«Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное общеобразовательное учреждение

высшего образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОСВЕЩЕНИЯ»

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОСВЕЩЕНИЯ)

Конкурсная работа

Тема: Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел

Авторы:

Курбатова Светлана, Толкачева Александра

Руководитель:

Филатова Ольга Петровна

Доцент кафедры начального образования,

кандидат педагогических наук в ГУП

Мытищи, 2025 г.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………..		3
1.	Теоретическая часть: Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел ……………………………….	4
1.1.	Количественные натуральные числа. Счёт ………………………………	4
1.2.	Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше» ………………………………………………………	4
1.3.	Теоретико-множественный смысл суммы ………………………………..	5
1.4.	Теоретико-множественный смысл разности ……………………………..	6
1.4.1.	Теоретико-множественный смысл отношений «больше на» и «меньше на» ……………………………………………………………………………	7
1.5.	Теоретико-множественный смысл произведения ЦНЧ ……………………..	8
1.5.1.	Определение произведения целых неотрицательных чисел как суммы одинаковых слагаемых ………………………………………………………………..	8
1.5.2.	Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств …………………………………………	8
1.5.3.	Дистрибутивность умножения ……………………………………………..	9
1.6.	Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел ………..	9
1.6.1.	Теоретико-множественный смысл отношений «больше в» и «меньше в»	10
1.6.2.	Теоретико-множественное истолкование деления с остатком ……………	10
2.	Практическая часть: составление и анализ заданий ………………………	12
2.1.	Тема 1: Теоретико-множественный подход в построении целых неотрицательных чисел. Количественные натуральные числа, счет …….	12
2.2.	Тема 2: Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше» ………………………………………………………………….	16
2.3.	Тема 3: Теоретико-множественный смысл суммы ………………………..	17
2.4.	Тема 4: Теоретико-множественный смысл разности ………………………	18
2.5.	Тема 5: Теоретико-множественный смысл «меньше на…» и «больше на….» ………………………………………………………………………………………………….	19
2.6.	Тема 6: Теоретико-множественный смысл произведения умножения целых неотрицательных чисел. Определение произведения целых неотрицательных чисел как суммы одинаковых слагаемых. Теоретико-множественная трактовка. Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств. Коммуникативное свойство. Ассоциативное свойство. Дистрибутивность умножения ……………………………………………..	20
2.7.	Тема 7: Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Случаи деления нуля и деления на нуль. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в…» и «меньше в….». Теоретико-множественное истолкование деления с остатком ……………………….	21
3.	Самостоятельные работы ……………………………………………………	25
Заключение……………………………………………………………………………		70
Список использованных источников ……………………………………………….		71

Введение

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.

Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от младших школьников волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор младших школьников.

Цели начального обучения математике определяют основные особенности его изучения. Решение главной задачи начального курса математики – формирование прочных вычислительных навыков проводится в тесной взаимосвязи с развитием математического мышления младших школьников, их познавательной самостоятельности.

Актуальность темы: представление о понятии целого неотрицательного числа.

Объектом исследования: процесс обучения математике младших школьников.

Предметом исследования: ознакомления с понятием целого неотрицательного числа.

Цель исследования: необходимость использования понятия целого неотрицательного числа в курсе математики, их роль в развитии математического мышления.

Задачи исследования:

Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.
Раскрыть теоретические основы понятия целого неотрицательного числа.

Методы исследования:

Теоретический анализ методической литературы.

Теоретическая часть. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел

1.1. Количественные натуральные числа. Счёт

Определение 1. Отрезком натурального ряда Nа называют множество натуральных чисел, не превосходящих а: Na = (x|x E N,x ≤a}.

Например, отрезок N7 — это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Определение 2. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника — конечное множество, так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т, е. А ~ N3.

Теорема 1. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство. Предположим, что непустое конечное множество А равномощно отрезкам Nа и Nb, a. Тогда по свойству равномощности Nа ~ Nb и a, что противоречит условию a.

Определение 3. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа , то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Из данного определения и теоремы 1 получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = п(А) единственное.

Определение 4. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, — первый; элемент, которому сопоставлено число 2, — второй, и т.д.

Таким образом, введя понятие отрезка натурального ряда, можно показать, что счет элементов конечного множества приводит к количественному натуральному числу.

1.2. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Натуральное число — это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Так как каждый класс конечных равномощных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три», к примеру, можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника.

Итак, натуральное число а как характеристику количества рассматривают с двух позиций:

1) как число элементов в множестве, получаемое при счете;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = п().

Связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать следующее теоретико-множественное определение отношения «меньше»:

«а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Nа является строгим подмножеством отрезка Nв, т.е. а < b NаÌ Nв».

Так, справедливость неравенства 3 < 7 вытекает из того, что {1, 2, 3}Ì{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b».

Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду.

Однако сравнение чисел, особенно небольших,часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами: Натуральное число п меньше натурального числа k, где n = m(A), k = m(B), тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В:

(n < k) → (A~B1, B1 ⊂ B,B1 ≠ B, B1 ≠∅ ).

Например, если 3 — это число квадратов на рис.1, а 7 — число кружков на этом рисунке, то 3 < 7, потому что во втором множестве можно выделить строгое подмножество, равномощное множеству квадратов.

□ □ □

О О О О О О О

Рис. 1

Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из теоретико-множественного определения отношения «меньше»: множество квадратов равномощно отрезку N3, а множество кружков – отрезку N7 и N3 ÌN7.

1.3. Теоретико-множественный смысл суммы

Пример 1: «Петя нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя, кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом (рис. 2).

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить грибы Нины, т. е. объединить два множества грибов и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств.

Пример 2: «Найти число элементов в объединении множеств А = {а, b, c, d} и В = {с, х, у}». Нетрудно установить, что п(А) = 4, п(В ) = 3, АÈВ = {а, b, c, d , х, у}, но n(АÈВ) + 3. Почему так?

Дело в том, что множества А и В в этой задаче пересекаются, и, значит, число элементов в их объединении не совпадает с суммой п(А) + п(В).

Поэтому сумму целых неотрицательных чисел с теоретико-множественных позиций определяют через объединение непересекающихся множеств.

Определение 5. Суммой двух целых неотрицательных чисел п и k, где n = m(A), k = m(B), называют число элементов объединения множеств А и В, при условии, что эти множества не пересекаются:

n + k = m(AUB), A∩B = ∅

Сумма целых неотрицательных чисел всегда существует и единственна. Это утверждение вытекает из существования и единственности объединения двух множеств.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения:

Коммутативность сложения

Коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство:

А ÈВ = В È А.

Действительно, если а = n(А), b=n(В) и А Ç В = Æ, то а + b = n(А ÈВ) = n(В È А) = b + а.

Ассоциативность сложения

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства:(А È В) È С = А È (В È С).

Действительно, если а = n(А), b=n(В), с=n(С) и АÇ В = Æ, В Ç С = Æ, то (а + b) + с =n((А È В) È С) = n((А È (В È С)) = n(А) + n(В È С) = а + (b + с).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении задач определенного вида. Суть решения одной такой задачи рассмотрена в начале пункта 3.

1.4. Теоретико-множественный смысл разности

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется как операция, обратная сложению. Теоретико-множественный смысл разности чисел а и b, если а = n(А), b=n(В), показывает следующая теорема.

Теорема 2. Если А -конечное множество и В — его строгое подмножество, то множество А\В — тоже конечно, причем выполняется равенство:

n(А\В) = n(А) — n(В).

Доказательство. Так как по условию В – строгое подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рис. 3. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов во множестве А можно найти по формуле n(А) = n(В) + n(А\В), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) = n(А) — n(В).

Из рассмотренной теоремы следует:

С теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А.
Для существования разности целых неотрицательных чисел а и b необходимо и достаточно, чтобы ВА, т.е. b.

Можно показать, что если разности целых неотрицательных чисел существует, то она единственна.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.

Пример 3: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В берез, которое является подмножеством множества А, и множество С лип, которое представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и ВÌА, то n(С) = n(А\В) = n(А) —n(В) = 7 – 4.

Разность 7 — 4 — это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 — 4 = 3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Теоретико-множественный смысл отношений «больше на» и «меньше на»

Если n(А) = а, n(В) = b и установлено, что а < b, то, исходя из теоретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество В\В1. Если число элементов во множестве В\В1обозначить через с (с ¹ 0), то во множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов:

n(В) = n(А) + n(В\ В1) или b = а + с,

что означает: а меньше b на с.

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что во множестве В содержится столько элементов, сколько их в А и еще с элементов.

По определению разности: с=b — а.

Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами и числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Пример 4: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. п(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что во множестве В элементов столько же, сколько их в А и еще 2 элемента (рис. 4).

О О О О О (А)

Х Х Х Х Х Х Х (В)

Рис. 4

Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: п(В) = п(В1) + п(В\В1) =5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

Задача 5. «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, n(А)= 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (рис. 5).

О О О О О (А)

Х Х Х (В)

Рис. 5

Таким образом, п(В) = п(А) — п(А\А1) = 5 — 2. Так как 5 – 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

1.5. Теоретико-множественный смысл произведения ЦНЧ

1.5.1. Определение произведения целых неотрицательных чисел как суммы одинаковых слагаемых

Определение 5. Если а, b — целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а × b = а + а + … + а + а, если b > 1;

b слагаемых

2) а× 1 = а, если b = 1;

3) а× 0 = 0, если b = 0.

Теоретико-множественная трактовка случая 1 определения 5:

Произведение а×b представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит а элементов и никакие два из них не пересекаются.

Равенства а× 1 = а и а× 0 = 0 принимаются по определению.

Из этой трактовки следует, что произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равномощных попарно непересекающихся множеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Пример 5: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.

Так как n(А₁)= n(А₂)= n(А₃)=4 множества попарно не пересекаются, то n(А₁È А₂È А₃)= n(А₁)+ n(А₂)+ n(А₃)= 4+4+4=4×3.

Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Поэтому ответ на вопрос задачи — на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

1.5.2. Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств

Пусть даны два множества: А = {a, b, c} и B ={1,2,3,4}. Их декартово произведение запишем в виде матрицы:

В каждой строке все пары имеют одинаковую первую координату, а в каждом столбце одинаковы вторые координаты. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Поэтому в декартовом произведении АВ число элементов равно 3+3+3+3 = 12.

С другой стороны, n(A) = 3, n(B) = 4 и 3 Т.е. число элементов в АВ равно произведению п(А)× п(В).

В общем случае произведение а× b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, и п(В) =b:

а× b = п(А)× п(В) = п(АВ).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения:

Коммутативное свойство

Смысл равенства а× b= b× а состоит в том, что хотя множества АВ и ВА различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества АВ можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества ВА, и каждая пара из множества ВА сопоставляема только одной паре из множества АВ. Значит, п(АВ) = п(ВА) и потому а× b = b× а.

Ассоциативное свойство

Множества А(ВС) и (АВ)С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b,с)) из множества А(ВС) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b),с) из множества (АВ)С, и каждая пара из множества (АВ)С сопоставляется единственной паре из множества А(ВС). Поэтому п(А(ВС))=п((АВ)С) и, следовательно, а(b с) = (а b)с.

1.5.3. Дистрибутивность умножения

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А (В È С)=(А В) È (А С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания — из равенства А (В\С) = (АВ) \ (А С).

Коммутативное и ассоциативное свойства умножения можно распространить на любое число сомножителей. Как и при сложении, эти свойства используются совместно, т.е. произведение нескольких сомножителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Дистрибутивное свойство устанавливает связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этого свойства происходит раскрытие скобок в выражениях вида (a + b)c и (a — b)c, а также вынесение общего множителя за скобки, если выражение имеет вид aс + bс или aс – bс.

В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму одинаковых слагаемых.

1.6. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

С теоретико-множественной точки зрения операция деления ЦНЧ определяется как операция, обратная умножению. Действительно, произведение а × b = с представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся равномощных множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е.

а× b = n(А₁È А₂È … ÈАb), где n(А₁) = n(А₂)=…= n(Аb).

Так как множества попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество А, в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равномощные подмножества А₁, А₂, …, Аb. Тогда частное с:а — это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с :b — число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равномощные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи:

1) отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части);

2) отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач.

Пример 6: «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?».

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равномощных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления – 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи — в каждой коробке по 4 карандаша.

Пример 7: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?».

Выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления — 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи — понадобится 4 коробки.

Всегда ли существует частное ЦНЧ a и b?

Теорема 3. Для существования частного ЦНЧ а, необходимо, чтобы а.

Доказательство. Пусть частное ЦНЧ существует, т.е. существует натуральное число такое, что а = cb. Для любого натурального числа справедливо: 1≤ с. Умножив обе части неравенства на натуральное число b, получим: b ≤ cb. Т.к. а = cb, то а.

Теорема 4. Если частное ЦНЧ а существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим существование двух значений частного ЦНЧ а: а =с1 и а = с2. Тогда по определению частного а = bс1 и а = bс2. Отсюда bс1 = bс2 и с1 = с2.

