Распечатать материал,сложить листочки с определениями, свойствами, признаками и формулами площадей в корзинку.
После вступительного слова, ученики выбирают из корзинки листочек. По содержанию листика выбирают фигуру и рассаживаются в свои группы.
Далее в каждой группе формируется плакат на А2 по теме: параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат. (Определение, свойства, признаки, формулы площади, задачи разного уровня).
Листочки приклеиваются согласно информации выше, к каждой формулировке на листочке чертится чертеж. — 20 минут.
Далее решаются задачи.
Материал для листочков:
Определения (один цвет: желтый)
- Параллелограмм
- Трапеция
- Прямоугольник
- Ромб
- Квадрат
| Параллелограмм |
|---|
| это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. |
| Трапеция |
| это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. |
| Прямоугольник |
| это параллелограмм, у которого все углы прямые (90°). |
| Ромб |
| это параллелограмм, у которого все стороны равны. |
| Квадрат |
| это прямоугольник, у которого все стороны равны. |
Свойства, листик голубого цвета:
| Свойства параллелограмма |
|---|
| Противоположные стороны равны и потивоположные углы равны. |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам |
| Сумма двух углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов. |
| Биссектриса угла отсекает от четырехугольника равнобедренный треугольник. |
| Свойства трапеции |
| Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов. |
| Углы при каждом основании равны. |
| Диагонали равны. |
| Свойства прямоугольника |
| Диагонали равны. |
| Свойства ромба |
| Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы фигуры пополам. |
| Свойства квадрата |
| Все углы четырехугольника прямые. |
| Диагонали четырехугольника равны, взаимноперпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы четырехугольника пополам. |
Признаки четурехугольников, листи бледно-оранжевого цвета.
| Признаки параллелограмма |
|---|
| Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник -___________________________. |
| Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник -________________________. |
| Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -. |
| Признаки трапеции |
| Если в трапеции углы при каждом основании равны, то эта трапеция называется -_______________________. |
| Если диагонали трапеции равны, то такая трапеция называется ___________________________. |
| Если в трапеции два угла прямые, то такая трапеция называется ________________________________. |
| Признаки прямоугольника |
| Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм называется_______________. |
| Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм будет ______________________-. |
| Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм будет _____________________. |
| Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — _____________________. |
| Признаки ромба |
| Если у прямоугольника все стороны равны, то этот прямоугольник ____________. |
| Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник ____________________. |
| Если у прямоугольника диагональ является биссектрисой его угла, то этот прямоугольник _____________________— |
| Признаки квадрата |
| Если у ромба углы прямые, то этот ромб — ________________ |
формулы площадей фигур, цвет бледно-зеленый
| Площадь квадрата |
|---|
| Площадь прямоугольника |
| Площадь параллелограмма |
| = |
| Площадь ромба |
| Площадь трапеции |
Интересный факт Интересный факт
Интересный факт Интересный факт
Интересный факт
Квадрат — «Божественный» обманщик
Все думают, что квадрат — это просто скучный прямоугольник. А вот и нет!
Суперсила: Квадрат — это самая симметричная фигура на плоскости. У него целых 4 оси симметрии (больше, чем у кого-либо из этой компании).
Парадокс: Если разрезать квадрат и сложить по-другому, можно получить фигуру с той же площадью, но с дыркой внутри! (Поищите в интернете «парадокс квадрата» — это ломает мозг).
Факт: При одинаковом периметре именно у квадрата площадь самая большая. Если вы захотите построить забор для самой вместительной клумбы, выберите квадрат (или круг, но круг мы пока не проходим).
Прямоугольник — «Идеальный» спорщик
Он брат квадрата, но чуть ленивее.
Диагонали-сплетницы: В любом прямоугольнике диагонали равны. Это его главная фишка. Но вот незадача: они делят углы пополам только в том случае, если это квадрат. В обычном прямоугольнике диагонали делят углы на неравные части — как будто ссорятся.
Золотое сечение: Самый приятный для глаза человека прямоугольник — это «золотой» (соотношение сторон 1,618:1). Мы видим его в экранах телевизоров, книгах и даже в пропорциях лица человека.
