Математическая пьеса-сказка «Путешествие с Арифметикой»
Г.В. Третьякова
(г. Екатеринбург)
Действующие лица
Чит — современный мальчик, ученик V класса;
Алгебра и Геометрия – сёстры и великие науки;
Арифметика – царица всех математических наук;
Нгам и Арет – первобытные охотники;
Ахмес – бывший писец Фараона, глубокий старец;
Пиопи – его ученик и приемник;
Пекарь – ловкий ремесленник из Древнего Египта.
Действие первое
Открывается занавес. На сцене три молодые особы, на вид совсем девчонки. Входит Чит.
Чит (в сторону). Три девицы под окном пряли поздно вечерком… (Обращаясь к дамам.) Привет! Я – Чит.
Геометрия. Извините, но вы для меня, молодой человек, лицо почти постороннее, а с незнакомыми я не разговариваю. (Гордо уходит.)
Алгебра. Похоже, что мы с вами где-то встречались, так примерно пять раз в неделю, но вы, молодой человек, не слишком старались, поэтому я вас плохо помню. (Уходит вслед за геометрией).
Арифметика. Привет! Хотя, обращаясь к даме, лучше бы всё же сказать «здравствуйте». В особенности если даме много тысяч лет от роду…
Чит. Много тысяч? Но… Но тогда вам уже давно пора на пенсию!
Арифметика. Как это на пенсию?! Я служила людям тысячи лет, они и теперь без меня не обойдутся. Я же Арифметика.
Чит озадаченно хлопает ресницами, пожимает плечами. Арифметика (возмущённо). Что же ты молчишь? Или ты не слышишь? Я – А – риф – ме – ти – ка! Та самая, что изучают в школе. Ну предмет, предмет такой… Ну ладно, сейчас увидишь. (Убегает)
Чит (зрителям). Но у нас не было такого предмета. Мы русский язык и математику проходили.
Появляются Алгебра и Геометрия в коронах и мантиях.
Алгебра. Вот как у них нет такого предмета! А примеры на вычитание и деление? А упражнения по сложению и умножению столбиком? Это что? Разве не арифметика?
Геометрия. Ещё совсем недавно школьники трепетали, заслышав это слово… И вот оно им почти неизвестно. Как забывчивы люди!
Алгебра. И всё почему? Да потому, что Арифметика добровольно впустила в младшие классы нас, своих сестёр, Алгебру и Геометрию, и мы вместе стали называться математикой.
Геометрия. Нет, что же такое происходит? Сестра делает благородный жест, поступается собственным именем во имя пе – да – го – ги – чес – ко – го процесса, а о ней, видите ли, больше не хотят знать! Будто не арифметика – основа всякого счётного дела…
Алгебра. Будто не арифметика – одна из самых древних наук мира! Сестра, мы должны с тобой сделать из этого правильный вывод, а то и нас бесцеремонно выживут из школьной программы. (Обе уходят.)
Гремит гром. Чит озирается. Звучит громовой голос (запись на магнитофоне).
Голос. Какой предмет ты изучал в школе, Чит?
Чит (испуганно). Математику.
Голос. Перед тобой Арифметика – царица математики.
Чит (озираясь). Где Вы, Ваше величество? (Арифметика появляется у него за спиной.)
Чит. Извините, Ваше величество, боюсь, я был не слишком вежлив с вами. Но, честное слово, я не нарочно.
Арифметика. Так и быть, на первый раз придётся простить твоё невежество. Слушай меня внимательно. Сейчас мы от правимся с тобой в путешествие во времени. Я покажу тебе, как постепенно люди познавали числа. Но не думай, сто ты увидишь все периоды моей истории. Она слишком сложна, ты слишком мал. Будем помнить, что никто не может объять необъятное. Поэтому для путешествия выберем самый короткий путь.
Чит (прыгая). Большое спасибо! Но когда мы пойдём?