Случаи деления нуля и деления на нуль

Если делимое а = 0, а делитель , то частное с(по определению) должно удовлетворять условию: cb= 0. Т.к. , то равенство cb= 0 будет выполняться при c = 0. Следовательно, 0
Пусть а 0, а делитель . Предположим, что частное а= с существует. Тогда по определению, а = bс = 0с = 0, что противоречит условию а 0. Значит, частное чисел а 0 и не существует.
Если а = 0 и , то равенство 0 = 0с выполняется при любом с, что противоречит теореме 4. Поэтому в математике считают, что деление 00 также невозможно.

1.6.1. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в» и «меньше в»

Если а = п(А), b = п(В) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b, то во множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству А.

Так как с — это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве — а элементов, то с = b :а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

Пример 8: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растет на участке?».

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что п(А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов во множестве В, т.е. п(В).

Так как во множестве В элементов в 2 раза больше, чем во множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (рис. 6). Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего во множестве В будет 3 + 3 или 3×2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

1.6.2. Теоретико-множественное истолкование деления с остатком

Пример 9: Число 37 не делится на 8, но существуют числа 4 и 5 такие, что 37 = 8 Говорят, что деление 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5.

Определение 6. Разделить натуральное число а на натуральное число b с остатком — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а=bq + r, где 0£r<b.

Из этого определения вытекает особенность остатка: остаток r – это натуральное число, меньшее делителя b. Поэтому при делении целого неотрицательного числа на натуральное число b может получиться b различных остатков: 0,1,2,…, b-1. Например, при делении на 3 возможны остатки: 0,1,2.

Если a < b, то неполное частное q = 0, а остаток r= a, т.е. а=0b + а.

Пусть а=n(А) и множество А разбито на подмножества А1, А2, …, Аq и R так, что подмножества А1, А2, …, Аq равномощны и содержат по b элементов, а подмножество R содержит элементов меньше, чем каждое из подмножеств А1, А2, …, Аq, например, n(R)= r. Тогда, а=bq +r, где 0£r<b.

Таким образом, неполное частное q – это число равномощных подмножеств, в каждом из которых b элементов, в разбиении множества А, а остаток r – это число элементов в подмножестве R.

В начальной школе знакомство с делением с остатком происходит при рассмотрении ситуации, в которой из 9 детей образуются 4 пары и один человек остается без пары, т.е. по сути дела знакомство с неполным частным и остатком происходит на теоретико-множественной основе. Используется такая запись деления с остатком:

9 : 2 = 4 (ост. 1).

Важность деления с остатком заключается в том, что оно лежит в основе алгоритма деления многозначных чисел.

Практическая часть: составление и анализ заданий.

Тема 1: Теоретико-множественный подход в построении целых неотрицательных чисел.

Задание 1. Дано множество С = { -4 5/8; -3; 0; 1/6 ; 8,3; 9; 12}.

Выделите его подмножество, элементами которого являются:

а) натуральные числа;

б) целые числа;

в) четные натуральные числа;

г) целые неотрицательные числа;

д) целые числа, кратные 3;

е) положительные числа.

Ответ:

а) {6,9,12}

б) {−3,0,6,9,12}

в) {6,12}

г) {0,6,9,12}

д) {−3,6,9,12}

е) {6,8.3,9,12}

Задание 2.

Известно, что D – множество деревьев в саду, F – множество фруктовых деревьев в этом саду, K – множество яблонь в этом саду. Установите, каковы отношения между парами этих множеств, если все они не пусты. Изобразите множества D, F, K при помощи кругов Эйлера.

Ответ:

Изобразить множества D, F, K при помощи кругов Эйлера можно следующим образом:

Самый большой круг — это D (все деревья).
Внутри него — круг поменьше — F (фруктовые деревья).
Внутри F — самый маленький круг — K (яблони).

Задание 3.

Даны множества А={a,b,c,d} и В={a,d,r,l,m}. Найдите множества A ∩ B , A∪ B, А\В, В\А.

Решение:

Найдем пересечение множеств A∩B:
- Пересечение множеств A∩B состоит из элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B.
- Сравниваем элементы обоих множеств:
  - a∈A и a∈B
  - b∈A и b∉B
  - c∈A и c∉B
  - d∈A и d∈B
  - r∈B и r∉A
  - l∈B и l∉A
  - m∈B и m∉A
- Таким образом, A∩B={a,d}

Найдем объединение множеств A∪B:
- Объединение множеств A∪B состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
- Собираем все уникальные элементы из обоих множеств:
  - a∈A и a∈B
  - b∈A и b∉B
  - c∈A и c∉B
  - d∈A и d∈B
  - r∈B и r∉A
  - l∈B и l∉A
  - m∈B и m∉A
- Таким образом, A∪B={a,b,c,d,r,l,m}

Найдем разность множеств A∖B:
- Разность множеств A∖B состоит из элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.
- Сравниваем элементы обоих множеств:
  - a∈A и a∈B (не входит в A∖B)
  - b∈A и b∉B (входит в A∖B)
  - c∈A и c∉B (входит в A∖B)
  - d∈A и d∈B (не входит в A∖B)
- Таким образом, A∖B={b,c}

Найдем разность множеств B∖A:
- Разность множеств B∖A состоит из элементов, которые принадлежат множеству B, но не принадлежат множеству A.
- Сравниваем элементы обоих множеств:
  - a∈A и a∈B(не входит в B∖A)
  - d∈A и d∈B (не входит в B∖A)
  - r∈B и r∉A (входит в B∖A)
  - l∈B и l∉A (входит в B∖A)
  - m∈B и m∉A (входит в B∖A)
- Таким образом, B∖A={r,l,m}

Ответ: A∩B={a,d}, A∪B={a,b,c,d,r,l,m}, A∖B={b,c}, B∖A={r,l,m}

Задание 4.

Перечислите элементы декартова произведения множеств А={1,3,5} и В={2,4,6,8}.

Решение:

Для нахождения всех элементов декартова произведения A×B, нужно составить все возможные пары (a,b), где a берется из множества A, а b — из множества B.

Рассмотрим каждый элемент множества A и составим пары с каждым элементом множества B:

Для a=1:

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8)

Для a=3:

(3,2),(3,4),(3,6),(3,8)

Для a=5:

(5,2),(5,4),(5,6),(5,8)

Теперь перечислим все эти пары:

A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8)}

Ответ: {(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8)}

Задание 5.

Даны множества: Х – двузначных чисел, Y – четных натуральных чисел, Р – натуральных чисел, кратных 4. а) укажите характеристическое свойство элементов каждого из множеств А и В, если А=X ∩Y ∩ P, В=Х ∩(Y ∪ P). б) изобразите множества, X,Y,P при помощи кругов Эйлера и покажите области, представляющие множества А и В.

Решение:

Пусть Х = {10; 11; … 99}, Y = {2;4;6; … ;100; … ; 1000;… }, Р = {4; 8; 12; … ; 100;… }.
а) X ∩ Y = {10;12;… 98; 100}. X ∩ Y ∩ P = {12; 16; …; 96;100}. Множество А = {12; 16; 96;100} — двузначные числа, кратные 4.
б) Y ∩ P = {4;8;12;… ; 100;…;1000;…]. B = X ∩ (Y ∩ P) = {12;16;…;96;100} — двузначные числа, кратные 4.

Задание 6.

А – множество натуральных чисел, кратных 7, В – множество натуральных чисел, кратных 3, С – множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества: а) (A∩ B)\ C ; в) A∩C \ B ; б) (A∪ B)\ C ; г) C ∪ B \ A .

Решение:

Рассмотрим каждое множество по отдельности.

а) Множество (A∩B)∖C состоит из чисел, которые одновременно кратны 7 и 3 (то есть кратны 21), но не являются четными. Это числа вида 21⋅(2k+1), где k — натуральное число. То есть, это числа 21,63,105,…

б) Множество (A∪B)∖C состоит из чисел, которые кратны 7 или 3, но не являются четными. Это числа, кратные 7 или 3, но не кратные 2. То есть, это числа вида 7⋅(2k+1), 3⋅(2k+1), 21⋅(2k+1), где k — натуральное число. Это числа 7,21,35,9,15,27,49,63,81,…

в) Множество A∩C∖B состоит из чисел, которые одновременно четные и кратные 7, но не кратны 3. Это числа вида 14⋅k, где k — натуральное число, но 14⋅k не кратно 3. То есть, это числа 14,28,56,98,…

г) Множество C∪B∖A состоит из чисел, которые четные или кратны 3, но не кратны 7. Это числа вида 2⋅k, 3⋅k, где k — натуральное число, но не кратные 7. То есть, это числа 2,4,6,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,69,70,72,… за исключением чисел, кратных 7 и четных (то есть кратных 14).

Ответ:

а) 21,63,105,…

б) 7,9,15,21,27,35,49,63,81,…

в) 14,28,56,98,… г) 2,4,6,8,9,10,12,16,18,20,22,24,26,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,69,70,72,… (исключая числа, кратные 14).

Количественные натуральные числа, счет.

Задание 1.

Множество А вершин треугольника — конечное множество, так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т.е. А ~ N3.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А — множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Количественный счёт помогает ответить на вопрос «Сколько?». При счёте важно начинать с 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды.

Сколько пальцев на двух руках? (Ответ: 10).
Сколько лап у двух кошек? (Ответ: 8).
Сколько хвостов у трёх собак? (Ответ: 3).

Назвать числа по порядку: от 1 до 6, от 2 до 8, от 7 до 3.
Назвать числа, стоящие перед каждым из чисел: 6, 8, 10.
Назвать числа, стоящие в ряду после каждого из чисел: 5, 7, 9.
Назвать соседей числа 5 в ряду.
Назвать число, следующее за числом 4, предшествующее числу 6.

Тема 2. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».

Задание 1.

Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?

Использование картинки позволяет детям лучше понять, что такое 4 предмета. Что это больше, чем 3, и меньше, чем 5 предметов. Наглядность на уроке позволяет качественно и быстро усвоить материал.

Задание 2. Исходя из различных определений отношения «меньше», объясните, почему 2 меньше 5?

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 5 элементов, т.е. n(А) = 2, n(B) = 5. Например, А = {1, 2}, B = {3, 4, 5, 6, 7}. Из множества B можно выделить подмножество В, равномощное множеству А: например: В = {3, 4} и А~В. Согласно определению отношения «меньше», 2 меньше 5.

Задание 3. n(A) = 4 n(B) = 4 Отмечаем множества A и B, что они равномощны, так как по определению 4 = 4 (образовались пары). Между множествами A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, значит множества A и B равномощны.

Ответ:

Если мощность множества A (n(A)) равна мощности множества B (n(B)), то конечные множества A и B равномощны.

Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором любому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Задание 4.

Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи вычитания.

а) В задаче дано два множества: А – множество морковок в корзине, n (A) = 7, В – множество морковок, которые отдали кроликам. В с А, n (B) = 3. Вопрос задачи «сколько морковок осталось?» означает найти количество элементов в дополнении множества В до множества А.

7 – 3 = 4

n (A) = 7

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Пусть B = {1, 2, 3}

Составим дополнение:

B`A = {4, 5, 6, 7}

n (B`A ) = 4

По определению целых неотрицательных чисел:

n (A) – n (B) = n (B`A ) 7- 3 = 4

Ответ: 4 морковки осталось.

б) В задаче дано два множества: А – множество чашек и В – множество стаканов. Известно, что в первом множестве 8 элементов, n (А)= 8. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 3 элемента меньше, чем в первом. Отношение меньше на 3 означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без 3. Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что стаканов на столе столько же, сколько чашек, но без трёх.

Таким образом, n(А) = n(А\А₁) = 8 — 3. Так как 8-3=5, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 5 стаканов.

Тема 3. Теоретико-множественный смысл суммы.

Теоретико-множественный смысл суммы заключается в том, что сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Задание 1.

В ателье работали 23 портнихи, потом на работу приняли ещё 12 портних. Сколько портних теперь работает в ателье?

В задаче рассматриваются три множества: множество А — портнихи, которые работали в ателье с самого начала, множество В — портнихи, которых только что приняли на работу, и их объединение.

Требуется узнать число элементов в этом объединении, которое находится сложением.

Математическая модель задачи:

п(А) = 23, п(В) = 12, А∩В = , то п(А⋃ В) = п(А) + п(В) = 23 + 12.

Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 23 + 12 = 35.

Задание 2.

Ваня купил 35 карандашей и 12 тетрадей. Сколько всего предметов купил Ваня?

В задаче рассматриваются три множества: множество А — карандаши, множество В — тетради и их объединение.

Требуется узнать число элементов в этом объединении, которое находится сложением.

Математическая модель задачи:

п(А) = 35, п(В) = 12, то п(А⋃ В) = п(А) + п(В) = 35 + 12.

Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 35 + 12 = 47.