Ромб — «Неугомонный» родственник
Ромб — это квадрат, который «наклонился», но не потерял чувства собственного достоинства.
Секретное оружие: У ромба диагонали всегда пересекаются под прямым углом (90°). И они делят углы пополам.
Знак водителя: Знаете знак аварийной остановки? Это ромб. А в картах (бубны) — тоже ромб. Почему? Потому что он устойчив и сразу бросается в глаза своим вызовом.
Факт: В ромб всегда можно вписать окружность (в отличие от прямоугольника). Это делает его идеальным колесиком для шестеренок.
Параллелограмм — «Хамелеон» и король
Это база. Если вы докажете свойство для параллелограмма, оно работает и для ромба, и для прямоугольника, и для квадрата.
Тайна центра: У параллелограмма есть точка пересечения диагоналей. Это центр симметрии. Если перевернуть фигуру на 180°, она полностью совпадет сама с собой. Проведите через этот центр любую прямую — она разрежет параллелограмм ровно на две равные части.
Фокус с площадью: Если внутри параллелограмма взять любую точку на стороне и соединить с противоположными вершинами, площадь получившегося треугольника всегда будет ровно половиной площади всего параллелограмма. Это работает всегда!
Трапеция — «Серая мышь» с характером
Про нее часто забывают, но она самая загадочная.
Не пара: Только у трапеции стороны не параллельны попарно. Она — бунтарь в этой компании.
Средняя линия — супершпион: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон (средняя линия), всегда параллелен основаниям и равен их полусумме. Это как компас, который всегда знает среднюю температуру по больнице.
Египетская тайна: Если трапеция равнобедренная (бедра равны), то в нее можно вписать окружность только при одном условии: сумма оснований должна равняться сумме боковых сторон. Это древнее правило, которым пользовались строители пирамид.
Исторические факты и великие имена
Параллелограмм и Евклид
Сам термин «параллелограмм» и его первые строгие свойства появились благодаря Евклиду в его знаменитых «Началах» (около 300 г. до н.э.) . Именно он систематизировал знания о фигурах с попарно параллельными сторонами и доказал их ключевые теоремы. В Древней Греции философ Прокл (V век н.э.) одним из первых предложил классифицировать четырехугольники именно по этому признаку, выделив параллелограммы в отдельную группу, куда включил прямоугольники, ромбы и квадраты .
Трапеция и ее «столовое» происхождение
Название этой фигуры происходит от греческого слова τραπέζιον (trapezion), что означает «столик» . В Древней Греции так называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Именно Прокл ввел и термин τραπεζοειδή (trapezoeide) — «подобный столику» . Важно, что в разных странах значения терминов «трапеция» и «трапециевидный» менялись, но корень у них один — греческий «столик». Прямоугольник и вавилоняне
Хотя форма прямоугольника использовалась с древнейших времен, его математическое изучение тесно связано с пифагоровыми тройками. Задолго до Пифагора, около 1900–1600 гг. до н.э., вавилонские математики уже знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный. Знаменитая глиняная табличка Plimpton 322 содержит списки таких чисел, которые позволяли строить идеальные прямые углы, а значит, и прямоугольники .
Ромб и Архимед с Аполлонием
Название «ромб» происходит от греческого слова ῥόμβος (rombos), что означает «волчок» или «вращающийся предмет» . Эта фигура привлекала внимание древних математиков. Например, великий Архимед и Аполлоний Пергский (III–II вв. до н.э.) в своих сложных геометрических задачах использовали свойства ромба, в частности, то, что его диагонали делят углы пополам .
Квадрат, Пифагор и магия доказательств
Квадрат — одна из древнейших фигур, символизирующая совершенство. Но самое важное историческое событие, связанное с ним, — это доказательство теоремы Пифагора. Легенда гласит, что Пифагор пришел к ней, разглядывая квадратную плитку на полу . В одном из древнейших доказательств этой теоремы квадрат разрезался на части и перестраивался. Эта красивая идея приписывается арабскому математику Сабиту ибн Курре (IX век), а позже была переоткрыта Франсом ван Схотеном (XVII век) .
Практическая часть решение задач на площадь
Вариант 1
Прямоугольник: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см. Найдите его площадь.
Квадрат: Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его площадь?