Арифметика. Ах да! Вперёд! (Свет гаснет.)
Действие второе
Полная тишина. Слышны голоса Чита и Арифметики.
Чит. Я ничего не вижу!
Арифметика. Вполне понятно! Ведь мы с тобой находимся во тьме веков! Но ничего, сейчас я её немного разгоню. Раз, два, три… (Свет зажигается, Чит и Арифметика находятся сбоку сцены. В центре друг против друга стоят два человека в шкурах, потрясают копьями, танцуют ритуальный танец.)
Нгам. Надо окружить лося. Ты, Арет, возьмёшь (показывает 5 пальцев) одну руку человек и будешь загонять лося справа, Мирдин возьмёт 4 пальца (показывает) человек и подстережёт слева, Эмрис закроет путь к отступлению, а я с остальными охотниками буду в засаде. Племя голодает, добыча необходима. Торопись, скоро лоси пойдут на водопой! Эгей! (Оба убегают.)
Чит (ехидно). Это так Вы выглядели в раннем детстве, Ваше величество? Ну а что же делали первобытные люди, если им надо было использовать большие числа?
Арифметика. Это мы сейчас увидим. И знаешь что, дружок, зови-ка ты меня просто Ари и без всяких «величеств» Титулы устарели, а хочу быть всегда молодой и современной.
Снова появляются Нгам и Арет. Они идут медленно, Нгам прихрамывает. Оба счастливы: охота удалась.
Нгам. Хвала духу леса, пославшему нам удачу! Большая добыча у племени! Наконец-то сородичи будут сыты! Хей! Хей!
Арет. Мужчины племени храбры и сильны. Они никого не боятся. Хей! Хей! (Оба потрясают копьями.)
Арет. Ответь мне, о Нгам, как разделить мясо между семьями охотников?
Нгам. В охоте участвовали 2 руки, одна нога и 1 палец на другой ноге, а ещё я, ты и Эмрис. Это ещё три пальца. У меня есть жена (указывает на свой последний незанятый палец), 3 сына (пальцы начинает загибать Арет), две дочери, старая мать. Ты молод, но имеешь много родни: жена, 2 сына, дочь (Арет всё это время загибает пальцы либо указывает копьём на соответствующие пальцы ног), покалеченный изюбром брат и четыре члена его семьи. У Эмриса есть старые мать, отец и три брата. У Мардина…
Арет. Подожди!
Нгам. А что?
Арет. Не могу посчитать. Пальцев не хватает. (Оба тяжело задумываются. Вдруг Нгам поднимает руки.)
Нгам. Хвала духу леса! Он показал мне выход. Чтобы знать, как правильно разделить добычу, надо позвать сюда несколько человек из нашего племени. Тогда пальцев хватит! А другого выхода нет.
Арет. Да будет вечной твоя мудрость, о Нгам! (Оба уходят.)
Чит. Ну и считари! А почему они нас не видели, Ари?
Ари. В моей власти только показать тебе прошлое, как в кино, а участвовать и жить в нём нельзя.
Чит. Очень жаль. Ну а что же с тобой, Ари, было дальше?
Действие третье.
Слышится песня египетских рабов: Должны ли мы день целый таскать зерно? Полны уж амбары, кучи зерна текут выше краёв. А нас всё заставляют таскать. Воистину из меди наши сердца.
Чит. Где мы?
Ари. В Древнем Египте, мальчик.
На сцену выходят писцы Ахмес и Пиопи, за ними низко кланяясь, идёт пекарь. Ахмес, как более старший, степенно усаживается на сцене. Пиопи встаёт рядом с ним и насмешливо смотрит на пекаря.