Тема 4. Теоретико-множественный смысл разности.

Теоретико-множественный смысл разности заключается в том, что разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n(А), b = n(В) и В ⊂ А.

Задание 1.

В столовую привезли 90 кг овощей. В первый день израсходовали 3 ящика по 12 кг, а во второй – 2 ящика по 15 кг. Сколько кг овощей осталось?

В первый день израсходовали 3 ящика по 12 кг. Общее количество овощей, израсходованное в первый день, можно вычислить как:

3×12=36 кг

Во второй день израсходовали 2 ящика по 15 кг. Общее количество овощей, израсходованное во второй день, можно вычислить как:

2×15=30 кг

Теперь найдем общее количество овощей, израсходованное за два дня:

36+30=66 кг

Оставшееся количество овощей можно вычислить как разность между первоначальным количеством и израсходованным:

90−66=24 кг

Ответ: 24 кг овощей осталось.

Задание 2.

Для посадки привезли 100 саженцев. Перед школой посадили 3 ряда саженцев по 14 в каждом, а за школой – 2 ряда по 20 саженцев в каждом. Сколько саженцев осталось?

Сначала определим количество саженцев, посаженных перед школой. Перед школой посадили 3 ряда по 14 саженцев в каждом. Поэтому общее количество саженцев, посаженных перед школой, равно:

3×14=42

Далее определим количество саженцев, посаженных за школой. За школой посадили 2 ряда по 20 саженцев в каждом. Поэтому общее количество саженцев, посаженных за школой, равно:

2×20=40

Теперь найдем общее количество саженцев, которые уже были посажены. Это сумма саженцев, посаженных перед школой и за школой:

42+40=82

Из общего количества саженцев, привезенных для посадки (100 саженцев), вычтем количество уже посаженных саженцев:

100−82=18

Ответ: 18 саженцев.

Задание 3.

У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

Решение:

В задаче рассматриваются три множества:

множество А всех деревьев;

множество В берез, оно является подмножеством множества А;

и множество С лип — оно представляет собой дополнение множества В до А.

В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В⊂А, то n(С) = n(А\В) = = n(А) — n(В) = 7- 4. Разность 7 — 4 — это математическая модель данной задачи.

Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 — 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Тема 5. Теоретико-множественный смысл «меньше на…» и «больше на….».

Теоретико-множественный смысл отношений «меньше на…» и «больше на…» заключается в том, что если есть два множества, то в одном из них содержится столько элементов, сколько в другом, и ещё определённое количество.

Задание 1.

Для школьной столовой засолили огурцы. В первый день засолили огурцы в 5 бочонках, по 18 кг в каждом. Во второй день огурцов засолили на 105 кг больше, чем в первый день. Сколько кг огурцов засолили за два дня?

Решение:

В первый день засолили огурцы в 5 бочонках, по 18 кг в каждом. Сначала найдем количество огурцов, засоленных в первый день:

5×18=90 кг

Во второй день засолили на 105 кг больше, чем в первый день. Следовательно, количество огурцов, засоленных во второй день, будет:

90+105=195 кг

Теперь найдем общее количество огурцов, засоленных за два дня:

90+195=285 кг

Ответ: 285 кг

Задание 2.

С одного опытного участка школьники собрали 4 мешка картофеля, по 50 кг в каждом, а со второго на 110 кг больше, чем с первого. Сколько кг картофеля школьники собрали с двух участков?

Решение:

Сначала найдем количество картофеля, собранного с первого участка. Школьники собрали 4 мешка картофеля, по 50 кг в каждом. Поэтому общее количество картофеля с первого участка будет:

4×50=200 кг

Со второго участка школьники собрали на 110 кг больше, чем с первого. Поэтому количество картофеля со второго участка будет:

200+110=310 кг

Теперь найдем общее количество картофеля, собранного с двух участков. Для этого сложим количество картофеля с первого и второго участков:

200+310=510 кг

Ответ: 510 кг

Задание 3.

Катя знает 7 стихотворений, а Маша выучила на одно стихотворение больше. Сколько стихотворений знает Маша?

Решение:

В задаче два множества — множество стихотворений, которые знает Катя (А) и множество стихотворений, выученных Машей (В).

Известно, что в первом множестве 7 элементов, а во втором на 1 элемент больше. Отношение «на одно больше» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в множестве А, и ещё 1 элемент.

Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 + 1=8. Следовательно, Маша выучила 8 стихотворений.

Тема 6. Теоретико-множественный смысл произведения умножения целых неотрицательных чисел.

Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел заключается в том, что произведение представляет собой число элементов в объединении множеств, каждое из которых содержит по определённое количество элементов и никакие два из них не пересекаются.

Задание 1.

«На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?»

Решение: в задаче речь идёт о трёх множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трёх множеств.

Математической моделью задачи является произведение 4 * 3.

4 * 3 = 12 (п.)

Ответ: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

6.1. Определение произведения целых неотрицательных чисел как суммы одинаковых слагаемых. Теоретико-множественная трактовка.

Если а и b — целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

а × b = а + а + а + … + а (а повторяется b раз), если b больше 1.
а × b = а, если b = 1.
а × b = 0, если b = 0.

Теоретико-множественная трактовка произведения целых неотрицательных чисел заключается в том, что с этой точки зрения произведение представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

Задание 1.

«На одно пальто пришивают 6 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?».

В этой задаче речь идёт о трёх множествах, в каждом из которых 6 элементов. Требуется узнать число элементов в объединении этих трёх множеств. Произведение 6 × 3 является математической моделью данной задачи. 6 × 3 = 18 (п.)

Ответ: на 3 пальто надо пришить 18 пуговиц.

6.2. Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств. Коммуникативное свойство. Ассоциативное свойство. Дистрибутивность умножения.

Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств: произведение двух целых неотрицательных чисел а и b — это целое неотрицательное число с, которое является численностью декартова произведения множеств А и В, где n(A) = a, n(B) = b.

Коммуникативное свойство умножения: а · b = b · a

Ассоциативное свойство умножения: (а · b) · c = a · (b · c) Ассоциативный закон (сочетательный) справедлив для любого количества множителей и используется для упрощения вычислений.

Пример: 125 ∙ (7 ∙ 8) = (125 ∙ 8) ∙ 7 = 1000 ∙ 7 = 7000.

Дистрибутивное свойство умножения: (a + b) · c = a · c + b · c

Задание 1.

«На одно пальто пришивают 8 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 5 таких пальто?»

В задаче речь идёт о трёх множествах, в каждом из которых 8 элементов. Требуется узнать число элементов в объединении этих пяти множествах.

Если n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 ∪ А2 ∪ А3) = n(А1) + n (А2) + n(А3) = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 5. Произведение 8 · 5 является математической моделью данной задачи.

8 · 5 = 40 (п.)

Ответ: на 5 пальто надо пришить 40 пуговиц.

Тема 7. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел заключается в том, что деление чисел связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. С помощью деления можно решить две задачи: найти число элементов в каждом подмножестве (деление на равные части) и число таких подмножеств (деление по содержанию).

Задание 1.

«12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?».

Решение:

В задаче рассматривается множество из 12 элементов, которое разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления:

12 : 3 = 4 (к.)

Ответ: в каждой коробке по 4 карандаша.

Задание 2.

«Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям — Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик?».

Решение:

В задаче рассматривается множество из 15 элементов — орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, так как мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления:

15 : 3 = 5 (ор.)

Ответ: каждый мальчик получил по 5 орехов.

Задание 3.

«Доктор раздал 12 таблеток витаминов по 3 каждому ребёнку. Сколько детей получили таблетки витаминов?»

Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления:

12 : 3 = 4 (р.)

Ответ: таблетки получили четыре ребёнка.

Случаи деления нуля и деления на нуль.

Деление нуля: при делении нуля на любое другое число получается нуль.

Например: 0:5 = 0 (нужно найти число, при умножении которого на 5 получится 0, это число — 0).

Деление на нуль: делить на нуль нельзя.

Например: 5:0 (нельзя подобрать такое число, при умножении которого на 0 получится 5).

Задание 1.

Решение числовых выражений. Например, нужно решить числовые выражения, учитывая правило: если делимое равно нулю, то частное равно нулю.

(30 – 3 · 10) : 5 = 0 (26 – 17) : 0 = (на 0 делить нельзя)

0 : 5 = 0

Решение задач. Например, нужно решить задачу, в которой нужно узнать, сколько всего кг муки, если известно, что она находится в 9 пакетах.

9 : 0 = 0 (кг)

Составление уравнений. Например, нужно составить уравнение с решением х = 0

(х · 5 = 0).

7.1. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в…» и «меньше в….».

Теоретико-множественный смысл отношений «больше в…» и «меньше в…» заключается в возможности определить, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

Задания.

Скворец принёс скворчатам в гнездо 9 червяков, это в 3 раза больше, чем гусениц. Сколько гусениц принёс скворец?

9 : 3 = 3 (г.)

Ответ: скворец принёс 3 гусеницы.

На полке стояло 7 книг со стихами, а со сказками в 4 раза больше. Сколько книг со сказками стояло на полке?

7 · 4 = 28 (кн.)

Ответ: 28 книг со сказками стояло на полке.

В вазе было 9 гвоздик, а роз в 3 раза больше. Сколько роз было в вазе?

9 · 3 = 27 (р.)

Ответ: 27 роз было в вазе.

В первой вазе было 27 цветов, а во второй в 3 раза меньше. Сколько цветов во второй вазе?

27 : 3 = 9 (цв.)

Ответ: 9 цветов во второй вазе.

Юля в первый день прочитала 32 страницы, а во второй день в 4 раза меньше. Сколько страниц прочитала Юля во второй день?

32 : 4 =8 (стр.)

Ответ: во второй день Юля прочитала 8 страниц.

Вася прочитал 45 страниц, а Маша в 5 раз меньше. Сколько страниц прочитала Маша?

45 : 5 = 9 (стр.)

Ответ: 9 страниц прочитала Маша.

На тарелке лежало 36 пирожков с мясом, а с яблоками в 6 раз меньше. Сколько пирожков с яблоками лежало на тарелке?

36 : 6 = 6 (п.)

Ответ: 6 пирожков с яблоками лежало в тарелке.

Теоретико-множественное истолкование деления с остатком.

Теоретико-множественное истолкование деления с остатком заключается в том, что при делении целое неотрицательное число на натуральное число множество разбивается на попарно пересекающиеся подмножества, в каждом из которых будет по делителю элементов, и выделяется ещё одно подмножество, которое содержит остаток элементов.

Некоторые примеры заданий по теме «Деление с остатком»:

Определить, верно ли выполнено деление с остатком.

Например: 18:8 = 1 (ост. 10)

68:7 = 9 (ост. 3)

2:7 = 0 (ост. 2)

Составить пример на деление с остатком.

Например, если делимое 36, а остаток 1

36 : 7 = 5 (ост. 1) – ответ

Придумать такой пример на деление с остатком, чтобы остаток был равен 3

15 : 4= 3 (ост. 3).

Составить пример на деление с остатком, если делимое 52, а частное 7:

52 : 7= 7 (ост. 3).

Составить пример на деление с остатком, если делимое 46, частное 5 и остаток 1:

46 : 9 = 5 (ост. 1).

Составить пример на деление с остатком, если делитель 8, частное 9, а остаток 7:

79 : 8 = 9 (ост. 7)

3.Самостоятельные работы

Самостоятельная работа на тему: «Теоретико-множественный подход в построении целых неотрицательных чисел. Количественные натуральные числа, счет».

1-вариант

Задание 1. Изобразите следующие множества геометрически: а) A∪B, б) A∩B, в) A\ B, г) B \ A, д) A∪ B, е) A∩ B, ж) A∪ B, з) A∩ B, если А= [1;3) , В= (−1;2].

Ответ:

Решим данную задачу, изобразив множества A и B на координатной прямой и определив их объединение, пересечение и разности.

Множество A = (0; 5) представляет собой открытый интервал от 0 до 5, то есть все числа между 0 и 5, не включая сами 0 и 5. На координатной прямой это будет выглядеть как линия между 0 и 5 с пустыми кружками на концах.

Множество B = [-2; 1] представляет собой закрытый интервал от -2 до 1, то есть все числа между -2 и 1, включая сами -2 и 1. На координатной прямой это будет выглядеть как линия между -2 и 1 с закрашенными кружками на концах.

Теперь определим следующие множества:

A ∪ B (Объединение A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим множествам. В данном случае, это интервал от -2 до 5, включая -2, но не включая 5.

Изобразим это на координатной прямой:

—-[−2)—-(0)—-[1)—-(5)—-> X

Таким образом, A ∪ B = [-2; 5)

A ∩ B (Пересечение A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат как A, так и B. В данном случае, это интервал от 0 до 1, включая 1, но не включая 0.

Изобразим это на координатной прямой:

—-(0)—-[1]—-> X

Таким образом, A ∩ B = (0; 1]

A B (Разность A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат A, но не принадлежат B. В данном случае, это интервал от 1 до 5, не включая 1 и 5.

