Батомункуева Сэсэгма Викторовна,
Учитель математики
МАОУ СОШ №5 п. Айхал
Использование кейс-технологии на уроках математики
Вопрос «А где это пригодится?» звучит на уроках математики в основной школе чаще, чем хотелось бы. Пятиклассник ещё готов решать задачи ради самой задачи. К седьмому-восьмому классу многие подростки начинают воспринимать алгебру и геометрию как набор правил, оторванных от жизни. Дело не в том, что математика далека от реальности. Просто в привычном учебном задании реальность уже «очищена»: все данные даны, лишних нет, способ решения угадывается по номеру параграфа. Ученик не выбирает, не сомневается и не отвечает за результат. Кейс-технология возвращает в урок то, чего так не хватает школьной задаче, — неопределённость, выбор и необходимость обосновать своё решение.
Кейс-технология позволяет сделать обучение практико-ориентированным, активным и личностно значимым, а также создаёт условия для раскрытия способностей каждого ученика. За этой формулировкой стоит вполне конкретная механика. Когда ученик сравнивает тарифы, рассчитывает бюджет классной поездки или решает, сколько упаковок ламината купить для ремонта комнаты, он пользуется теми же процентами, уравнениями и формулами площадей, что и на обычном уроке. Но теперь от результата зависит решение, которое можно проверить здравым смыслом и которое имеет последствия.
Что отличает кейс от текстовой задачи
Кейс — это описание реальной или правдоподобной ситуации, в которой есть проблема, требующая анализа и принятия решения. Внешне он может напоминать сюжетную задачу, но различие принципиальное. Текстовая задача имеет один правильный ответ и, как правило, один ожидаемый способ решения. Кейс допускает несколько обоснованных вариантов, а иногда и вовсе не имеет единственно верного ответа: всё зависит от того, какие критерии участники посчитают главными.
Для урока математики можно выделить несколько признаков полноценного кейса. Во-первых, в нём есть проблема, сформулированная не как «найдите значение выражения», а как жизненный вопрос: «что выгоднее», «хватит ли», «как лучше распределить». Во-вторых, данные в кейсе избыточны или, наоборот, неполны. Ученику приходится самому отбирать нужное, отбрасывать лишнее и замечать, чего не хватает. В-третьих, решение требует математического моделирования: ситуацию нужно перевести на язык чисел, формул, графиков или таблиц. В-четвёртых, результат обсуждается и защищается, а не просто сверяется с ответом в конце учебника.
Последний признак особенно важен. Ценность кейса не в самом расчёте, а в разговоре вокруг него. Когда одна группа доказывает, что выгоднее купить куртку со скидкой, а другая — что выгоднее магазин с бонусами, выясняется, что обе группы правы при разных условиях. Именно в этот момент ученики начинают понимать, что математика не только даёт ответы, но и помогает задавать правильные вопросы.
Какие кейсы подходят для основной школы
В методической литературе кейсы классифицируют по разным основаниям. Для учителя математики практически удобно различать их по объёму и по характеру проблемы.
По объёму кейсы бывают короткими, или мини-кейсами, рассчитанными на 10–15 минут урока, и развёрнутыми, для работы с которыми требуется весь урок или даже серия уроков с домашней подготовкой. В 5–6 классах разумно начинать именно с мини-кейсов: ученики привыкают к самой форме работы, учатся читать условие с избыточными данными и договариваться в группе. Развёрнутые кейсы уместнее в 8–9 классах, когда у школьников уже есть опыт и достаточный математический аппарат.
По характеру проблемы в практике математики встречаются:
- кейсы-расчёты, где нужно получить конкретный количественный результат и принять на его основе решение (сколько материала купить, уложимся ли в бюджет);
- кейсы-сравнения, где требуется выбрать лучший вариант из нескольких (тарифы, вклады, маршруты);
- кейсы-исследования, где ученики собирают или анализируют данные и делают выводы (статистика, закономерности);
- кейсы-ловушки, в которых очевидное на первый взгляд решение оказывается неверным, а ошибка видна только после аккуратного расчёта.