Пекарь (Обращается к Ахмесу). О мудрейший! Писец Пиопи подсчитал, что я должен отдать в налог Фараону 6900 хлебов. Конечно, я не так беден, как крестьянин, но у меня всего 213 мер зерна, а из каждой меры получится по 27 хлебов. Мне кажется, что я не сумею выплатить такой большой налог, и тогда Великий и Божественный Фараон велит казнить меня. Писец Пиопи уверяет, что зерна на налог хватит и ещё останется на пропитание моей семье, и мы не умрём с голоду. Но его молодость рождает сомнения в моём сердце. Твоя мудрость и справедливость известны. Реши ты мою судьбу.
Ахмес. Когда ты хочешь узнать, сколько будет 213 раз по 37, то делай, как делается: возьми два раза по 213 – это будет 426, потом 4 раза по 213 – будет 852, потом 8 раз – 1704, 16 раз – 3408, 32 раза – 6816. Смотри: 32, 4 и 1 составляют 37. Теперь сложи 6816, 852 и 213. Получилось 7881. Значит, отдав в налог Фараону 6900 хлебов, ты оставишь себе 981. Этого хватит твоей семье до нового урожая. (Обращается к Пиопи.) Ты посчитал правильно.
Пекарь. Припадаю к стопам твоим, Ахмес, и молю Озириса, чтобы оправдались Твои слова. Но прости мня, ничтожного, позволь задать Тебе ещё один вопрос.
Ахмес. Говори.
Пекарь. Почему именно так, а не иначе нужно решать столь сложную задачу?
Пиопи (возмущённо). А зачем тебе знать это? Уж не сомневаешься ли ты в словах Ахмеса, презренный? Твоё дело молоть зерно, печь хлебы, варить пиво. Только жрецам и чиновникам Великого Фараона дано понимать всех тайн. Что будет с нашим искусством, если мы будем обучать ему всякого любопытного пекаря! Мы постигаем его много лет, проводим молодость в храмах за чтением священных свитков, а ты…
Ахмес (вставая неторопливо и с достоинством). Ты, пекарь, дважды усомнился в правдивости чиновников Фараона и за это достоин наказания палками.
Пекарь (падая на колени). О мудрейшие, не гневайтесь на меня. Жара помутила мой разум (постепенно приподнимается и быстро пятится назад). Не хотите ли вы освежится? Для этого лучше всего пиво. Отведайте моего, оно славится в округе. Мои рабы мигом принесут вам большие кувшины. (Убегает.)
Пиопи смеётся, а Ахмес задумчиво смотрит вслед пекарю. Свет гаснет.
Действие четвёртое
Свет зажигается. На сцене у доски стоят Чит и Ари.
Чит. Как странно писец умножал 213 на 37. Я быстрее мог бы перемножить столбиком гораздо большие числа.
Ари. Но тогда ещё знаменитого способа вычисления «в столбик» не существовало. Сначала нужно было изобрести запись чисел по разрядам, придумать специальный знак для обозначения пустого разряда – знак нуля, научиться быстро умножать числа внутри разрядов, то есть ввести таблицу умножения.
Чит. Выходит, древние египтяне не знали таблицу умножения! Вот бедняги, как мучались-то!
Ари. Да, таблицу умножения изобрели не в Древнем Египте, а в Вавилоне. Египтяне же применили только операцию удвоения. Так, при умножении 213 на 37 писец составил таблицу, в которой помещались множители вида и результаты удвоения (пишет на доске):
/1 213
2 426
/4 852 8 1704
16 3408
/32 6816
Таблица продолжалась до тех пор, пока в левом столбце не появлялось наибольшее из чисел вида , меньше 37. Наклонной чертой вычислитель отмечал такие числа в левом столбце, которые в сумме давали 37 ( я тоже так сделала: 1+4+32 = 37) и находил сумму чисел, стоящих в правом столбце против отмеченных: 6816 + 852 + 213 = 7881. Легко проверить, что 7881 = 37∙213.
Чит. И древние вычислители никогда не ошибались?