Изобразим это на координатной прямой:

—-(1)—-(5)—-> X

Таким образом, A \ B = (1; 5)

B A (Разность B и A): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат B, но не принадлежат A. В данном случае, это интервал от -2 до 0, включая -2, но не включая 0.

Изобразим это на координатной прямой:

—-[-2)—-(0)—-> X

Таким образом, B \ A = [-2; 0)

Ответы:

A ∪ B = [-2; 5)
A ∩ B = (0; 1]
A \ B = (1; 5)
B \ A = [-2; 0)

Задание 2. Проверьте равенства множеств, используя круги Эйлера: A\ B = (A∪B)\ B.

Ответ:

Для проверки равенства множеств A∖B=A∖(A∩B) с помощью кругов Эйлера, рассмотрим каждое множество по отдельности.

Прежде всего, стоит отметить, что A∖B– это множество элементов, которые принадлежат множеству *A*, но не принадлежат множеству *B*.

Теперь рассмотрим множество A∖(A∩B). Здесь у нас есть пересечение множеств *A* и *B*, которое обозначается A∩B. Это множество содержит элементы, которые одновременно принадлежат и *A*, и *B*.

Затем мы берем множество *A* и удаляем из него все элементы, которые принадлежат A∩B. Другими словами, мы удаляем из *A* все элементы, которые также есть в *B*.

Таким образом, A∖(A∩B) содержит элементы, которые принадлежат *A*, но не принадлежат *B*, что точно соответствует определению A∖B.

Следовательно, равенство A∖B=A∖(A∩B) верно.

Задание 3. Из 1000 студентов, занимающихся естественными науками, 630 посещают спецкурс по биологии, 390 – по химии и 720 – по математике. 440 посещают и математику, и биологию, 250 – и математику, и химию, и 200 – и биологию, и химию. 130 студентов посещают лекции по всем предметам. Сколько из 1000 студентов не посещают ни математики, ни биологии, ни химии?

Решение:

440-130=310 — только М+Б
250-130=120 — только М+Х
200-130=70 — только Б+Х

630-130-310-70=120 только Б
390-130-120-70=70 только Х
720-130-310-120=160 только М

130+310+120+70+120+70+160=880 — что-то посещают
1000-880=120 — ничего не посещают

Ответ: 120 студентов не посещают М, Х и Б.

математика

биология

химия

Задание 4. Определить закономерность и продолжить числовой ряд на четыре числа: 1; 4; 9; 16….

Решение:

Рассмотрим данный числовой ряд: 1; 4; 9; 16….

Начнем с анализа первых нескольких членов ряда:
- Первый член: 1=12
- Второй член: 4=22
- Третий член: 9=32
- Четвертый член: 16=42
Из этого можно сделать вывод, что каждый член ряда является квадратом натурального числа, равного номеру этого члена в ряду.
Продолжим ряд на четыре числа, используя эту закономерность:
- Пятый член: 52=25
- Шестой член: 62=36
- Седьмой член: 72=49
- Восьмой член: 82=64

Ответ: 25; 36; 49; 64

Задание 5. В квадратном зале расставьте 10 стульев так, чтобы возле каждой стены было равное количество стульев.

Решение:

Поставить по два стула у каждой стены.
Оставшиеся два стула поставить в противоположные углы по диагонали.

2-вариант

Задание 1. Изобразите следующие множества геометрически: а) A∪B, б) A∩B, в) A\ B, г) B \ A, д) A∪ B, е) A∩ B, ж) A∪ B, з) A∩ B, если А= (0;5) , В= [− 2;1].

Решение:

Теперь определим следующие множества:

A ∪ B (Объединение A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат либо A, либо B, либо обоим множествам. В данном случае, это интервал от -2 до 5, включая -2, но не включая 5.

Изобразим это на координатной прямой:

—-[−2)—-(0)—-[1)—-(5)—-> X

Таким образом, A ∪ B = [-2; 5)

A ∩ B (Пересечение A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат как A, так и B. В данном случае, это интервал от 0 до 1, включая 1, но не включая 0.

Изобразим это на координатной прямой:

—-(0)—-[1]—-> X

Таким образом, A ∩ B = (0; 1]

A B (Разность A и B): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат A, но не принадлежат B. В данном случае, это интервал от 1 до 5, не включая 1 и 5.

Изобразим это на координатной прямой:

—-(1)—-(5)—-> X

Таким образом, A \ B = (1; 5)

B A (Разность B и A): Это множество содержит все элементы, которые принадлежат B, но не принадлежат A. В данном случае, это интервал от -2 до 0, включая -2, но не включая 0.

Изобразим это на координатной прямой:

—-[-2)—-(0)—-> X

Таким образом, B \ A = [-2; 0)

Ответы:

A ∪ B = [-2; 5)
A ∩ B = (0; 1]
A \ B = (1; 5)
B \ A = [-2; 0)

Задание 2. Проверьте равенства множеств, используя круги Эйлера: A\ B = A\(A∩B).

Решение:

Следовательно, равенство A∖B=A∖(A∩B) верно.

Задание 3. Из 170 спортсменов 70 занимаются футболом, 95 – хоккеем и 80 – теннисом. 30 занимаются и футболом, и хоккеем, 35 – и футболом, и теннисом, 15 – и хоккеем, и теннисом. 5 занимаются всеми 3 видами спорта. Сколько занимаются ровно 2 видами спорта?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом включений-исключений и обозначим:

A — множество спортсменов, занимающихся футболом,
B — множество спортсменов, занимающихся хоккеем,
C — множество спортсменов, занимающихся теннисом.

Из условия задачи известно:

∣A∣=70
∣B∣=95
∣C∣=80
∣A∩B∣=30
∣A∩C∣=35
∣B∩C∣=15
∣A∩B∩C∣=5

Требуется найти количество спортсменов, занимающихся ровно двумя видами спорта. Это можно выразить как:

∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣B∩C∣−3∣A∩B∩C∣

Подставим известные значения:

30+35+15−3⋅5=75.

Ответ: 75 спортсменов занимаются ровно 2 видами спорта.

Задание 4. Дан ряд чисел: 456789456789. Вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим из возможных.

Решение:

Рассмотрим ряд чисел: 456789456789.

Начнем с самого левого числа. Если мы оставим 4, то следующая цифра 5 может быть использована для увеличения числа, если мы оставим 5, то следующая цифра 6 также может быть использована для увеличения числа, и так далее. Однако, если мы увидим, что последующие цифры меньше текущей, то мы можем начать удалять цифры, чтобы увеличить значение числа.
Посмотрим на первые несколько цифр: 456789. Если мы оставим 4, то следующая цифра 5 может быть использована для увеличения числа, если мы оставим 5, то следующая цифра 6 также может быть использована для увеличения числа, и так далее. Однако, если мы увидим, что последующие цифры меньше текущей, то мы можем начать удалять цифры, чтобы увеличить значение числа.
В данном ряде все цифры в каждом блоке 456789 одинаковы, поэтому мы можем удалить 10 цифр, чтобы оставить наибольшее возможное число. Для этого мы можем удалить все цифры, кроме последних 10 цифр, чтобы оставить наибольшее возможное число.
Если мы удалим первые 10 цифр, то останется число 789. Однако, это не максимальное число, так как мы можем оставить больше цифр, если будем удалять цифры, которые уменьшают значение числа.
Правильное решение будет удалить цифры таким образом, чтобы оставить наибольшее возможное число. Например, если мы удалим цифры 456789, то останется число 894567, которое является наибольшим возможным числом после удаления 10 цифр.

Таким образом, наибольшее возможное число после удаления 10 цифр будет 894567.

Ответ: 894567

Задание 5. В мешке лежат кубики трех разных цветов. Какое наименьшее количество кубиков надо достать из мешка, чтобы хотя бы два кубика оказались одного цвета.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом Дирихле, который гласит, что если n+1 предмет распределен по n ящикам, то хотя бы в одном ящике окажется более одного предмета.

В данном случае, «ящики» — это цвета кубиков, а «предметы» — это сами кубики. Если мы достанем по одному кубику каждого цвета, то у нас будет по одному кубику каждого из трех цветов. Если достать еще один кубик, то он обязательно будет того же цвета, что и один из уже доставшихся кубиков.

Достаем по одному кубику каждого цвета. Это значит, что мы достали 3 кубика, и каждый из них разного цвета.
Достаем еще один кубик. Этот кубик обязательно будет того же цвета, что и один из уже доставшихся кубиков.

Таким образом, чтобы гарантированно достать хотя бы два кубика одного цвета, нужно достать 3+1=4 кубика.

Ответ: 4 кубика.

Самостоятельная работа на тему: Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Задание 1. Явное построение

Выпишите явный вид (как множества) для следующих чисел:

a) 0

б) 1

в) 2

г) 3

д) 4

Вопрос для размышления: Что представляет собой множество, соответствующее числу 4? Сколько в нём элементов?

Решение:

а) Число 0 можно представить как множество, содержащее только элемент 0: {0}

б) Число 1 можно представить как множество, содержащее только элемент 1: {1}

в) Число 2 можно представить как множество, содержащее только элемент 2: {2}

г) Число 3 можно представить как множество, содержащее только элемент 3: {3}

д) Число 4 можно представить как множество, содержащее только элемент 4: {4}

Вопрос для размышления: Множество, соответствующее числу 4, представляет собой множество, содержащее только один элемент, который равен 4. В этом множестве всего один элемент.

Ответ: а) {0} б) {1} в) {2} г) {3} д) {4}.

В множестве, соответствующем числу 4, один элемент.

Задание 2. Используя определение 0 = ∅, докажите, что для любого натурального числа n ∈ ω выполняется 0 ⊆ n. (Напомним: A ⊆ B, если каждый элемент A является элементом B).

Что это свойство означает с точки зрения порядка на натуральных числах?

Решение:

Натуральные числа могут определяться, например, как числа, возникающие при подсчёте предметов: первый, второй, третий, четвёртый, пятый…. Или как числа, которые обозначают количество предметов: 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов….

Согласно теории множеств, натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

0 = ∅.
S(n) = n ∪ {n}.

С точки зрения порядка на натуральных числах под естественным порядком на множестве натуральных чисел (N) понимают отношение <. Для всех n, m ∈ N выполняются, например, такие свойства:

¬n < 0.
m < n + 1 ↔ (m < n ∨ m = n).

При этом единого мнения о том, следует ли считать ноль натуральным числом, среди математиков нет. В некоторых источниках ноль исключён из числа натуральных чисел, в других, наоборот, считается, что он входит в расширенный натуральный ряд

Задание 3.

Определение: Будем говорить, что число m меньше числа n (обозначается m < n), если m ∈ n.

Решение:

Что означает это определение?

Натуральные числа как множества: В основе этого определения лежит представление фон Неймана для натуральных чисел, где каждое число — это множество всех предыдущих чисел:
- 0 = ∅ (пустое множество)
- 1 = {0} = {∅}
- 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
- 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
- n = {0, 1, 2, …, n-1}
Отношение принадлежности (∈) как отношение порядка: В этом конструировании отношение m ∈ n идеально соответствует интуитивному понятию m < n. Почему?
- Посмотрите на пример: 2 = {0, 1}. Элементами множества 2 являются 0 и 1. Это в точности все числа, меньшие 2.
- Аналогично, 3 = {0, 1, 2}. Элементами являются 0, 1, 2 — все числа, меньшие 3.

Таким образом, утверждение m ∈ n фактически означает, что m является одним из «предшественников» числа n, то есть m меньше n.

Свойства, вытекающие из этого определения

Используя аксиомы теории множеств, из определения m < n ⇔ m ∈ n можно строго вывести все привычные свойства строгого порядка:

Транзитивность: Если k < m и m < n, то k < n.
- Доказательство: k < m означает k ∈ m. m < n означает m ∈ n. Поскольку n — транзитивное множество (в стандартном построении фон Неймана), из m ∈ n и k ∈ m следует k ∈ n, то есть k < n.
Антисимметричность: Невозможно, чтобы одновременно m < n и n < m. Это следует из аксиомы фундирования (основания).
Линейность (трихотомия): Для любых двух натуральных чисел m и n выполняется ровно одно из трёх: m < n, m = n или n < m.

Примеры

Верно ли, что 1 < 3?
- Проверяем по определению: 1 ∈ 3?
- 3 = {0, 1, 2}. Число 1 является элементом этого множества? Да, 1 ∈ {0, 1, 2} верно.
- Следовательно, 1 < 3 верно.
Верно ли, что 2 < 2?
- Проверяем: 2 ∈ 2?
- 2 = {0, 1}. Является ли 2 элементом самого себя? Нет, 2 ∉ {0, 1}.
- Следовательно, 2 < 2 ложно.
Верно ли, что 3 < 2?
- Проверяем: 3 ∈ 2?
- 2 = {0, 1}. Число 3 не является элементом этого множества. 3 ∉ {0, 1}.
- Следовательно, 3 < 2 ложно.