Особый интерес представляют кейсы, построенные на местном материале. Для школьников северного посёлка естественными оказываются ситуации, связанные с морозами и отменой занятий, с дальними поездками, с доставкой товаров, с отоплением и утеплением жилья. Такой материал не нужно специально «оживлять»: ученик узнаёт в нём собственную жизнь. При этом числовые данные в учебном кейсе могут быть условными — важно лишь, чтобы они были правдоподобными и не вызывали у детей недоумения.
Этапы работы с кейсом
Работа с кейсом имеет устойчивую последовательность. Её полезно соблюдать, особенно на первых порах, потому что именно чёткий порядок действий помогает ученикам не утонуть в свободе выбора, которую даёт технология.
Подготовительный этап
Эта часть работы целиком лежит на учителе и проходит до урока. Нужно определить, какой предметный результат должен быть достигнут: отработка процентов, применение линейной функции, вычисление площадей. Затем подбирается ситуация, в которой именно этот материал становится необходимым. Типичная ошибка на этом этапе — взять интересную жизненную ситуацию и уже потом искать в ней математику. Получается увлекательное обсуждение, после которого неясно, чему научились дети. Надёжнее двигаться от учебной цели к сюжету.
Здесь же продумываются форма раздачи материала (карточка, таблица, набор документов вроде условных чеков или прайс-листов), состав групп и вопросы для обсуждения. Полезно заранее решить кейс самостоятельно несколькими способами и предположить, где ученики ошибутся.
Ознакомительный этап
Учащиеся знакомятся с ситуацией. Для мини-кейса это несколько минут индивидуального чтения, для развёрнутого — иногда домашнее задание накануне. На этом этапе ученик должен ответить себе на три вопроса: в чём проблема, какие данные у меня есть, чего не хватает. Помогает приём «пометок на полях»: ученики подчёркивают нужные данные одним цветом, лишние — другим, а на полях отмечают вопросы.
Учителю здесь лучше не торопиться с пояснениями. Если ученик спрашивает «а что нужно найти?», полезнее вернуть вопрос: «А что хочет узнать герой этой истории?» Способность самостоятельно сформулировать задачу — один из главных результатов кейс-технологии, и отнимать у детей этот шаг не стоит.
Аналитический этап
Это основная часть работы. Как правило, она проходит в группах по 3–5 человек. Группа выделяет проблему, строит математическую модель, выполняет расчёты, сравнивает варианты. Роль учителя меняется: он не объясняет, а консультирует, задаёт наводящие вопросы и следит за тем, чтобы в группе работали все, а не один «сильный» ученик.
Чтобы избежать ситуации, когда решение за всю группу принимает лидер, можно распределить роли: «расчётчик» отвечает за вычисления, «проверяющий» контролирует правдоподобие результата, «аналитик» формулирует вывод, «докладчик» готовит защиту. Роли меняются от кейса к кейсу. Такое распределение особенно полезно для учеников, которые на обычном уроке отмалчиваются: у каждого появляется своя зона ответственности, и способности, незаметные при фронтальном опросе, начинают проявляться.
Презентационный этап
Группы представляют свои решения. Важно, чтобы выступление не сводилось к оглашению ответа. Докладчик объясняет, какие данные группа посчитала существенными, как построила модель, почему выбрала именно этот вариант. Другие группы задают вопросы. Если решения расходятся, это не повод для учителя сразу указать на правильное — гораздо продуктивнее предложить классу самому найти причину расхождения.
На этом этапе полезны опорные формулировки, которые учитель может записать на доске: «Мы считаем, что…, потому что…», «Наш расчёт показывает…», «Мы не учли…», «Если изменить условие…, то…». Для пятиклассников такие речевые опоры особенно важны: многие дети умеют посчитать, но теряются, когда нужно объяснить.
Рефлексивно-оценочный этап
Завершает работу обсуждение того, что нового узнали ученики, какие математические знания им понадобились и где возникли трудности. Вопросы рефлексии лучше делать конкретными: «Какую формулу вы использовали и почему именно её?», «В какой момент ваша группа ошиблась и как это обнаружила?», «Где ещё можно встретить похожую ситуацию?». Размытое «понравился ли вам урок» мало что даёт ни учителю, ни ученикам.