Параллелограмм: Сторона параллелограмма равна 8 см, а высота, проведенная к этой стороне, равна 5 см. Найдите площадь.
Ромб: Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите площадь ромба.
Трапеция: Основания трапеции равны 7 см и 13 см, а высота равна 4 см. Найдите площадь.
Вариант 2
Прямоугольник: Площадь прямоугольника равна 48 м², а одна из его сторон равна 6 м. Найдите вторую сторону.
Квадрат: Сторона квадрата увеличилась в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь? (Подсказка: не нужно считать в цифрах, ответьте «в … раз»).
Параллелограмм: В параллелограмме стороны равны 6 см и 10 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 4 см. Найдите площадь.
Ромб: Площадь ромба равна 60 см², а одна из диагоналей равна 12 см. Найдите вторую диагональ.
Трапеция: В трапеции одно основание равно 3 дм, второе — 7 дм, а высота в 2 раза меньше суммы оснований. Найдите площадь.
Вариант 3
Квадрат: На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисован квадрат, состоящий из 16 клеток. Чему равна его площадь и периметр?
Ромб: Сторона ромба равна 13 см, а одна из диагоналей равна 10 см. Найдите площадь. (Напоминаю: диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам — нужно найти вторую диагональ по теореме Пифагора).
Трапеция: Средняя линия трапеции равна 8 см, а высота — 9 см. Найдите площадь трапеции. (Вспомните формулу через среднюю линию!).
Прямоугольник: Диагональ прямоугольника равна 10 см, а одна сторона — 6 см. Найдите площадь.
Параллелограмм: Площадь параллелограмма равна 42 см², а его высоты равны 6 см и 7 см. Найдите периметр параллелограмма. (Подсказка: найдите обе стороны через площадь и высоты).
Вариант 4
Квадрат: Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 4√2 см. (Формула: )
Параллелограмм: В параллелограмме тупой угол равен 120°, а стороны равны 4 и 6. Высота к меньшей стороне равна 3. Найдите площадь.
Прямоугольник: Периметр прямоугольника равен 28 см, а одна сторона на 2 см больше другой. Найдите площадь.
Ромб: Найдите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а острый угол равен 30°. (Синус 30° = 0,5. Формула ).
Трапеция: В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 10, а меньшая боковая сторона (она же высота) равна 5. Найдите площадь.
Вариант 5
Прямоугольник: Ширина прямоугольника на 4 см меньше длины, а площадь равна 96 см². Найдите ширину. (Пусть х — ширина, тогда х(х+4)=96).
Ромб: Периметр ромба равен 40 см, а высота ромба равна 5 см. Найдите площадь. (Подсказка: у ромба все стороны равны).
Трапеция: Основания трапеции относятся как 2:3, а их сумма равна 30 см. Высота равна 6 см. Найдите площадь.
Параллелограмм: Смежные стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Найдите площадь. (Синус 60° = 23).
Квадрат: Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Сторона квадрата равна 10 см, а одна из сторон прямоугольника — 25 см. Найдите вторую сторону прямоугольника.
📝 Ответы для самопроверки (не подглядывайте сразу!)
Вариант 1: 1) 60 см²; 2) 81 см² (сторона 9); 3) 40 см²; 4) 120 см² (половина произведения диагоналей); 5) 40 см².
Вариант 2: 1) 8 м; 2) в 9 раз; 3) 40 см² (высоту умножаем на ту сторону, к которой она проведена, т.е. на 10); 4) 10 см; 5) 50 дм² (сумма = 10, высота = 5).
Вариант 3: 1) S=16 см², P=16 см; 2) 120 см² (половина диагонали 5, по Пифагору вторая половина =12, вся диагональ=24, S=24*10/2); 3) 72 см² (S = средняя линия * высоту); 4) 48 см² (вторая сторона = 8 по Пифагору); 5) 26 см (стороны: 42/6=7 и 42/7=6, периметр = 2*(7+6)).
Вариант 4: 1) 16 см²; 2) 18 см² (высоту умножаем на меньшую сторону 6? Внимание: высота к меньшей стороне, значит основание = 6, S=6*3); 3) 48 см² (стороны 6 и 8); 4) 12,5 см² (25 * 0,5); 5) 35 см² ((4+10)/2 * 5).
