Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 566

Невского района Санкт-Петербурга

Индивидуальное исследование

по теме «Выявление упрощенной формулы знаменателя геометрической прогрессии»

Выполнила: Сысоева Арина Васильевна

Санкт-Петербург

2026

Оглавление

Введение 4
Основная часть 5
1. История 5
2. Свойства геометрической прогрессии: 6
3. Решение задач 7
4. Описание исследования 9
Заключение 12
Источники 13

Введение

Актуальность исследования: Геометрическая прогрессия включена в изучение курса алгебры 9 класса, а также встречается в Основном Государственном Экзамене (ОГЭ) для девятого класса и в Всероссийских Проверочных Работах (ВПР) для десятого класса.

Умение работать с геометрической прогрессией важно для решения различных математических задач. При этом известно, что знаменатель геометрической прогрессии равен отношению двух идущих друг за другом членов геометрической прогрессии. Но что делать, если члены геометрической прогрессии не идут подряд? При данных условиях, нахождение знаменателя геометрической прогрессии происходит через решение системы уравнений, что значительно усложняет задачу, требует больших затрат времени, а также повышает вероятность совершения ошибки. Передо мной встал вопрос о возможности сокращения решения и выведение упрощенной формулы нахождения знаменателя геометрической прогрессии.

Гипотеза: Для более быстрого нахождения знаменателя геометрической прогрессии возможно применение упрощенной формулы

Объект исследования: Геометрическая прогрессия.

Предмет исследования: Знаменатель геометрической прогрессии.

Цель исследования: Выявление упрощенной формулы знаменателя геометрической прогрессии.

Задачи работы:

1. Узнать, что такое геометрическая прогрессия

2. Изучить свойства геометрической прогрессии

3. Найти задачи на нахождение знаменателя геометрической прогрессии.

4. Выявить упрощенную формулу знаменателя геометрической прогрессии.

5. Доказать, что формула рабочая, и ее можно применять при любых условиях задачи.

Методы исследования:

1. Теоретический

2. Эмпирический

3. Научный

Основная часть

1. История

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Знаменатель геометрической прогрессии (обозначается q) — число, на которое умножают каждый член прогрессии, чтобы получить следующий.

Геометрическая прогрессия известна людям на протяжении всей истории, свойства прогрессий были интересны людям.

1. Древний Египет. Упоминания о геометрической прогрессии встречаются в задачах из папируса Райнда.

Папирус Райнда (в других переводах — Ринда) — древнеегипетский математический текст, содержащий 84 задачи. Вероятно, задания были предназначены для помощи писцам в подсчёте зерна и раздаче хлеба среди населения.

1. IV век до н. э. Пифагор Самосский рассматривал последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, он получал геометрическую последовательность квадратных чисел.

1. II век до н. э. Архимед нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

1. I век н. э. В древнем Риме диаметры колёс в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией.

1. XII век н. э. Правило для нахождения суммы членов произвольной прогрессии встречается в сочинении итальянского математика Леонардо Пизанского («Фибоначчи»).

1. XV век н. э. Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Никола Шюке «Наука о числах», которая была выпущена в свет в 1484 году.

1. Первая половина XVII века н. э. Несколькими математиками, среди них был французский математик Пьер де Ферма, была выведена общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей прогрессии.

1. Конец XVII — начало XVIII веков н. э. В Германии для расчёта темперированного музыкального строя была применена геометрическая прогрессия.

1. XIX век н. э. Во Франции в 1805 году размеры типографского шрифта были установлены в соответствии с геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия встречается в разных сферах жизни:

1. Расчёт роста процентов в банке, где сумма удваивается или увеличивается в несколько раз.

1. Моделирование роста бактерий, где их число удваивается за определённое время.

1. Планирование задач, где объём работы растёт с постоянным множителем.

2. Свойства геометрической прогрессии:

В геометрической прогрессии квадрат любого числа всегда равен произведению его соседних членов. Это свойство называют характеристическим. С его помощью можно проверить, является ли последовательность чисел геометрической прогрессией.

Задачи на сумму геометрической прогрессии могут быть связаны с разными типами прогрессий. Это зависит от знаменателя прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии (обозначается q) — это число, на которое умножают каждый член прогрессии, чтобы получить следующий.

В зависимости от значения знаменателя прогрессия может быть возрастающей, убывающей, знакочередующей (переменной) или постоянной

Геометрическая прогрессия:

1. Возрастающая,

если q>1. Члены последовательности увеличиваются.

(2, 4, 8, 16… )

2. Убывающая,

если 0<q<1. Члены последовательности уменьшаются.

(100, 50, 25, 12.5…)

3. Знакочередующаяся (переменная),

если q<0. Члены последовательности меняют знак.

(3, -6, 12, -24…)

4. Постоянная,

если q=1. Все члены последовательности одинаковые.

(5, 5, 5, 5…)

Для решения задач используются существующие формулы:

Название	Формула
Определение	bn+1=bn*q
Формула нахождения n-ого члена	bn=b1*qn-1
Сумма n-первых членов прогрессии	Sn=b1(1-qn)/1-q
Свойства	bn=bn+1*bn-1

3. Решение задач

Задачи на геометрическую прогрессию могут быть связаны с нахождением члена прогрессии или с нахождением суммы её членов.

1. Дано:

b₁ = 5, q = 3

найти:

b5-?

Рассмотрим формулу:

bn = b1 × qn−1, где

bn — n-й член прогрессии;

b1 — первый член прогрессии;

q — знаменатель (коэффициент) прогрессии, который определяет разницу между двумя соседними членами;

n — номер члена.

b5 = b1 × q4 = 5 × 34 = 405

Ответ: 405

Важно: знаменатель q не должен быть равен нулю (q ≠ 0), иначе последовательность теряет смысл.