Примеры кейсов для 5–9 классов
Ниже приведены кейсы, которые можно использовать на уроках в основной школе. Числовые данные в них условные и при необходимости легко заменяются актуальными.
Кейс «Едем на экскурсию» (5 класс)
Предметное содержание: действия с натуральными числами, составление числовых выражений.
Ситуация. Классный руководитель планирует экскурсию для класса из 24 учеников. С классом поедут двое взрослых. Родительский комитет собрал на поездку 25 000 рублей. Транспорт можно заказать двумя способами: большой автобус на весь день за 12 000 рублей или микроавтобусы на 18 пассажирских мест по 7 000 рублей каждый. Входной билет в музей стоит 350 рублей для школьника и 500 рублей для взрослого. В кафе обед на одного человека обойдётся в 250 рублей. Музей открыт с 10 до 18 часов, дорога в одну сторону занимает полтора часа.
Вопросы для группы:
- Какой транспорт выгоднее заказать?
- Хватит ли собранных денег, если все поедут и пообедают?
- Какие данные в условии не нужны для ответа на эти вопросы?
Комментарий учителю. Расчёт показывает, что для 26 человек понадобятся два микроавтобуса, то есть 14 000 рублей, — дороже большого автобуса. Многие пятиклассники сначала делят 24 на 18, забывая о взрослых, или вообще берут один микроавтобус, потому что цена «меньше». Это хороший повод поговорить о том, что нужно внимательно читать условие. Общие расходы с большим автобусом составят 12 000 + 24 · 350 + 2 · 500 + 26 · 250 = 12 000 + 8 400 + 1 000 + 6 500 = 27 900 рублей. Денег не хватает. Дальше начинается самое интересное: группы предлагают выходы. Можно отказаться от кафе и взять еду с собой, можно попросить у музея льготу для сопровождающих, можно добрать недостающую сумму. Каждое предложение требует нового расчёта. Время работы музея и длительность дороги — лишние для основного вопроса данные, но внимательные группы могут использовать их, чтобы составить расписание дня.
Кейс «Скидка или бонусы?» (6 класс)
Предметное содержание: проценты, нахождение процента от числа.
Ситуация. Семья выбирает зимнюю куртку для подростка. В магазине «Север» куртка стоит 4 500 рублей, и на неё действует скидка 20%. В магазине «Полюс» похожая куртка стоит 4 200 рублей без скидки, но при покупке от 3 000 рублей покупателю возвращают 25% стоимости бонусами, которые можно потратить на следующую покупку в течение месяца. Кроме куртки семье в ближайшее время понадобятся зимние сапоги стоимостью около 3 000 рублей, которые продаются в обоих магазинах.
Вопросы для группы:
- Сколько придётся заплатить за куртку в каждом магазине?
- При каких условиях выгоднее «Полюс», а при каких — «Север»?
- Какой совет вы дадите семье?
Комментарий учителю. В «Севере» куртка обойдётся в 3 600 рублей. В «Полюсе» придётся заплатить 4 200 рублей, но вернутся 1 050 бонусных рублей. Если семья действительно купит там же сапоги, суммарные траты составят 4 200 + 3 000 − 1 050 = 6 150 рублей против 3 600 + 3 000 = 6 600 рублей в «Севере». Если же сапоги не нужны или бонусы сгорят, выгоднее «Север». Кейс хорош тем, что показывает: ответ зависит от условий, и честный вывод звучит как «если…, то…». Типичная ошибка — сложить проценты или сравнить только проценты (20% и 25%), не учитывая разные исходные цены. Учителю стоит спросить: «25% от какой суммы?» — этого обычно достаточно, чтобы группа пересмотрела рассуждение.
Кейс «Какое такси вызвать?» (7 класс)
Предметное содержание: линейная функция, график линейной функции, решение линейных уравнений.