Вариант 5: 1) 8 см (8*12=96); 2) 50 см² (сторона =10, S = ah = 105); 3) 180 см² (основания 12 и 18); 4) 243243 см² (48 * √3/2); 5) 4 см (площадь квадрата 100, 100/25=4).
Задачи на признаки этих фигур
Вариант 1
Задача 1 (Параллелограмм).
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC и ∠ABO = ∠CDO. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 2 (Трапеция).
В четырехугольнике MNPT стороны MN и PT параллельны, а ∠M = ∠N = 90°. Докажите, что это трапеция. Является ли она равнобедренной? Ответ обоснуйте.
Задача 3 (Прямоугольник).
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Задача 4 (Ромб).
В четырехугольнике KLMN все стороны равны. Докажите, что KLMN — ромб (используя определение). Затем докажите, что его диагонали перпендикулярны (как следствие признака).
Задача 5 (Квадрат).
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются под прямым углом. Докажите, что этот прямоугольник является квадратом.
Вариант 2
Задача 1 (Параллелограмм).
В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 2 (Трапеция).
В четырехугольнике ABCD основания AD и BC параллельны. Известно, что ∠A = ∠D. Докажите, что эта трапеция равнобедренная.
Задача 3 (Прямоугольник).
В четырехугольнике ABCD все углы равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Задача 4 (Ромб).
В параллелограмме ABCD диагональ BD делит угол B пополам (∠ABD = ∠DBC). Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
Задача 5 (Квадрат).
В ромбе ABCD один из углов равен 90°. Докажите, что этот ромб является квадратом.
Вариант 3
Задача 1 (Параллелограмм).
В четырехугольнике ABCD диагонали точкой пересечения O делятся пополам: AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 2 (Трапеция).
В четырехугольнике ABCD известно, что BC ∥ AD. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и CD. Докажите, что MN ∥ AD (используйте признак средней линии, но обоснуйте, почему это трапеция).
Задача 3 (Прямоугольник).
В параллелограмме ABCD угол A равен 90°. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Задача 4 (Ромб).
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, и точка их пересечения O является серединой каждой диагонали. Докажите, что ABCD — ромб.
Задача 5 (Квадрат).
В параллелограмме ABCD все стороны равны, а диагонали равны. Докажите, что ABCD — квадрат.
Вариант 4
Задача 1 (Параллелограмм).
В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а также AB ∥ CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача 2 (Трапеция).
В четырехугольнике ABCD основания BC и AD параллельны, а боковые стороны AB = CD. Докажите, что углы при основании AD равны (∠A = ∠D).
Задача 3 (Прямоугольник).
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD равны и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Задача 4 (Ромб).
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что ABCD — ромб.
Задача 5 (Квадрат).
В четырехугольнике ABCD все стороны равны и все углы равны. Докажите, что ABCD — квадрат.
Вариант 5 (Самый сложный, на последовательность признаков)
Задача 1 (Параллелограмм).
В четырехугольнике ABCD ∠A + ∠D = 180° и AB = CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Подсказка: сначала докажите параллельность AB и CD по сумме односторонних углов).
Задача 2 (Трапеция).
В четырехугольнике ABCD основания AD и BC параллельны. Диагонали AC и BD равны. Докажите, что трапеция равнобедренная (используйте признак равенства диагоналей).
Задача 3 (Прямоугольник).
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Докажите, что ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Задача 4 (Ромб).
В четырехугольнике ABCD диагонали взаимно перпендикулярны, и каждая из них делит углы четырехугольника пополам. Докажите, что это ромб.
Задача 5 (Квадрат).
В прямоугольнике ABCD диагональ AC делит угол A пополам. Докажите, что этот прямоугольник является квадратом.
✏️ Краткие планы доказательств (для учителя, чтобы проверить себя)
Если вам нужны не просто условия, но и образцы оформления, вот основные идеи для каждого типа:
Параллелограмм: Используйте один из трех признаков:
Две стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Диагонали делятся пополам.
Трапеция: Главное — доказать, что только две стороны параллельны (обычно это дано), а для равнобедренной — показать равенство углов при основании или равенство диагоналей.