2.Есть второй способ решения данной задачи по формуле:

bn+1=bn*q

Дано:

b₁ = 5, q = 3

найти:

b5-?

b₂ = 5 × 3 = 15;

b₃ = 15 × 3 = 45;

b₄ = 45 × 3 = 135.

b5= 135 × 3 =405

Ответ: 405

3. Задачи на сумму первых n членов геометрической прогрессии. Можно найти сумму, если вычислить члены прогрессии и сложить их, но этот подход применим только для небольших прогрессий. Для больших прогрессий удобнее использовать формулу суммы первых членов прогрессии:

Sn=b1(1-qn)/1-q .

Формула актуальна, когда знаменатель прогрессии не равен единице (q ≠ 1). Если q = 1, то сумма первых n членов находится по формуле:

Sn = n ⋅ b1.

Дано:

b₁=50, q=2.

Найти:

S5-?

Sₙ = b₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)

S₅ = 50 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) =1550

Ответ: 1550

4.Задачи на сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В такой прогрессии члены становятся всё меньше и меньше, но сумму можно найти по формуле:

S = b₁ / (1 — q),

Дано:

b₁ = 5, q = 0,6.

Найти:

S-?

S = 5 / (1 — 0,6) = 5 / 0,4 = 12,5

Ответ: 12,5

4. Описание исследования

Рассмотрим задачи на нахождение знаменателя геометрической прогрессии. Если известны два последующих члена геометрической прогрессии, то мы один член прогрессии делим на предыдущий.

Дано: b5=32, b6=64

Найти: q-?

q= b6/b5=64/32=2

Ответ: q=2

Но если известны два не следующих друг за другом члена геометрической прогрессии, задача усложняется.

Рассмотрим пример решения задачи.

1. Дано: b6=64; b8=256

Найти: q-?

При решении данной задачи применение существующих формул сразу невозможно. Поэтому на базе школы решение задачи осуществляется через решение системы уравнений:

q2=256/64

q2=4

|q|=2

Для работы над исследованием я прорешала множество задач на нахождение знаменателя геометрической прогресии и заметила закономерность в их решении: поняла, что большую часть решения можно пропустить, вследствие чего выявила формулу для нахождения знаменателя геометрической. Она заключается в возведении знаменателя в разность между порядковыми номерами членов геометрической прогрессии.

qk=bn+k/bn

или

q=k√bn+k/bn,

где q – знаменатель геометрической прогрессии;

b – член геометрической прогрессии;

n – номер члена геометрической прогрессии;

k – разность между порядковыми номерами членов геометрической прогрессии.

Для более упрощенного решения, задачу можно решить через возведение знаменателя в разность между членами геометрической прогрессии, используя формулу: qk=bn+k/bn

Дано: b6=64; b8=256

Найти: q-?

Представим b8, как b6+2, где 2 – это разность между номерами членов геометрической прогрессии. Следовательно, для упрощенного решения задачи необходимо возвести знаменатель в степень разности между порядковыми номерами членов геометрической прогрессии.

q2=b6+2/b6

q2=256/64

q2=4

|q|=4

|q|=2

Вследствие решения задачи двумя способами ответ сошелся

Решим таким же образом еще один пример:

2. Дано: b6=64; b9=512

Найти: q-?

qk=bn+k/bn

q3=b6+3/b6

q3=512/64

q3=8

q=

q=2

Далее проверим решение задачи через решение системы уравнений:

q3=512/64

q3=8

q=2

3. Дано: b4=81, b7=2187

Найти: q-?

qk=bn+k/bn

q3=b4+3/b4

q3=b7/b4

q3=2184/81

q3=27

q=3

Проверим:

q3=2184/81

q3=27

q=3

Ответы, полученные решением задач двумя способами сходятся. Из чего следует вывод, что упрощенная формула нахождения знаменателя геометрической прогрессии qk=bn+k/bn или q=kbn+k/bn является рабочей и может быть применена при решении задач на нахождение знаменателя геометрической прогрессии.

Заключение

Геометрическая прогрессия является важным понятием в математике, которое находит применение в различных областях науки и техники. Понимание свойств геометрической прогрессии позволяет решать разнообразные задачи, связанные с моделированием процессов, расчётом сложных процентов, определением расстояний и так далее.

Знание формул и свойств геометрической прогрессии существенно упрощает решение многих математических задач и способствует более глубокому пониманию закономерностей, лежащих в основе многих природных и технических процессов.

Исследование показало, что выведенная мной формула, нахождения знаменателя геометрической прогрессии, которая не была ранее известна, является рабочей. Следовательно, данную формулу можно применять при любых условиях задачи. Следовательно, гипотеза верна.

Источники

1. https://infourok.ru/istoriya-vozniknoveniya-arifmeticheskoy-i-geometricheskoy-progressiy-2263240.

2. https://infourok.ru/istoriya-vozniknoveniya-arifmeticheskoy-i-geometricheskoy-progressiy-2263240.

3.https://foxford.ru/wiki/matematika/geometricheskaya-progressiya?ysclid=mouguyhpbq977408167

4. Математика: алгебра и начала математического анализа: 10-11-е классы: базовый и углубленный уровни: учебник / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева – 13-е изд., стер. — Москва: Просвещение, 2025. – 463, стр. 11.

5. Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник / М34 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. – 15-е изд., перераб. – Москва: Просвещение, 2023. – 255, стр. 167