Вывод: Данное вами определение m < n ⇔ m ∈ n является корректным, элегантным и фундаментальным. Оно позволяет свести понятие порядка на натуральных числах к первичному понятию теории множеств — отношению принадлежности.

Задание 3.1. Проверка на примерах

Используя данное определение и результаты

Задания 1.1, проверьте истинность следующих утверждений:

a) 0 < 2

б) 1 < 3

в) 2 < 2 (ложно)

г)1 < 0 (ложно)

Для каждого случая дайте объяснение, ссылаясь на принадлежность элементов множествам.

Решение:

Напомним представление чисел:

0=∅
1={0}={∅}
2={0,1}={∅,{∅}}
3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

a) 0<2

Проверка: Согласно определению, 0<2 истинно, если 0∈2

Множество 2={0,1}
Является ли 00 элементом этого множества? Да, 00 — это первый элемент множества 2.

Вывод: Так как 0∈2, утверждение 0<2 истинно.

б) 1<3

Проверка: Утверждение 1<3 истинно, если 1∈3.

Множество 3={0,1,2}
Является ли 1 элементом этого множества? Да, 1 — это второй элемент множества 3.

Вывод: Так как 1∈3, утверждение 1<3 истинно.

в) 2<2

Проверка: Утверждение 2<2 истинно, если 2∈2

Множество 2={0,1}
Является ли 2 элементом этого множества? Нет. Элементами множества 2 являются только 0 и 1. Само множество 2 не содержится в себе как элемент.

Вывод: Так как 2∉2, утверждение 2<2 ложно. Это согласуется с тем, что отношение порядка < является строгим (никогда x<x не бывает истинным).

г) 1<0

Проверка: Утверждение 1<0 истинно, если 1∈0

Множество 0=∅ (пустое множество).
Является ли 1 элементом этого множества? Нет, в пустом множестве нет никаких элементов.

Вывод: Так как 1∉0, утверждение 1<0 ложно. Это также логично: ноль является наименьшим натуральным числом, и ни одно число не может быть меньше нуля.

Задание 3.2. Связь с «меньше или равно»

Естественно определить, что m ≤ n тогда и только тогда, когда m < n или m = n.

Покажите, что для любых m, n ∈ ω следующие утверждения эквивалентны:

m ≤ n
m ⊆ n

(Указание: Вспомните, что по построению n = {0, 1, 2, …, n-1}. Что означает m ⊆ n в этом контексте?)

Решение:

Напомним:

m<n ⟺ m∈n
m≤n ⟺ m<n или m=n
n={0,1,2,…,n−1} (множество всех меньших чисел)

Доказательство эквивалентности m≤n ⟺ m⊆n

Будем доказывать две импликации.

Импликация 1: Если m≤n, то m⊆n

Рассмотрим два случая, исходя из определения m≤n

Случай 1: m=n
Если m=n, то очевидно, что m⊆n (каждое множество является своим подмножеством).

Случай 2: m<n
Если m<n, то по определению m∈n
Но n={0,1,2,…,n−1}. По построению фон Неймана, если k∈n, то k⊂n.

Почему? Потому что если k∈n то k — это одно из чисел от 0 до n−1. А каждое такое число k само является множеством k={0,1,…,k−1}. Все элементы этого множества также являются элементами n (поскольку k−1<k<n). Следовательно, k⊆n

Более формально: пусть x — произвольный элемент m. Так как m∈n, то m — натуральное число, меньшее n. Любой элемент x∈m является натуральным числом, меньшим m (по тому же свойству: x∈m ⟹ x<m). Из транзитивности отношения < (которое в модели фон Неймана соответствует транзитивности отношения принадлежности ∈) следует, что если x<m и m<n, то x<n, а значит, x∈n.

Поскольку x был произвольным, мы показали, что ∀x(x∈m ⟹ x∈n), что и означает m⊆n.

Таким образом, в обоих случаях (m=n или m<n) мы получаем m⊆n.

Импликация 2: Если m⊆n, то m≤n

Здесь нам нужно показать, что из m⊆n следует m<n или m=n.

Предположим, что m⊆n.

Рассмотрим число m. По построению, m={0,1,…,m−1}.

Если m=n, то доказывать нечего, условие m≤n выполнено.

Предположим, что m≠n. Так как m⊆n, но m≠n, существует некоторый элемент k∈n, такой что k∉m (иначе n было бы подмножеством m, и учитывая m⊆n, это дало бы m=n).

Теперь, n — это натуральное число, множество всех меньших чисел, и оно вполне упорядочено отношением ∈ (которое соответствует <). Рассмотрим наименьший элемент k0 в множестве n∖m (разность множеств).

Утверждение: m=k0

Покажем, что m⊆k0. Возьмем любой x∈m. Так как m⊆n, то x∈n. Числа x и k0 оба лежат в n. Мы знаем, что k0 — наименьший элемент, не принадлежащий m. Если бы x не был меньше k0 (т.е. x∉k0), то по трихотомии (свойству линейного порядка) либо k0∈x, либо k0=x. Но k0∉m, а x∈m, и m — транзитивное множество (элемент элемента сам является элементом), поэтому k0∈x∈m привело бы к k0∈m, что ложно. Случай k0=x также невозможен, т.к. x∈m, а k0∉m. Значит, должно быть x∈k0. Так как x произвольный, m⊆k0.
Покажем, что k0⊆m. Возьмем любой x∈k0. Так как k0∈n, то x∈k0∈n implies x∈n (транзитивность n). По минимальности k0 (как наименьшего элемента не из m), любой элемент x<k0 должен принадлежать m (иначе мы нашли бы элемент меньше k0, не лежащий в m). Следовательно, x∈m. Так как x произвольный, k0⊆m.

Из m⊆k0 и k0⊆m следует m=k0.

Но k0∈n по нашему выбору. Следовательно, m∈n, что означает m<n.

Заключение

Мы доказали обе импликации:

m≤n ⟹ m⊆n
m⊆n ⟹ m≤n

Следовательно, утверждения m≤n и m⊆n эквивалентны для любых натуральных чисел m,n∈ω в построении фон Неймана.

Задание 3.3. Транзитивность

Докажите, что отношение «меньше» (<) является транзитивным.

То есть, докажите, что если a < b и b < c, то a < c для любых a, b, c ∈ ω.

(Указание: Вспомните, что из a ∈ b и b ∈ c напрямую не следует a ∈ c. Вам потребуется использовать индукцию или свойство цепной принадлежности множества ω).

Решение:

в общем случае принадлежность не транзитивна. Но в специально построенном множестве натуральных чисел ω (по фон Нейману) оно обладает свойством транзитивности как множество.

Ключевое свойство: Множество ω является транзитивным множеством. Это значит:
если y∈x и x∈ω, то y∈ω.
Более того, каждое натуральное число n∈ω также транзитивно: если x∈y и y∈ny, то x∈n.

Доказательство транзитивности отношения <<

Пусть a,b,c∈ω и a<b, b<c.
По определению <<, это означает:

a∈b, b∈c.

Шаг 1.
Число c — натуральное, c∈ω
В построении фон Неймана каждое натуральное число транзитивно как множество:

∀x,y (x∈y∈c ⟹ x∈c).

Это можно доказать по индукции, но принимаем как известный факт для натуральных чисел.

Шаг 2.
Применим это к a∈b и b∈c:
из a∈b и b∈c следует a∈c.

Шаг 3.
По определению отношения <, a∈c означает a<c.

Таким образом, a<b и b<c влечёт a<c.
Что и требовалось доказать.

Пояснение к транзитивности чисел:
Индуктивное доказательство транзитивности всех n∈ω:

База: n=0 (пустое множество) — транзитивно тривиально.
Шаг: предположим n транзитивно. Рассмотрим n+1=n∪{n}
Пусть x∈y и y∈n+1.
Тогда y∈n или y=n.
Если y∈n, то по предположению индукции (n транзитивно) x∈n⊂n+1
Если y=n, то x∈n⊂n+1
В обоих случаях x∈n+1
Значит, n+1 транзитивно.

Задание 4. «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?».

Решение:

В задаче речь идёт о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, то есть n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нём на 2 элемента меньше, чем в первом.

Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А) — n(А \ А1) = 5 — 2.

Так как 5 — 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

Задание 5. «На верхней полке шкафа 5 книг, а на нижней – на 2 больше. Сколько книг на нижней полке?».

Решение:

В задаче идёт речь о двух множествах: множестве книг на верхней полке (А) и множестве книг на нижней полке (В). Число элементов множества требуется найти при условии, что в нём на 2 элемента больше, чем в первом.

Отношение «больше на» означает, что в множестве В столько же элементов, сколько их в А, да ещё 2 элемента.

Самостоятельная работа на тему: «Теоретико-множественный смысл суммы»

Задание 1. Дайте определение понятию «сумма натуральных чисел а и b» с теоретико-множественных позиций.

В рамках теоретико-множественного подхода, в частности при построении натуральных чисел по фон Нейману, сумма натуральных чисел определяется рекурсивно через операцию следования (S(n)=n∪{n}).

Рекурсивное определение сложения

Для любых a,b∈ω:

Базис рекурсии (фиксация a, b=0):

a+0=a

Рекурсивный шаг (фиксация a, переход от b к S(b)):

a+S(b)=S(a+b)

где S(b)— следующее за b число ( b+1).

Обоснование с теоретико-множественной точки зрения

Число 0 — это пустое множество ∅.
Функция следования S — это отображение, задающее переход к следующему числу: S(n)=n∪{n}. Например:
- S(0)=0∪{0}=∅∪{∅}={∅}=1S
- S(1)=1∪{1}={∅}∪{{∅}}={∅,{∅}}=2

Определение сложения фиксирует первый аргумент a и рекурсивно раскрывает второй аргумент b, сводя сложение к многократному применению функции следования.

Пример: 2+2

По определению:

2+0=22+1=2+S(0)=S(2+0)=S(2)=32+2=2+S(1)=S(2+1)=S(3)=42+02+1=2+S(0)2+2=2+S(1)=2=S(2+0)=S(2)=3=S(2+1)=S(3)=4

Связь с теорией множеств

Хотя прямо «взять и объединить» множества a и b для получения их суммы нельзя (это дало бы не то число), рекурсивное определение использует мощность (количество элементов) в косвенном смысле:

a+b — это число, получаемое, если к множеству мощности a добавить множество мощности b (не пересекающееся с первым), и взять мощность объединения.
Рекурсия формально реализует эту идею: каждое прибавление 1 (т.е. применение S) соответствует добавлению одного нового элемента.

Таким образом, сумма a+b в теоретико-множественной трактовке — это натуральное число, определяемое рекурсией по второму аргументу через операцию следования, что соответствует интуиции последовательного счёта.

Задание 2. Что означает понятие «конечное множество»?

Множество, количество элементов которого конечно.
Множество, не являющееся конечным.
Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество.

Решение:

Правильный ответ — C.

Подробное объяснение:

В теоретико-множественном и математическом контексте простое указание «количество элементов которого конечно» (вариант A) является интуитивно верным, но не строгим определением, так как оно опирается на неопределённое понятие «конечности количества».

Строгое определение выглядит следующим образом:

Конечное множество — это множество, которое является пустым или равномощным некоторому отрезку натурального ряда.

Что такое «отрезок натурального ряда»?

Это множество всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа n. Обозначается часто как {1,2,3,…,n}.

Если множество A можно поставить во взаимно однозначное соответствие (биекцию) с отрезком {1,2,…,n}, то оно конечно и имеет количество элементов n.
Пустое множество ∅ по соглашению также считается конечным (ему можно сопоставить отрезок с n=0).

Примеры:

Множество {a,b,c}конечно, так как оно равномощно отрезку {1,2,3}
Множество натуральных чисел N не является конечным, так как для любого n оно не равномощно отрезку {1,2,…,n}

Почему другие варианты неверны:

A: Хотя это описание верно по смыслу, оно не является формальным математическим определением, так как понятие «конечное количество» само требует определения. Вариант C дает именно такое формальное определение.
B: Это определение бесконечного множества.

Задание 3. Дайте определения операциям «пересечение» и «объединение» над множествами.

Определения операций над множествами

Пересечение множеств

Пересечением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.

Обозначение: A∩B

Формальная запись (с помощью характеристического свойства):

A∩B={x∣x∈A и x∈B}

Пример:

A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6}
A∩B={3,4}

Графическая иллюстрация: На диаграммах Эйлера-Венна пересечение — это общая, перекрывающаяся часть кругов, изображающих множества A и B

Объединение множеств

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Обозначение: A∪B

Формальная запись (с помощью характеристического свойства):

A∪B={x∣x∈A или x∈B}

(В математической логике «или» здесь понимается в не исключающем смысле, то есть элемент может принадлежать обоим множествам).

Пример:

A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6}

Графическая иллюстрация: На диаграммах Эйлера-Венна объединение — это вся площадь, охватываемая обоими кругами.