Ситуация. В посёлке работают две службы такси. Первая берёт 150 рублей за подачу машины и 30 рублей за каждый километр пути. Вторая берёт 250 рублей за подачу и 20 рублей за километр. Ученику нужно регулярно ездить на занятия в спортивную секцию, расстояние до которой 4 км, а также иногда добираться до аэропорта.
Задания для группы:
- Запишите формулу стоимости поездки для каждой службы.
- Постройте графики обеих функций в одной системе координат.
- Определите, при каком расстоянии стоимость поездки одинакова.
- Какую службу выбрать для поездок в секцию, а какую — для дальних поездок?
Комментарий учителю. Функции y = 150 + 30x и y = 250 + 20x пересекаются при x = 10. До 10 км выгоднее первая служба, после — вторая. Поездка в секцию обойдётся в 270 и 330 рублей соответственно. Кейс позволяет наглядно показать смысл углового коэффициента и свободного члена: ученики видят, что «плата за подачу» — это точка на оси ординат, а «цена километра» определяет, насколько круто идёт график. Семиклассники нередко путают коэффициенты местами или строят графики, начиная из начала координат. Хорошим корректирующим вопросом будет: «Сколько вы заплатите, если машина приехала, а вы передумали ехать?» После такого вопроса большинство учеников самостоятельно находят ошибку в графике.
Кейс легко усложнить: добавить третью службу с фиксированной ценой поездки по посёлку или ночной тариф. Тогда класс работает уже с кусочно-заданными функциями на интуитивном уровне, что готовит почву для будущих тем.
Кейс «Ремонт в комнате» (8 класс)
Предметное содержание: площади многоугольников, округление, практические вычисления.
Ситуация. Семья решила сделать ремонт в детской комнате. Комната имеет форму прямоугольника 4 м на 3,5 м, высота потолков 2,6 м. В комнате одно окно размером 1,5 м на 1,2 м и дверь 0,9 м на 2 м. Нужно покрыть пол ламинатом и поклеить обои. Ламинат продаётся упаковками по 2,13 м², при укладке рекомендуют закладывать запас около 10% на подрезку. Рулон обоев имеет ширину 1,06 м и длину 10 м. В прайс-листе магазина указаны цены на ламинат трёх классов, обои, клей и плинтус.
Вопросы для группы:
- Сколько упаковок ламината нужно купить?
- Сколько рулонов обоев понадобится?
- Уложится ли семья в выделенный бюджет, и какой ламинат при этом лучше выбрать?
Комментарий учителю. Площадь пола — 14 м², с запасом — 15,4 м². Делим на площадь упаковки и получаем примерно 7,2, значит, нужно 8 упаковок. Здесь многие ученики округляют по правилам математики до 7 и не замечают, что пол останется недоделанным. Это одна из самых ценных ошибок в кейсе: она показывает, что в практической задаче округление подчиняется смыслу, а не только правилу. Площадь стен без окна и двери составляет 15 · 2,6 − 1,8 − 1,8 = 35,4 м². С обоями ученики обычно сначала делят площадь стен на площадь рулона и получают около 3,3 рулона. На практике так не считают: из рулона нарезают полосы по высоте стены, и остатки часто не используются. Если группа догадывается считать через количество полос — это признак настоящего моделирования. Длина периметра 15 м, ширина полосы 1,06 м, значит, нужно около 15 полос; из одного рулона длиной 10 м получается 3 полосы по 2,6 м, следовательно, понадобится 5 рулонов. Сравнение двух способов подсчёта — отличная тема для обсуждения на этапе защиты.
Кейс «Мороз и школьные мероприятия» (9 класс)
Предметное содержание: статистические характеристики (среднее арифметическое, медиана, размах), относительная частота.
Ситуация. Совет старшеклассников планирует в январе провести на улице лыжную эстафету. Организаторы просят подсказать, стоит ли проводить её в первой половине месяца или лучше перенести. Для анализа совет получил условные данные о температуре воздуха в 8 часов утра за 10 дней прошлого года: −38, −42, −45, −40, −36, −47, −44, −41, −39, −43 градуса.
Задания для группы:
- Найдите среднюю температуру, медиану и размах ряда.
- Определите, какую долю дней температура была ниже −40 градусов.
