v-chastnyh-proizvodnyh (дата обращения: 06.05.2026).

5. Применение методов нейросетевого моделирования при решении начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных [Электронный ресурс] // Электронная библиотека Тюменского государственного университета. — URL: https://elib.utmn.ru/jspui/bitstream/ru-tsu/31921/1/fizmat_2023_3_132_147.pdf (дата обращения: 03.05.2026).

6. Использование нейронных сетей в задачах распознавания математических выражений [Электронный ресурс] // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-neyronnyh-setey-v-zadachah-raspoznavaniya-matematicheskih-vyrazheniy (дата обращения: 05.05.2026).

7. Функции и нейросети [Электронный ресурс] // Автор сайта: Чуб Михаил Валентинович, студент ДонГУ, ФМиИТ, 5 курс. — URL: https://funkcii-i-nejroseti.tilda.ws/ (дата обращения: 03.05.2026).

8. Дидактические свойства и методические функции нейросетей [Электронный ресурс] // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/didakticheskie-svoystva-i-metodicheskie-funktsii-neyrosetey (дата обращения: 03.05.2026).

9. Дифференциальное исчисление [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_исчисление (дата обращения: 05.05.2026).

10. Производная функции [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Производная_функции (дата обращения: 03.05.2026).

11. Нейросети в математике / Матвеева, Рюгкова [Электронный ресурс] // УрФУ. — URL: https://study.urfu.ru/Aid/Publication/13616/1/Matveeva_Ryugkova.pdf (дата обращения: 06.05.2026).

12. Решение задачи прогнозирования с помощью нейронных сетей [Электронный ресурс] // КиберЛенинка. — URL: https://cyberleninka.ru/article/n/reshenie-zadachi-prognozirovaniya-s-pomoschyu-neyronnyh-setey (дата обращения: 06.05.2026).

13. Топ-11 нейросетей для функций: лучшие ИИ для построения производных и графиков [Электронный ресурс] // TenChat. — URL: https://tenchat.ru/media/3623290-top11-neyrosetey-dlya-funktsiy-luchshiye-ii-dlya-postroyeniya-proizvodnykh-i-grafikov (дата обращения: 06.05.2026).

14. Т. Белов. Автоматический подбор гиперпараметров и архитектур нейронных сетей [Электронный ресурс] // Хабр. — URL: https://habr.com/ru/articles/725182/ (дата обращения: 06.05.2026).

15. Graph Neural Networks with PyTorch [Электронный ресурс] // GeeksforGeeks. — URL: https://www.geeksforgeeks.org/deep-learning/graph-neural-networks-with-pytorch/ (дата обращения: 04.05.2026).

16. Экстремум [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Экстремум (дата обращения: 06.05.2026).

17. Точка перегиба [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D0%B1%D0%B0 (дата обращения: 05.05.2026).

18. Точка перегиба [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Точка_перегиба (дата обращения: 06.05.2026).