Краткое резюме

Пересечение (∩) — это операция «И»: элементы должны быть в A и в B.
Объединение (∪) — это операция «ИЛИ»: элементы должны быть в A или в B.

Задание 4. Установите соответствие между коммутативностью, ассоциативностью сложения и их равенством

*А. Коммутативность сложения*	1. (А ⋃ В) ⋃ С=А ⋃ (В ⋃ С)
*Б. Ассоциативность сложения*	2. А ⋃ В = В ⋃ А

Решение:

Коммутативность (переместительное свойство) означает, что от перестановки слагаемых (или множеств) результат не меняется.
В теории множеств это свойство объединения: A∪B=B∪A
Ассоциативность (сочетательное свойство) означает, что порядок выполнения операций не влияет на результат, когда операция одна и та же.
В теории множеств для объединения: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

Задание 5. Дайте определение понятию «сложение».

Определение сложения зависит от контекста (математического или бытового), но в своей основе это одна из основных арифметических операций.

Общее (бытовое) определение

Сложение — это математическая операция, позволяющая объединить два или более количества (числа, величины) в одно целое, называемое суммой.

Элементы операции: слагаемые (объединяемые числа) и сумма (результат).
Обозначение: знаком «+» (плюс).

Пример: 2+3=5. Здесь 2 и 3 — слагаемые, 5 — сумма.

Строгое математическое определение

В рамках формальной арифметики (например, аксиоматики Пеано) сложение натуральных чисел определяется рекурсивно через операцию следования S(n) (перехода к следующему числу):

Для любых натуральных чисел a и b:

Базис: a+0=a
Рекурсивный шаг: a+S(b)=S(a+b)

Это определение формализует интуитивное представление о том, что прибавить к числу a число b — значит применить к a операцию следования b раз.

Пример: 2+2

2+0=2 (по базису)
2+1=2+S(0)=S(2+0)=S(2)=3 (по шагу)
2+2=2+S(1)=S(2+1)=S(3)=4 (по шагу)

Теоретико-множественное определение

С точки зрения теории множеств, сложение натуральных чисел тесно связано с объединением непересекающихся множеств.

Если даны два непересекающихся конечных множества A и B, то суммой чисел a=∣A∣ и b=∣B∣ (где ∣X∣— мощность множества X) называется мощность их объединения:

a+b=∣A∪B∣,при условии, что A∩B=∅

Это определение напрямую связывает арифметическую операцию с операцией над множествами.

Ключевые свойства сложения

Коммутативность (переместительный закон): a+b=b+a
Ассоциативность (сочетательный закон): (a+b)+c=a+(b+c)
Существование нейтрального элемента (нуля): a+0=0+a=a

Итог: Сложение — это фундаментальная математическая операция, которая может быть строго определена либо рекурсивно в рамках формальной арифметики, либо через мощность объединения множеств в теоретико-множественном подходе.

Задание 6. Каков теоретико-множественный смысл суммы:

А) 9+1

Б) 6+0

Решение:

Теоретико-множественный смысл сложения заключается в следующем:
Сумма натуральных чисел a+b— это мощность (количество элементов) объединения двух непересекающихся множеств, мощности которых равны a и b.

Формально: Если ∣A∣=a, ∣B∣=b и A∩B=∅, то

a+b=∣A∪B∣

Применяем к примерам:

А) 9 + 1

Возьмем два непересекающихся множества.
- Множество A, в котором 9 элементов. Например, A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
- Множество B, в котором 1 элемент. Например, B={яблоко}
Объединяем их: A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9, яблоко}
Считаем мощность (количество элементов) объединения: ∣A∪B∣=10

Вывод: С теоретико-множественной точки зрения, 9+1 — это количество элементов в множестве, полученном объединением девятиэлементного и одноэлементного множеств, не имеющих общих элементов. Результат — 10.

Б) 6 + 0

Возьмем два непересекающихся множества.
- Множество A, в котором 6 элементов. Например, A={a,b,c,d,e,f}
- Множество B, в котором 0 элементов. B=∅ (пустое множество).
Объединяем их: A∪∅={a,b,c,d,e,f}
Считаем мощность объединения: ∣A∪∅∣=6

Вывод: С теоретико-множественной точки зрения, 6+0 — это количество элементов в множестве, полученном объединением шестиэлементного множества и пустого множества. Так как пустое множество не добавляет ни одного элемента, мощность объединения остается равной 6. Это иллюстрирует роль нуля как нейтрального элемента по сложению.

Задание 7. Объясните, почему ниже приведённые задачи решается сложением

А) В ателье работали 23 портнихи, потом на работу приняли еще 12 портних. Сколько портних теперь работает в ателье?

Б) Ваня купил 35 карандашей и 12 тетрадей. Сколько всего предметов купил Ваня?

Обе задачи решаются сложением, но причины, почему используется сложение, — разные. Ключ в том, чтобы понять, что происходит с предметами или людьми в условии.

Задача А)

Условие: В ателье работали 23 портнихи, потом на работу приняли еще 12 портних. Сколько портних теперь работает в ателье?

Почему сложение?

Процесс — объединение двух групп. У нас есть две отдельные группы портних:
- Первоначальная группа: 23 портнихи.
- Новая группа: 12 портних.
Процесс — увеличение количества. К уже существующему количеству портних (23) мы добавляем, прибавляем новое количество (12). Это действие «увеличения на…» математически выражается операцией сложения.
Результат — общее количество. Нас спрашивают, сколько портних стало вместе, всего. Чтобы найти общее количество при объединении групп, мы используем сложение.

Вывод: Задача решается сложением, потому что происходит присоединение одной группы к другой и требуется найти суммарное количество.

Решение: 23 + 12 = 35 (портних).

Задача Б)

Условие: Ваня купил 35 карандашей и 12 тетрадей. Сколько всего предметов купил Ваня?

Почему сложение?

Процесс — объединение разных объектов в одну общую категорию. Хотя Ваня купил разные предметы (карандаши и тетради), в вопросе их объединяют в одну общую категорию — «предметы».
Нас не интересует различие между ними. Для ответа на вопрос неважно, что именно он купил. Важно общее число всех купленных вещей.
Результат — общее количество. Чтобы найти общее количество предметов, мы складываем количество предметов одного вида с количеством предметов другого вида.

Вывод: Задача решается сложением, потому что найти сумму разнородных объектов, объединенных по общему признаку (в данном случае — «быть купленным предметом»).

Решение: 35 + 12 = 47 (предметов).

Итог:

В задаче А) сложение отражает процесс — «добавили к», «увеличили число».
В задаче Б) сложение отражает итог — «подсчет всего» изначально разных, но теперь объединенных в одну группу объектов.

Общее правило: Сложение используется, когда нужно найти общее количество после объединения двух или более групп (даже если эти группы состоят из разных предметов, как в задаче Б).

Задание 8. Найдите рациональным способом значение в выражения 1755+8993+555+1607. Укажите, какие свойства использовались.

Решение:

Шаг 1: Применяем переместительный закон сложения

Это свойство позволяет нам менять слагаемые местами. Сгруппируем числа, которые удобно складывать.

(1755 + 555) + (8993 + 1607)

Использованное свойство: Переместительный закон сложения (a + b = b + a).

Шаг 2: Складываем пары чисел

Теперь посчитаем сумму в каждой группе:

1755 + 555 = 2310
8993 + 1607 = 10600

Шаг 3: Применяем сочетательный закон сложения

Теперь у нас есть две группы, и мы складываем их итоги.

2310 + 10600 = 12910

Использованное свойство: Сочетательный закон сложения ((a + b) + c = a + (b + c)).

Ответ: 12910

Использованные свойства:

Переместительное свойство сложения (для удобной группировки слагаемых).
Сочетательное свойство сложения (для попарного сложения групп).

Почему этот способ рациональный?

Мы сгруппировали числа так, чтобы в парах получались «круглые» числа (2310 и 10600), которые затем очень легко сложить в уме. Это гораздо проще и быстрее, чем последовательно складывать 1755 + 8993 и т.д.

Задание 9. Составьте задачу, которая решалась бы так: 6+8, указав какой теоретико-множественный смысл суммы.

Решение:

Задача

У Пети было 6 воздушных шаров, а у Маши — 8 воздушных шаров. Они решили сложить все шары в одну большую корзину для праздника. Сколько всего воздушных шаров оказалось в корзине?

Решение: 6 + 8 = 14 (шаров).

Теоретико-множественный смысл суммы

С точки зрения теории множеств, сложение натуральных чисел — это численность (мощность) объединения непересекающихся конечных множеств.

Давайте разберем, как это определение работает в нашей задаче:

Множество A: Пусть A — это множество шаров Пети. По условию, его мощность (количество элементов) равна |A| = 6.
A = {П1, П2, П3, П4, П5, П6}
Множество B: Пусть B — это множество шаров Маши. Его мощность равна |B| = 8.
B = {М1, М2, М3, М4, М5, М6, М7, М8}
Непересекаемость: Множества A и B не пересекаются (A ∩ B = ∅), так как это совершенно разные, отдельные шары, принадлежащие разным детям. Ни один шар не принадлежит одновременно Пете и Маше.
Объединение: Когда дети складывают все шары в одну корзину, они образуют новое множество C — объединение множеств A и B (C = A ∪ B).
C = {П1, П2, П3, П4, П5, П6, М1, М2, М3, М4, М5, М6, М7, М8}
Мощность объединения: Количество шаров в корзине — это мощность множества C. По теоретико-множественному определению сложения, мощность объединения двух непересекающихся множеств равна сумме их мощностей:
|C| = |A ∪ B| = |A| + |B|

Таким образом, число 14 в ответе — это мощность нового множества C, полученного объединением двух непересекающихся множеств с мощностями 6 и 8.

Самостоятельная работа на тему: «Теоретико-множественный смысл разности»

Задание 1.

Опишите теоретико-множественный подход к построению множества натуральных чисел ω. Дайте строгое определение операции разности для натуральных чисел a и b (обозначается a ∸ b), когда a ≥ b. Какая аксиома или теорема теории множеств является основой для этого определения? В чём заключается принципиальное отличие этой операции от разности в множестве целых чисел?

Решение:

Теоретико-множественный подход к построению множества натуральных чисел ω

Основная идея подхода, предложенного в основном Джоном фон Нейманом, заключается в том, чтобы определить каждое натуральное число как конкретное множество. При этом само множество всех натуральных чисел ω (омега) строится аксиоматически с помощью Аксиомы Бесконечности.

0 определяется как пустое множество: 0 = ∅
1 определяется как множество, содержащее 0: 1 = {∅} = {0}
2 определяется как множество, содержащее 0 и 1: 2 = {∅, {∅}} = {0, 1}
3 определяется как {0, 1, 2}
и так далее…

Общее правило: Следующее число получается как объединение предыдущего числа и множества, его содержащего: S(n) = n ∪ {n}, где S(n) — функция-последователь.

Таким образом, каждое натуральное число есть множество всех предшествующих ему чисел.

Множество всех этих чисел ω и есть множество натуральных чисел. Важно, что ω существует благодаря Аксиоме Бесконечности, которая постулирует существование множества, содержащего ∅ и замкнутого относительно операции взятия последователя.

Строгое определение операции разности для натуральных чисел a ∸ b (при a ≥ b)

В теоретико-множественной парадигме разность определяется через операцию разности множеств.

Определение: Пусть даны натуральные числа a и b, причем a ≥ b. Поскольку в неймановском построении a и b — это множества, и из a ≥ b следует b ⊆ a.

Тогда разность a ∸ b определяется как мощность множества, являющегося разностью множеств a и b.

Формально:
a ∸ b = | a \ b |

где:

a \ b — теоретико-множественная разность ({x | x ∈ a и x ∉ b}).
|X| — мощность (количество элементов) множества X.

Пример: Возьмем a = 3 = {0, 1, 2} и b = 1 = {0}.

a \ b = {0, 1, 2} \ {0} = {1, 2}
|{1, 2}| = 2
Следовательно, 3 ∸ 1 = 2.

Аксиома или теорема, являющаяся основой для этого определения

Основой является Теорема о существовании и единственности разности множеств.

Если B ⊆ A, то существует единственное множество C такое, что C = A \ B. Это множество определяется аксиомами теории множеств, в частности, Схемой аксиом выделения (Аксиомой спецификации): для любого множества A и любого свойства P существует множество B = {x ∈ A | P(x)}. В нашем случае свойство P(x) — это x ∉ b.

Таким образом, мы можем легально образовать множество a \ b, а затем, используя понятие мощности (также определенное в теории множеств), найти количество его элементов.

Принципиальное отличие от разности в множестве целых чисел

Отличие является фундаментальным и заключается в области определения и, как следствие, в свойствах операции.