Ари. Во всяком случае те, которые были внимательны, не ошибались. Этот способ основан на распределительном законе:
213 ∙31 = 213∙ (1 + 4 + 32) = 213 ∙1 + 213∙ 4 + 213 ∙32. Остаётся установить ещё одно важное положение: целое число можно представить в виде суммы 1 и нескольких слагаемых вида . Древние египтяне заметили его в результате долгой вычислительной практики. Ты тоже можешь проверить его на примерах, а затем попытаться доказать.
Чит. Легка сказать «докажи», а как дойдёт до дела – стоп. Да и кому нужны эти доказательства? Если что-то правильно, то и сразу видно, что правильно. Вон в геометрии доказываем, если два угла имеют общую сторону, то вторая сторона меньшего угла проходит между двумя сторонами большего. Как будто в этом кто-то сомневался!
Ари (укоризненно качает головой). Ай-ай-ай. Какой ужас! Только бы не услышала это моя сестра Геометрия. Давай-ка, пока её нет, снова заглянем в Древний Египет и посмотрим, как там решали более трудные задачи. Я уверена, что после этого ты сам заскучаешь по доказательствам. (Свет гаснет.)
Действие пятое
На сцене снова Ахмес и Пиопи.
Пиопи (почтительно обращается к Ахмесу). Учитель, позволь прервать Твои размышления, ведь и я пришел просить Твоей помощи в вычислениях.
Ахмес. Но ты учился много лет, искусен в умножении и делении, знаешь дроби, быстро находишь, как допонить до одной меры ту её часть, которая состоит из ¼, 1/8, 1/10, 1/30 и 1/45 долей меры. Что же смущает Тебя?
Пиопи. Вчера меня призвали к Великому Фараону для замечательного дела. Нужно сделать укрепление: 6 верёвок в высоту, 4 в нижней стороне и 2 в верхней. Собрались писцы и военачальники. Спрашивают у них: «Сколько для этого потребуется кирпичей?» И никто не дал ответа. Все обратились ко мне и говорят: «Вычисли нам скорее». Я знаю, что объём всего укрепления нужно разделить на объём одного кирпича. Делить я умею. Но как узнать объём укрепления такой формы? (Изображает усечённую пирамиду с квадратным основанием.)
Ахмес. Когда я учил тебя решать такие задачи, то, видно, часто забывал, что уши мальчика находятся на спине. А теперь Ты неисправен в своей должности, и то, что я до сих пор должен поучать Тебя, обрушится на твой же затылок. Но Ты мой ученик, и я ещё раз помогу Тебе. Слушай: возьми сначала эти 4 (указывает по рисунку 1 нижнее основание усеченной пирамиды), умножь само на себя, получается 16; возьми 2 раза по 4 (показывает верхнее и нижнее основание), будет 8, умножь 2 само на себя, это 4. Сложи 16,8 и 4, получается 28. Теперь возьми одну треть от 6, будет 2. Возьми 28 два раза. Смотри: то, что Ты хочешь узнать, есть 56.
Пиопи. Благодарю Тебя, мой благородный учитель. Поистине, все тайны вещей открыты Тебе. Но кто же будет выручать нас, когда Озирис призовёт Тебя на свои бирюзовые поля?
Ахмес. Я записал это и другие наставления на папирусе и передам его в храм, где учатся будущие писцы.
Пиопи. Этот папирус прославит Твоё имя навечно.
Ахмес. Учитель должен славиться своим учениками. Ты – мой ученик. Смотри же не допусти, чтобы о тебе сказали: «Есть также и такие вещи, которых и Ты не знаешь» (Оба уходят.)
Действие шестое
На сцену выходят Ари и Чит.
Чит. Знаешь, Ари, а то, что Ахмес рассказал, легко записать алгебраической формулой. Пусть а – сторона нижнего основания пирамиды, b – верхнего, а h – высота. Тогда объём вычисляется по формуле
V = + ab +).
Ари. Молодец, мальчик, правильно формулу записал.
Чит. Записать-то я записал, да не знаю, будет ли она верной. Скажи, Ари, а старый учитель не ошибся?