- Можно ли на основании этих данных уверенно планировать мероприятие? Каких данных не хватает?
Комментарий учителю. Среднее и медиана ряда совпадают и равны −41,5 градуса, размах — 11 градусов, доля дней с температурой ниже −40 — 60%. Главное в этом кейсе — не расчёт, а последний вопрос. Хорошая группа заметит, что данных за 10 дней одного года мало, что утренняя температура не совпадает с дневной, что важны ветер и продолжительность пребывания на улице. Так девятиклассники приходят к мысли о надёжности выводов и объёме выборки — понятиям, которые трудно объяснить абстрактно. Для учеников северной школы сюжет особенно близок: многие сами могут рассказать, как мороз влияет на планы семьи. Логичное продолжение — предложить классу собрать собственные данные в течение двух-трёх недель и повторить анализ.
Кейс «Куда положить деньги?» (9 класс)
Предметное содержание: проценты, простые и сложные проценты, геометрическая прогрессия.
Ситуация. Бабушка хочет положить 100 000 рублей в банк на один год. Банк предлагает два вклада. Первый — 8% годовых, проценты начисляются один раз в конце срока. Второй — 7,5% годовых с ежемесячной капитализацией: каждый месяц на сумму вклада начисляется двенадцатая часть годовой ставки, и эти деньги сами начинают приносить проценты. Консультант уверяет, что второй вклад выгоднее, «потому что проценты капают на проценты».
Вопросы для группы:
- Сколько денег будет на каждом вкладе через год?
- Прав ли консультант?
- При какой ставке вклад с капитализацией сравнялся бы с первым?
Комментарий учителю. Это классический кейс-ловушка. Первый вклад даёт 108 000 рублей. Второй: 100 000 · (1 + 0,075 : 12)¹² ≈ 107 763 рубля. Капитализация действительно работает, но не покрывает разницу в полпроцента ставки. Ученики, уверенные в «магии сложных процентов», обычно удивлены. Вычисление двенадцатой степени без калькулятора трудоёмко, поэтому здесь уместно разрешить калькулятор или составить таблицу помесячного роста вклада — тогда в явном виде видна геометрическая прогрессия. Третий вопрос даёт простор для исследования методом подбора. Кейс хорошо работает и с воспитательной стороны: подростки учатся не принимать на веру рекламные утверждения и проверять их расчётом.
Как оценивать работу с кейсом
Оценивание — одно из самых сложных мест в кейс-технологии. Если оценивать только правильность ответа, теряется смысл: ведь в кейсе нередко несколько допустимых решений. Если оценивать только активность, страдает предметная составляющая. Удобно пользоваться простой критериальной таблицей, которую ученики видят заранее.
| Критерий | Что проверяется | Баллы |
|---|---|---|
| Понимание проблемы | Группа верно сформулировала, что нужно выяснить, отобрала существенные данные | 0–2 |
| Математическая модель | Выбран подходящий математический аппарат, записаны формулы, выражения или построены графики | 0–3 |
| Точность вычислений | Расчёты выполнены без ошибок, округление соответствует смыслу задачи | 0–2 |
| Обоснование решения | Вывод опирается на расчёт, рассмотрены альтернативы и условия, при которых решение меняется | 0–2 |
| Представление результата | Выступление понятно, группа отвечает на вопросы, использует математическую терминологию | 0–1 |
Кроме групповой оценки полезна самооценка: каждый участник кратко отмечает, что сделал лично и что получилось хуже всего. Это помогает учителю увидеть вклад отдельных учеников и не допустить, чтобы оценку «за всех» получал один человек.
Трудности и способы их преодоления
При внедрении кейс-технологии учитель, как правило, сталкивается с несколькими повторяющимися затруднениями.
Нехватка времени. Развёрнутый кейс легко «съедает» весь урок, а программа не ждёт. Выход — сочетать мини-кейсы, которые встраиваются в обычный урок на этапе применения знаний, с одним-двумя развёрнутыми кейсами в четверть, приуроченными к обобщению темы. Часть ознакомительного этапа можно перенести в домашнюю работу.