Характеристика	Разность в ℕ (a ∸ b)	Разность в ℤ (a — b)
Область определения	Определена только при a ≥ b. Если a < b, разность a ∸ b в множестве ℕ не определена. Это частичная (не всюду определенная) операция.	Определена для любых a и b. В целых числах можно вычитать большее из меньшего.
Результат	Результат всегда является натуральным числом (или нулем, если a = b).	Результат может быть отрицательным числом, если a < b.
Обратная операция	Не является обратной операцией к сложению в полном смысле. Уравнение b + x = a разрешимо в ℕ только при a ≥ b.	Является обратной операцией к сложению. Для любых целых a и b существует единственное целое x = a — b, такое что b + x = a. Это делает ℤ группой относительно сложения.

Суть отличия: Переход от разности в ℕ к разности в ℤ — это процесс расширения множества и операции, который превращает частичную операцию в полную, наделяя её более сильными алгебраическими свойствами. В ℤ разность — это уже не самостоятельная первичная операция, а, по сути, краткая запись сложения с противоположным элементом: a — b = a + (-b).

Задание 2.

Используя теоретико-множественное определение разности, вычислите значения следующих выражений. Покажите все промежуточные шаги.

а)5 ∸ 2

б) 4 ∸ 4

в) (3 ∸ 1) ∸ 1

г) 2 ∸ 5

(Дайте комментарий о результате)

Напоминание:

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Решение:

Вычислим каждое выражение, строго следуя теоретико-множественному определению разности: a ∸ b = | a \ b |, где a и b — множества, представляющие натуральные числа.

а) 5 ∸ 2

Представляем числа как множества:
- 5 = {0, 1, 2, 3, 4}
- 2 = {0, 1}
Находим теоретико-множественную разность:

5 \ 2 = {0, 1, 2, 3, 4} \ {0, 1} = {2, 3, 4}

Находим мощность полученного множества:

|{2, 3, 4}| = 3

Ответ: 5 ∸ 2 = 3

б) 4 ∸ 4

Представляем числа как множества:
- 4 = {0, 1, 2, 3}
- 4 = {0, 1, 2, 3}
Находим теоретико-множественную разность:

4 \ 4 = {0, 1, 2, 3} \ {0, 1, 2, 3} = ∅ (пустое множество)

Находим мощность полученного множества:

|∅| = 0

Ответ: 4 ∸ 4 = 0

в) (3 ∸ 1) ∸ 1

Вычисляем по шагам, начиная с внутренних скобок.

Шаг 1: Вычисляем 3 ∸ 1

Множества:
- 3 = {0, 1, 2}
- 1 = {0}
Разность:
3 \ 1 = {0, 1, 2} \ {0} = {1, 2}
Мощность:
|{1, 2}| = 2

Итак, (3 ∸ 1) = 2.

Шаг 2: Вычисляем 2 ∸ 1

Множества:
- 2 = {0, 1} (это результат предыдущего шага, но здесь 2 — это натуральное число)
- 1 = {0}
Разность:
2 \ 1 = {0, 1} \ {0} = {1}
Мощность:
|{1}| = 1

Ответ: (3 ∸ 1) ∸ 1 = 1

г) 2 ∸ 5

Представляем числа как множества:
- 2 = {0, 1}
- 5 = {0, 1, 2, 3, 4}
Проверяем условие операции. Согласно определению, операция a ∸ b для натуральных чисел определена только при условии a ≥ b. В теоретико-множественном смысле это означает b ⊆ a.

Является ли множество 5 подмножеством множества 2?

5 = {0, 1, 2, 3, 4}
2 = {0, 1}
Не все элементы множества 5 являются элементами множества 2 (например, 2 ∈ 5, но 2 ∉ 2; 3 ∈ 5, но 3 ∉ 2 и т.д.). Следовательно, 5 не является подмножеством 2.

Условие a ≥ b не выполняется.

Ответ: Операция разности 2 ∸ 5 не определена в множестве натуральных чисел. Теоретико-множественная разность 2 \ 5 существует (это просто {0, 1} \ {0, 1, 2, 3, 4} = ∅), но результат |∅| = 0 не может быть принят в качестве значения 2 ∸ 5, так как нарушено исходное условие определения (2 < 5). В множестве натуральных чисел нельзя вычесть из меньшего числа большее.

Задание 3.

Даны натуральные числа m = 2 и n = 4.

а) Представьте числа m и n в теоретико-множественной форме.

б) Найдите теоретико-множественную разность n ∸ m.

в) Покажите на диаграмме Эйлера-Венна процесс нахождения этой разности.

Решение:

а) Представление чисел m и n в теоретико-множественной форме

Согласно стандартному теоретико-множественному построению натуральных чисел (по фон Нейману), каждое число — это множество всех предыдущих чисел.

0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}

Таким образом:

m = 2 = {0, 1}
n = 4 = {0, 1, 2, 3}

б) Нахождение теоретико-множественной разности n ∸ m

Операция разности для натуральных чисел определяется как:
a ∸ b = | a \ b |, при условии a ≥ b.

Проверяем условие: 4 ≥ 2 — условие выполнено.
Находим теоретико-множественную разность:
n \ m = 4 \ 2 = {0, 1, 2, 3} \ {0, 1} = {2, 3}
Находим мощность полученного множества:
|{2, 3}| = 2

Ответ: n ∸ m = 4 ∸ 2 = 2

Задание 4.

Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c, таких что a ≥ b, выполняется свойство:

(a + c) ∸ (b + c) = a ∸ b

Решение:

Дано: Натуральные числа a, b, c, причём a ≥ b.
Требуется доказать: (a + c) ∸ (b + c) = a ∸ b.

Шаг 1: Вспомним определения

Сложение натуральных чисел с теоретико-множественной точки зрения — это объединение непересекающихся множеств. Если A и C — непересекающиеся множества, соответствующие числам a и c, то a + c = |A ∪ C|, где A ∩ C = ∅. Для доказательства мы можем представить себе, что берем два непересекающихся конечных множества мощностей a и c.
Разность (при a ≥ b) определяется как a ∸ b = |A \ B|, где A и B — множества мощностей a и b, и B ⊆ A.

Шаг 2: Построим модель для левой и правой части

Пусть у нас есть три конечных множества:

B — множество мощности b.
A_1 — множество мощности a ∸ b (то есть |A_1| = a — b).
C — множество мощности c.

Причем эти три множества попарно не пересекаются:
B ∩ A_1 = ∅, B ∩ C = ∅, A_1 ∩ C = ∅.

Теперь сконструируем множества для чисел a, a+c, b+c.

Множество для числа a:
Поскольку a ≥ b, мы можем представить множество A мощности a как объединение B и A_1.
A = B ∪ A_1, и так как B ∩ A_1 = ∅, то |A| = |B| + |A_1| = b + (a — b) = a.
Множество для числа a + c:
A ∪ C = (B ∪ A_1) ∪ C. Мощность этого множества равна a + c.
Множество для числа b + c:
B ∪ C. Мощность этого множества равна b + c.

Шаг 3: Вычислим левую часть (a + c) ∸ (b + c)

Левая часть — это разность между множеством для (a + c) и множеством для (b + c).
(A ∪ C) \ (B ∪ C)

Вычислим эту теоретико-множественную разность:
(A ∪ C) \ (B ∪ C) = [ (B ∪ A_1) ∪ C ] \ (B ∪ C)

Проанализируем элементы:

Элементы из B есть и в (B ∪ A_1) ∪ C, и в B ∪ C. При вычитании они уйдут.
Элементы из C есть и в (B ∪ A_1) ∪ C, и в B ∪ C. При вычитании они тоже уйдут.
Элементы из A_1 есть в (B ∪ A_1) ∪ C, но их нет в B ∪ C (поскольку A_1 не пересекается ни с B, ни с C).

Следовательно, (A ∪ C) \ (B ∪ C) = A_1.

Мощность этого множества: |A_1| = a ∸ b.

Таким образом, (a + c) ∸ (b + c) = |A_1| = a ∸ b.

Шаг 4: Заключение

Мы построили модель, в которой левая часть равенства напрямую свелась к правой. Поскольку и сложение, и разность определяются через мощности множеств, и наша модель корректно представляет все условия задачи, равенство доказано.

Что мы использовали:

Теоретико-множественные определения сложения и разности.
Возможность представить множество A (для a) как объединение B (для b) и некоторого дополнительного множества A_1 (для a ∸ b). Это возможно благодаря условию a ≥ b.
Свойства операций над множествами (объединение, разность).

Доказательство завершено.

Задание 5.

Докажите или опровергните утверждение:

Для любых натуральных чисел а, b, c, если a ≥ b, то (a ∸ b) ∸ c = a ∸ (b + c).

Решение:

Утверждение:
Для любых натуральных чисел a,b,c, если a≥b, то

(a−⋅b)−⋅c=a−⋅(b+c).

(Здесь −⋅−⋅ означает усечённую разность, определённую только если уменьшаемое ≥ вычитаемое, иначе не определена.)

Попробуем доказать

Пусть a≥b. Тогда a−⋅b определено и равно a−b (обычная арифметическая разность).

Теперь рассмотрим (a−b)−⋅c
Оно определено, только если a−b≥c, т.е. a≥b+c.
В этом случае (a−b)−c=a−(b+c), что совпадает с правой частью a−⋅(b+c), которая тоже определена при a≥b+c.

Вывод:
Если a≥b+c, то равенство верно: обе стороны равны a−b−c

Проверим случай, когда условие a≥b+ccне выполняется

Пусть a≥b, но a<b+c

Левая часть: a−⋅b=a−b (определено, т.к. a≥b).
Но a−b<c (из a<b+c), значит, (a−b)−⋅c не определено.
Правая часть: a−⋅(b+c) не определена, т.к. a<b+c.

В этом случае обе части не определены.
Поскольку в логике равенство неопределённых выражений часто считают истинным (если оба не определены при одинаковых условиях), можно подумать, что утверждение верно.

Контрпример, показывающий проблему

Но есть пограничный случай:
Пусть a≥b, но a−b<c, при этом a≥b+c ложно.
Мы уже видели: обе стороны не определены.

Но что, если a−b≥c ложно, но a≥b+c истинно?
Это невозможно, потому что a−b≥c ⟺ a≥b+c
Значит, области определения левой и правой части совпадают при условии a≥b

Проверим на числах

Возьмём a=5,b=3,c=1

a≥b да.
a−⋅b=2
2−⋅1=1
b+c=4
a−⋅(b+c)=5−⋅4=1
Равенство: 1=1— верно.

Возьмём a=5,b=3,c=3

a≥b да.
a−⋅b=2
2−⋅3 — не определено.
b+c=6,
5−⋅6— не определено.
Обе части не определены — утверждение не ложно.

Итог

При a≥b:

Если a≥b+c, обе части определены и равны a−b−c
Если a<b+c, обе части не определены.

Таким образом, не существует ситуации, где одна сторона определена, а другая нет (при условии a≥b).
Следовательно, утверждение верно (если считать, что неопределённость с обеих сторон означает «равенство» в условном смысле для частичных функций).

Ответ: Утверждение верно для любых натуральных a,b,c при a≥b.

Самостоятельная работа на тему: Теоретико-множественный смысл «меньше на…» и «больше на….»

Задание 1.

С одного участка школьники собрали 160 кг моркови, а с другого – в 2 раза больше. Четвертую часть всей моркови они израсходовали на корм кроликам. Сколько килограммов моркови израсходовали на корм кроликам?

Решение:

Решим задачу по шагам.

Найдём, сколько моркови собрали со второго участка.
С первого участка — 160 кг.
Со второго — в 2 раза больше:
160×2=320кг.
Найдём, сколько всего моркови собрали.
160+320=480кг.
Найдём, сколько моркови израсходовали на корм кроликам.
Четвёртая часть всей моркови:
480÷4=120кг.

Ответ: 120 кг.

Задание 2. Найдите значения выражений.

(18 + 36) : 9 + 6 · 8 – 50

720 : (2 + 7) + (140 – 90)

Решение:

Первое выражение:

(18 + 36) : 9 + 6 · 8 – 50

Скобки:
18+36=54
Деление:
54:9=6
Умножение:
6⋅8=48
Сложение и вычитание по порядку:
6+48=54
54−50=4

Ответ для первого: 44

Второе выражение:

720 : (2 + 7) + (140 – 90)

Первые скобки:
2+7=9
Вторые скобки:
140−90=50
Деление:
720:9=80
Сложение:
80+50=130

Ответ для второго: 130

Задание 3. Решите примеры столбиком.

523 + 197 279 · 3

831 – 369 792 : 2

Решение:

523

+ 197

——

720

Пояснение:
3 + 7 = 10 (пишем 0, 1 в уме)
2 + 9 + 1 = 12 (пишем 2, 1 в уме)
5 + 1 + 1 = 7

Ответ: 720

831

— 369

——

462

Пояснение:
1 < 9, занимаем у 3 (11 — 9 = 2)
2 (вместо 3) — 6 нельзя, занимаем у 8 (12 — 6 = 6)
7 (вместо 8) — 3 = 4

Ответ: 462

279

× 3

——

837

Пояснение:
9 × 3 = 27 (пишем 7, 2 в уме)
7 × 3 + 2 = 23 (пишем 3, 2 в уме)
2 × 3 + 2 = 8

Ответ: 837

792 | 2

— 6 396

—

-18

—

-12

—

Пояснение:
7 : 2 = 3 (остаток 1)
19 : 2 = 9 (остаток 1)
12 : 2 = 6

Ответ: 396

Задание 4.