Прямоугольник: Сначала докажите, что это параллелограмм, а затем покажите наличие прямого угла (или равенство диагоналей у параллелограмма).
Ромб: Сначала докажите параллелограмм, затем покажите:
Равенство смежных сторон
ИЛИ перпендикулярность диагоналей
ИЛИ деление диагональю угла пополам.
Квадрат: Докажите, что это прямоугольник (или ромб), а затем добавьте недостающий признак (у прямоугольника — равенство смежных сторон; у ромба — прямой угол).
Вариант 5 (Полный разбор)
Задача №1 (Признаки параллелограмма)
Условие:
В четырехугольнике ABCD ∠A + ∠D = 180° и AB = CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Дано:
ABCD — четырехугольник.
∠A + ∠D = 180°.
AB = CD.
Доказать: ABCD — параллелограмм.
Доказательство:
Углы ∠A и ∠D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD.
По условию их сумма равна 180°.
По признаку параллельности прямых: если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
⇒ AB ∥ CD.
Теперь у нас есть четырехугольник, в котором две стороны (AB и CD) равны (по условию) и параллельны (доказали в п.3).
По первому признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Вывод: ABCD — параллелограмм. ∎
Задача №2 (Признаки трапеции — равнобедренная)
Условие:
В четырехугольнике ABCD основания AD и BC параллельны. Диагонали AC и BD равны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Дано:
ABCD — четырехугольник.
AD ∥ BC.
AC = BD (диагонали равны).
Доказать: ABCD — равнобедренная трапеция (т.е. AB = CD).
Доказательство:
Так как AD ∥ BC, то по определению четырехугольник ABCD — трапеция (две стороны параллельны, две другие — боковые).
Вспоминаем признак равнобедренной трапеции: если диагонали трапеции равны, то она является равнобедренной.
По условию AC = BD. Значит, условие признака выполнено.
Примечание: Если вы не хотите ссылаться на готовый признак, можно доказать через равенство треугольников (опустив высоты из C и D на AD, получим равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), но для 8-го класса достаточно сослаться на изученную теорему.
Вывод: Трапеция ABCD — равнобедренная (AB = CD). ∎
Задача №3 (Признаки прямоугольника)
Условие:
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Докажите, что ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Дано:
ABCD — параллелограмм.
AC = BD.
Доказать:
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Доказательство:
По признаку прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
По условию AC = BD, следовательно, ABCD — прямоугольник.
По определению прямоугольника: это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Вывод: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. ∎
Задача №4 (Признаки ромба)
Условие:
В четырехугольнике ABCD диагонали взаимно перпендикулярны, и каждая из них делит углы четырехугольника пополам. Докажите, что это ромб.
Дано:
ABCD — четырехугольник.
AC ⊥ BD.
AC — биссектриса ∠A и ∠C.
BD — биссектриса ∠B и ∠D.
Доказать: ABCD — ромб.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник ABC. В нем отрезок BO (часть диагонали BD) является высотой (так как BD ⊥ AC) и одновременно биссектрисой (так как BD делит угол B пополам).
В треугольнике, если высота совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Следовательно, в ΔABC: AB = BC.
Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. В нем отрезок DO — высота и биссектриса (угол D).
⇒ ΔADC — равнобедренный, значит AD = CD.
Теперь рассмотрим треугольник BAD. В нем AO — высота и биссектриса (угол A).
⇒ ΔBAD — равнобедренный, значит AB = AD.
Собираем цепочку:
AB = BC (из п.2)
AD = CD (из п.3)
AB = AD (из п.4)
⇒ AB = BC = CD = AD.
Вывод: Все четыре стороны равны, значит по определению четырехугольник ABCD — ромб. ∎
Задача №5 (Признаки квадрата — самая сложная!)
Условие:
В прямоугольнике ABCD диагональ AC делит угол A пополам. Докажите, что этот прямоугольник является квадратом.
Дано:
ABCD — прямоугольник.
AC — биссектриса ∠A (т.е. ∠BAC = ∠CAD).
Доказать: ABCD — квадрат.
Доказательство:
В прямоугольнике все углы по 90°. Значит, ∠A = 90°.