Неготовность учеников к самостоятельности. Школьники, привыкшие к заданиям с одним ответом, поначалу растеряны: «А как правильно?» На первых порах помогает пошаговая карточка-подсказка: «1. Какой вопрос нужно решить? 2. Какие данные нужны? 3. Какие данные лишние? 4. Какую формулу применить? 5. Что получилось и что это значит для героя ситуации?» Со временем карточка становится не нужна.
Неравномерное участие. Сильные ученики торопятся решить всё сами, слабые охотно уступают. Помимо ролей в группе, работает приём, при котором докладчика выбирает учитель в момент выступления. Тогда каждому участнику приходится разобраться в решении настолько, чтобы суметь его объяснить.
Уход от математики. Живой сюжет иногда уводит обсуждение в сторону: дети спорят о фасоне куртки или о том, какой музей интереснее. Учителю важно мягко возвращать разговор к числам: «Хорошо, а как это отразится на расчёте?» Именно для этого на подготовительном этапе фиксируется предметная цель кейса.
Трудоёмкость подготовки. Составить качественный кейс непросто. Но однажды разработанный кейс служит годами: в нём меняются только цены и отдельные условия. Со временем можно привлекать к составлению кейсов самих учеников — например, предложить девятиклассникам придумать ситуацию для пятиклассников. Это задание само по себе требует хорошего понимания математики.
Что даёт кейс-технология ученику и учителю
Требования ФГОС основного общего образования ориентируют учителя не только на предметные, но и на метапредметные и личностные результаты. Кейс-технология отвечает этим требованиям естественным образом, без искусственных надстроек. Ученик учится работать с информацией: отбирать, сопоставлять, замечать недостающее. Он осваивает математическое моделирование — перевод жизненной ситуации на язык формул и обратную интерпретацию результата. Групповая работа формирует умение договариваться, слушать другие мнения и аргументированно отстаивать своё. Кейсы на финансовые темы вносят вклад в финансовую грамотность, которая сегодня рассматривается как часть функциональной грамотности школьника.
Практико-ориентированность здесь проявляется не в том, что задача «про магазин», а в том, что от решения зависит действие. Активность — не в том, что дети много двигаются и говорят, а в том, что они сами ставят задачу и ищут пути её решения. Личностная значимость возникает, когда сюжет узнаваем и касается жизни самого ученика, его семьи, его посёлка.
Отдельно стоит сказать о раскрытии способностей. В обычном уроке успешен прежде всего тот, кто быстро и безошибочно считает. В работе с кейсом ценятся и другие качества: умение увидеть ловушку в условии, предложить неожиданную идею, ясно объяснить решение, проверить результат на правдоподобие. Ученик со средней успеваемостью может оказаться лучшим «проверяющим» в группе, а тихий школьник — автором самого оригинального решения. Для многих детей это первый опыт успеха на уроке математики, и он заметно меняет их отношение к предмету.
Для учителя кейс-технология означает сдвиг роли: от объясняющего к организатору и консультанту. Это требует терпения — нужно давать детям ошибаться и не спешить с правильным ответом. Но именно такие уроки, как правило, запоминаются ученикам надолго, и именно после них реже звучит вопрос «где это пригодится?». Ответ ученики находят сами, в процессе работы.
Кейс-технология не заменяет систематического изучения математики и не должна вытеснять тренировочные упражнения: без прочных вычислительных навыков анализировать ситуацию невозможно. Её место — там, где знания нужно применить, связать с жизнью и осмыслить. При разумном сочетании с традиционными формами работы она делает урок математики тем, чем он и должен быть: временем, когда ученик думает, выбирает и отвечает за свой выбор.
Список использованной литературы
- Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утверждён приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 287).
- Селевко Г. К. Энциклопедия образовательных технологий: в 2 т. — М.: НИИ школьных технологий, 2006.
- Сурмин Ю. П. Ситуационный анализ, или Анатомия кейс-метода. — Киев: Центр инноваций и развития, 2002.
- Смолянинова О. Г. Инновационные технологии обучения студентов на основе метода кейс-стади // Инновации в российском образовании. — М.: МГУП, 2000.