Ари. А ты разве сам не видишь? Только что утверждал, что правильное само за себя говорит и его сразу видно. Вот теперь погляди и скажи, верна формула или нет.
Чит (уныло). Но мы же этого не проходили… (Появляется Геометрия.)
Геометрия. Конечно, не проходили. Нельзя же «пройти» всё сразу. Да, Ахмес указал верный путь вычислений, но в египетском папирусе встречаются и неправильные вычислительные «рецепты». Чтобы отделить зёрна от плевел, надо провести доказательство. Но умению доказывать надо много и упорно учиться. Кто скажет мне, что надо доказать, а что не надо и почему? (Обращаясь к Читу) Не ты ли?
Чит. Нет уж, теперь увольте. Лучше я все доказательства выучу от начала и до конца, чтобы в другой раз не попадать впросак в арифметике и в геометрии.
Появляется Алгебра.
Алгебра. А разве в алгебре доказательства не нужны? К вашему сведению, молодой человек, при вычислении объёма усечённой пирамиды древнему вычислителю нужно было выполнить преобразование
h ∙a ∙b + +ab + ).
Конечно, он записывал его на числовом примере, а не буквами, как сейчас. Но тем не менее для того, чтобы его выполнить надо было прежде всего установить, что = — 2ab + при любых а и b.
Чит. Выходит, многое из того, что мы проходим, было известно уже в Древнем Египте.
Алгебра. Многое было известно, но очень, очень многое не было. Как в капле воды можно увидеть все неисчислимые богатства океана, так и в твоём школьном учебнике присутствует наш тысячелетний опыт. А сейчас прощай и помни о своей ответственности перед прошлым и будущим.
Арифметика. Прошлое ждёт, что ты постигнешь те знания, которые оно для тебя завоевало с большим трудом. А будущее надеется, что ты внесёшь в них что-то новое и передашь своим детям и внукам. Не забывай об этом. (Звучит торжественная музыка, Арифметика, Алгебра и Геометрия уходят.)
Чит (машет им вслед). Не забуду, не забуду, я теперь в тысячу раз лучше учиться стану.
Послесловие к сказке
Учитель может посчитать нужным продолжить инсценировку, что-то изменить в ней или дать свои комментарии. Укажем литературу, которая непосредственно использована при подготовке этого сценария и наверняка пригодится учителю в работе над пьесой.
Первые два действия и начало третьего основаны на книге Эм. Александровой и В. Левшина «В лабиринте чисел» (М.: Детская литература, 1977). Математическое содержание остальных действий заимствовано из книги замечательного учёного, одного из основоположников школы истории математики М.Я. Выгодского «Арифметика и алгебра в Древнем мире» (М.: Наука, 1867). В ней на с.13 приведено поучение, которое древнеегипетский писец обращает к своему коллеге. Из этого документа заимствована фразеология Ахмеса. Его сетование на людей, «неисправных в своей должности», предупреждение о том, что невежество «обрушится» прежде всего на самого невежду, и через тысячелетия звучит очень современно. Отметим, однако, что в работе Б. Л. Ван дер Вандера «Пробуждающаяся наука» (М., 1959) тот же отрывок дан в гораздо более «мягком» переводе.
Внимательный ученик может спросить: «Как же это египтянин Ахмес, живший в эпоху фараонов, пишет на доске арабскими цифрами, когда они были изобретены гораздо позже?» Учитель должен быть готов к ответу: «Да, запись числа так называемыми арабскими цифрами в десятичной позиционной системе появилась в Индии в середине первого тысячелетия нашей эры, то есть много позже эпохи фараонов. Это великое прикладное открытие математики настолько прочно вошло в наш быт, что люди не замечая, пользуются им совершенно свободно. Поэтому и в сказке разрешили сказочному писцу эту вольность – арабские цифры, о которых реальный Ахмес, конечно, не знал».