Так как AC — биссектриса, она делит ∠A пополам:
∠BAC = ∠CAD = 90° / 2 = 45°.
Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (∠B = 90°, так как ABCD — прямоугольник).
В нем ∠BAC = 45°, значит ∠BCA = 180° − 90° − 45° = 45°.
В треугольнике ABC два угла равны (∠BAC = ∠BCA = 45°), значит треугольник равнобедренный с основанием AC.
⇒ AB = BC (боковые стороны равны).
В прямоугольнике ABCD смежные стороны AB и BC оказались равны.
По признаку квадрата: если в прямоугольнике смежные стороны равны, то этот прямоугольник является квадратом.
Вывод: ABCD — квадрат. ∎
📌 Бонус: Как оформить «Дано» и «Доказать» в тетради (пример для задачи №5)
Дано:
ABCD — прямоугольник.
AC — биссектриса ∠A.
Доказать:
ABCD — квадрат.
И дальше пункты 1–5, как я написал выше.
Вариант 1
Задача 1 (Параллелограмм).
В параллелограмме ABCD угол A = 70°. Найдите все остальные углы.
Задача 2 (Трапеция).
В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 14 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите высоту трапеции. (Подсказка: опустите две высоты, найдите отрезки оснований).
Задача 3 (Прямоугольник).
В прямоугольнике ABCD диагональ AC = 13 см, а сторона AB = 5 см. Найдите сторону BC.
Задача 4 (Ромб).
Сторона ромба равна 10 см, а один из углов равен 60°. Найдите меньшую диагональ ромба. (Подсказка: меньшая диагональ лежит напротив острого угла).
Задача 5 (Квадрат).
Периметр квадрата равен 32 см. Найдите его диагональ.
Вариант 2
Задача 1 (Параллелограмм).
В параллелограмме ABCD сумма двух противолежащих углов равна 160°. Найдите все углы.
Задача 2 (Трапеция).
Основания трапеции равны 8 см и 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Задача 3 (Прямоугольник).
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. ∠COD = 60°, а диагональ AC = 12 см. Найдите сторону CD. (Подсказка: треугольник COD — равносторонний?)
Задача 4 (Ромб).
Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.
Задача 5 (Квадрат).
Диагональ квадрата равна 6 √2 см. Найдите его площадь.
Вариант 3
Задача 1 (Параллелограмм).
В параллелограмме ABCD сторона AB = 5 см, сторона BC = 9 см. Найдите периметр параллелограмма.
Задача 2 (Трапеция).
В равнобедренной трапеции основания равны 4 см и 10 см, а высота — 4 см. Найдите боковую сторону.
Задача 3 (Прямоугольник).
В прямоугольнике ABCD сторона AB = 6 см, BC = 8 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны AB.
Задача 4 (Ромб).
В ромбе ABCD диагональ AC = 10 см, а диагональ BD = 24 см. Найдите периметр ромба.
Задача 5 (Квадрат).
Площадь квадрата равна 81 см². Найдите его диагональ.
Вариант 4
Задача 1 (Параллелограмм).
В параллелограмме ABCD угол A в 2 раза больше угла B. Найдите все углы.
Задача 2 (Трапеция).
Средняя линия трапеции равна 12 см, а одно из оснований на 4 см больше другого. Найдите основания.
Задача 3 (Прямоугольник).
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. ∠AOB = 120°, а AB = 8 см. Найдите диагональ AC. (Подсказка: в равнобедренном треугольнике AOB угол при вершине 120°, найдите основание AB через сторону AO).
Задача 4 (Ромб).
В ромбе ABCD угол D = 120°, а сторона равна 8 см. Найдите большую диагональ. (Подсказка: большая диагональ лежит напротив тупого угла, она в 2 раза больше стороны? Нет, проверьте через теорему косинусов или свойство диагоналей).
Задача 5 (Квадрат).
В квадрате ABCD диагональ AC = 10 см. Найдите периметр квадрата.
Вариант 5 (Самый сложный, с несколькими свойствами)
Задача 1 (Параллелограмм).
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Периметр треугольника AOB равен 18 см, AO = 5 см, BO = 6 см. Найдите сторону AB.
Задача 2 (Трапеция).
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны (это свойство не стандартное, но бывает). Основания равны 6 см и 10 см. Найдите высоту трапеции. (Подсказка: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований).
Задача 3 (Прямоугольник).
В прямоугольнике ABCD сторона AB = 7 см, а диагональ AC на 1 см больше стороны BC. Найдите площадь прямоугольника. (Пусть BC = x, тогда AC = x + 1, составьте уравнение по Пифагору).
Задача 4 (Ромб).
В ромбе ABCD высота, проведенная к стороне AB, равна 8 см, а сторона AB = 10 см. Найдите площадь ромба и его острый угол.
Задача 5 (Квадрат).
В квадрате ABCD на стороне BC отмечена точка M так, что BM = 3 см, MC = 5 см. Найдите расстояние от точки M до центра квадрата (точки пересечения диагоналей). (Подсказка: найдите сторону, координаты или используйте теорему Пифагора).
📝 Ответы и решения (для самопроверки)
Вариант 1
∠C = 70°, ∠B = ∠D = 110° (соседние с углом A дают 180°).
Высота = 3 см. (Разность оснований 8, делим на 2 = 4, по Пифагору √(5²−4²)=3).
BC = √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12 см.
Меньшая диагональ = 10 см (равносторонний треугольник со стороной 10).
Сторона = 8 см, диагональ = 8√2 см.
Вариант 2
Противолежащие углы равны, значит каждый = 80° (160/2=80). Соседние = 100°. Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.
Средняя линия = (8+20)/2 = 14 см.
∠COD = 60°, треугольник COD равнобедренный (OC=OD), значит он равносторонний → CD = OC = AC/2 = 6 см.
Сторона = √((12/2)²+(16/2)²) = √(36+64) = √100 = 10 см.
d = a√2 → a = d/√2 = 6 см. S = 36 см².
Вариант 3
P = 2*(5+9) = 28 см.
Полуразность оснований = (10−4)/2 = 3. Боковая = √(4²+3²) = √(16+9) = 5 см.
Расстояние от центра до стороны = половине высоты = BC/2 = 4 см. (Центр равноудален от всех сторон).
Сторона = √(5²+12²) = 13 см. P = 52 см.
Сторона = 9 см. Диагональ = 9√2 см.
Вариант 4
∠A + ∠B = 180°, ∠A = 2∠B → 3∠B = 180° → ∠B = 60°, ∠A = 120°. Ответ: 120°, 60°, 120°, 60°.
Пусть основания x и x+4. (x + x + 4)/2 = 12 → 2x+4=24 → x=10. Основания: 10 и 14 см.
В ΔAOB: AO=BO, ∠AOB=120° → ∠OAB=∠OBA=30°. Опустим высоту из O на AB, она = AO/2? Можно проще: по теореме косинусов AB² = AO² + BO² − 2AOBO*cos120° = 2x² + x² = 3x² (где x=AO). AB=8 → 8²=3x² → x=8/√3. AC=2x=16/√3 = 16√3/3 см. (Можно и через свойство: сторона напротив 30° равна половине гипотенузы, но там сложнее).
В ромбе диагонали перпендикулярны. Меньшая диагональ d1 = 2 * a * sin(60°/2) = 2*8*sin30°=8. Большая d2 = 2 * a * cos30° = 16*(√3/2)=8√3 см.
Сторона = 10/√2 = 5√2 см. P = 20√2 см.
Вариант 5
P(AOB) = AO + BO + AB = 18 → 5 + 6 + AB = 18 → AB = 7 см.
В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота = полусумме оснований = (6+10)/2 = 8 см.
Пусть BC = x, AC = x+1. По Пифагору: 7² + x² = (x+1)² → 49 + x² = x² + 2x + 1 → 2x = 48 → x=24. S = 7*24 = 168 см².
S = ah = 108 = 80 см². Синус угла = h/a = 8/10 = 0,8 → угол ≈ 53,13° (или arcsin 0,8).
Сторона квадрата = BM + MC = 3+5 = 8 см. Центр O — середина диагонали. Можно ввести координаты: B(0;0), C(8;0), M(3;0), центр O(4;4). Расстояние MO = √((4−3)²+(4−0)²) = √(1+16) = √17 см.