Что легче и на сколько килограммов: 8 коробок конфет по 32 кг в каждой или 7 коробок вафель по 36 кг в каждой?

Решение:

Решим задачу по шагам.

Найдём массу конфет.
8 коробок × 32 кг = 256 кг
Найдём массу вафель.
7 коробок × 36 кг = 252 кг
Сравним:
256 кг (конфеты) и 252 кг (вафли)
Легче вафли.
На сколько кг вафли легче?
256 − 252 = 4 кг

Ответ: 7 коробок вафель легче на 4 кг.

Задание 5.

Что тяжелее и на сколько килограммов: 6 мешков муки по 46 кг в каждом или 5 мешков риса по 48 кг в каждом?

Решение:

Решим задачу по шагам.

Найдём массу муки.
6 мешков × 46 кг = 276 кг
Найдём массу риса.
5 мешков × 48 кг = 240 кг
Сравним:
276 кг (мука) и 240 кг (рис)
Тяжелее мука.
На сколько кг мука тяжелее?
276 − 240 = 36 кг

Ответ: 6 мешков муки тяжелее на 36 кг.

Самостоятельная работа на тему: Теоретико-множественный смысл произведения умножения целых неотрицательных чисел. Определение произведения целых неотрицательных чисел как суммы одинаковых слагаемых. Теоретико-множественная трактовка. Определение произведения целых неотрицательных чисел на основе декартова произведения множеств. Коммуникативное свойство. Ассоциативное свойство. Дистрибутивность умножения

Задание 1.

Дайте два определения произведения целых неотрицательных чисел:

а) Через сумму одинаковых слагаемых.

б) Через декартово произведение множеств.

В каком смысле эти определения являются эквивалентными? Какой из подходов является более фундаментальным с точки зрения теории множеств и почему?

Решение:

а) Определение через сумму одинаковых слагаемых

Произведение целых неотрицательных чисел a и b — это результат сложения, в котором число a повторяется слагаемым b раз.

Формально:

a⋅b=a+a+…+a⏟b раз

При этом по определению:

a⋅0=0 для любого a.
0⋅b=0 для любого b.

Пример: 3⋅4=3+3+3+3=12

б) Определение через декартово произведение множеств

Произведение целых неотрицательных чисел a и b — это мощность (количество элементов) декартова произведения двух конечных множеств A и B, мощности которых равны ∣A∣=a и ∣B∣=b соответственно.

Формально:

a⋅b=∣A×B∣

где A×B={(x,y) ∣ x∈A, y∈B}

Пример: Пусть A={x,y,z} (∣A∣=3∣A∣=3), B={1,2,3,4} (∣B∣=4∣B∣=4).
Тогда A×B={(x,1),(x,2),(x,3),(x,4),(y,1),(y,2),(y,3),(y,4),(z,1),(z,2),(z,3),(z,4)}
Мощность этого множества равна 12. Следовательно, 3⋅4=12

Эквивалентность определений

Эти определения эквивалентны в вычислительном смысле: для любых целых неотрицательных чисел a и b они дают один и тот же числовой результат.

Содержательная эквивалентность становится ясной, если посмотреть на структуру декартова произведения. Если представить элементы A×B в виде таблицы (матрицы), где строки соответствуют элементам множества A, а столбцы — элементам множества B, то:

В каждой строке содержится ровно b элементов (по одному на каждый элемент B).
Всего строк — a.

Таким образом, общее количество элементов ∣A×B∣ можно вычислить как сумму b слагаемых, повторённую a раз: b+b+…+b, что, в силу коммутативности умножения, совпадает с исходным определением через сумму a, взятую b раз.

Более фундаментальный подход

Более фундаментальным с точки зрения теории множеств является подход через декартово произведение.

Причины:

Независимость от порядка операций. Определение через сумму предполагает, что операция сложения уже определена. В строгом аксиоматическом построении математики (например, в теории множеств) сначала определяют натуральные числа как множества, затем операцию сложения, и только потом, опираясь на них, можно дать определение через сумму. Определение же через декартово произведение не зависит от понятия сложения — оно опирается на более первичное понятие множества, кортежа и мощности.
Прямое теоретико-множественное обоснование. В рамках теоретико-множественного подхода фон Неймана, где натуральное число n определяется как множество {0,1,…,n−1}, произведение m⋅n естественно определяется как мощность декартова произведения m×n. Это прямое и элегантное построение.
Обобщаемость. Подход с декартовым произведением легче обобщается на более сложные объекты (например, произведение мощностей бесконечных множеств в теории кардинальных чисел), где определение через сумму теряет смысл.

Таким образом, определение через декартово произведение является более первичным и фундаментальным в современной математике, тогда как определение через сумму — это чрезвычайно полезная и интуитивно понятная вычислительная интерпретация, которая вытекает из фундаментального определения как следствие.

Задание 2.

Сформулируйте:

а) Коммутативный закон умножения

б) Ассоциативный закон умножения

в) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения

Дайте их словесные формулировки и запишите в теоретико-множественной трактовке.

Решение:

а) Коммутативный закон умножения

Словесная формулировка: От перемены мест множителей произведение не меняется.

Теоретико-множественная трактовка:

Для любых конечных множеств A и B выполняется равенство:

∣A×B∣=∣B×A∣

где A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}— декартово произведение.

Обоснование: Между множествами A×B и B×A можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) с помощью отображения (a,b)↦(b,a). Следовательно, их мощности равны.

б) Ассоциативный закон умножения

Словесная формулировка: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Теоретико-множественная трактовка:

Для любых конечных множеств A, B и C выполняется равенство:

∣(A×B)×C∣=∣A×(B×C)∣

Обоснование: Между множествами (A×B)×C и A×(B×C) можно установить взаимно однозначное соответствие с помощью отображения ((a,b),c)↦(a,(b,c)). Следовательно, их мощности равны.

в) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения

Словесная формулировка: Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Теоретико-множественная трактовка:
Для любых конечных множеств A, B и C, при условии B∩C=∅, выполняется равенство:

∣A×(B∪C)∣=∣A×B∣+∣A×C∣

Обоснование:

Так как B и CC не пересекаются, то множества A×B и A×C также не пересекаются.
Декартово произведение A×(B∪C) можно представить как объединение двух непересекающихся множеств: (A×B)∪(A×C)
По определению сложения (как мощности объединения непересекающихся множеств), мощность объединения равна сумме мощностей: ∣(A×B)∪(A×C)∣=∣A×B∣+∣A×C∣
Следовательно, ∣A×(B∪C)∣=∣A×B∣+∣A×C∣

Итог: Эти законы, которые в арифметике принимаются как данность, в теоретико-множественном подходе являются следствиями свойств операций над множествами (декартова произведения и объединения) и существования взаимно однозначных соответствий.

Задание 3.

Вычислите следующие произведения,используя указанный метод:

а) 4 \times 3, используя определение через сумму одинаковых слагаемых. Покажите процесс сложения.

б) 3 \times 2, используя определение через декартово произведение множеств. Изобразите результат графически (можно в виде таблицы или точек на координатной плоскости).

Решение:

а) 4×3, используя определение через сумму одинаковых слагаемых

Согласно определению, 4×3 — это число 4, взятое слагаемым 3 раза.

Процесс сложения:

Берём первое слагаемое: 4
Прибавляем второе слагаемое: 4+4=8
Прибавляем третье слагаемое: 8+4=12

4×3=4+4+4⏟

Ответ: 12

б) 3×2, используя определение через декартово произведение множеств

Пусть у нас есть два множества:

A={a1,a2,a3} (мощность ∣A∣=3)
B={b1,b2} (мощность ∣B∣=2)

Их декартово произведение A×B— это множество всех упорядоченных пар, где первый элемент из A, а второй из B:

A×B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}

Мощность этого множества: ∣A×B∣=6

Следовательно, 3×2=∣A×B∣=6

Графическое изображение (в виде таблицы/координатной плоскости):

Можно представить элементы множества A на горизонтальной оси, а B — на вертикальной. Тогда пары — это точки на плоскости или клетки в таблице.

В виде таблицы:

	b1b1	b2b2
a1a1	(a₁, b₁)	(a₁, b₂)
a2a2	(a₂, b₁)	(a₂, b₂)
a3a3	(a₃, b₁)	(a₃, b₂)

В таблице 3 строки и 2 столбца, всего 3×2=6клеток (пар).

Ответ: 6

Задание 4.

Используя теоретико-множественное определение умножения, докажите, что

2 \times 3 = 3 \times 2 . Проиллюстрируйте доказательство с помощью диаграммы.

Решение:

Теоретико-множественное доказательство

Определим множества и их мощности.

Пусть A — множество мощности 2: A={a1,a2} ∣A∣=2
Пусть B — множество мощности 3: B={b1,b2,b3} ∣B∣=3

Построим декартовы произведения.

Произведение 2×3:
A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}
Его элементы:
(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3)
(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3)
Мощность: ∣A×B∣=6
Следовательно, 2×3=6
Произведение 3×2:
B×A={(y,x)∣y∈B,x∈A}
Его элементы:
(b1,a1),(b1,a2)
(b2,a1),(b2,a2)
(b3,a1),(b3,a2)
Мощность: ∣B×A∣=6
Следовательно, 3×2=6

Установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию).

Определим отображение f:A×B→B×A по правилу:

f((x,y))=(y,x)

для любой пары (x,y)∈A×B

Это отображение «на» (сюръекция): Для любого (y,x)∈B×A существует прообраз (x,y)∈A×B
Это отображение «взаимно-однозначно» (инъекция): Если f((x1,y1))=f((x2,y2)), то (y1,x1)=(y2,x2) значит, x1=x2 и y1=y2 , т.е. (x1,y1)=(x2,y2).

Так как между A×B и B×A существует биекция, их мощности равны:

∣A×B∣=∣B×A∣

Подставляя значения мощностей, получаем:

2×3=3×2

Иллюстрация с помощью диаграммы

B × A: 3 × 2 = 6 A × B: 2 × 3 = 6

(a₁, b₁) (b₁, a₁)

(a₂, b₁) (b₁, a₂)

(a₁, b₂) (b₂, a₁)

(a₂, b₂) (b₂, a₂)

(a₁, b₃) (b₃, a₁)

(a₂, b₃) (b₃, a₂)

Пояснение к диаграмме:

Левый блок (A × B) представляет все элементы декартова произведения множества A (2 элемента) на множество B (3 элемента). Всего 6 пар, следовательно, 2 × 3 = 6.
Правый блок (B × A) представляет все элементы декартова произведения B на A. Всего 6 пар, следовательно, 3 × 2 = 6.
Стрелки наглядно демонстрируют биективное отображение f((x,y))=(y,x). Каждому элементу из левого множества соответствует ровно один уникальный элемент в правом множестве, и наоборот.

Таким образом, диаграмма визуально подтверждает, что множества равномощны, а значит, произведения равны.

Задание 5.

Докажите коммутативный закон умножения целых неотрицательных чисел на основе определения через декартово произведение множеств.

Указание: Рассмотрите множества A и B такие, что |A| = a , |B| = b . Используйте взаимно-однозначное соответствие между A \times B и B \times A .

Решение:

Определение умножения через декартово произведение

Согласно определению, если a и b — целые неотрицательные числа, то их произведение a * b определяется как мощность декартова произведения множеств A и B, где |A| = a и |B| = b.

Формально:
a * b = |A × B|

где A × B — это множество всех упорядоченных пар (x, y), таких что x ∈ A и y ∈ B.

Цель доказательства

Нам нужно доказать, что для любых целых неотрицательных чисел a и b выполняется равенство:
a * b = b * a

Используя данное определение, это преобразуется в необходимость доказать, что:
|A × B| = |B × A|

Построение взаимно-однозначного соответствия (биекции)

Чтобы доказать, что мощности двух множеств равны, достаточно построить между ними взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то есть такую функцию, которая является одновременно и инъективной (разные элементы переходят в разные), и сюръективной (каждый элемент множества-образа имеет прообраз).

Рассмотрим функцию f, которая действует из множества A × B в множество B × A по следующему правилу:

f: A × B → B × A

f( (x, y) ) = (y, x)

для любой пары (x, y) ∈ A × B.

Доказательство того, что f — биекция

а) Доказательство инъективности:

Предположим, что для двух пар (x₁, y₁) и (x₂, y₂) из A × B выполняется f((x₁, y₁)) = f((x₂, y₂)).

По определению функции f это означает:

(y₁, x₁) = (y₂, x₂)

По определению равенства упорядоченных пар это возможно тогда и только тогда, когда:

y₁ = y₂ и x₁ = x₂

Следовательно, (x₁, y₁) = (x₂, y₂).

Это доказывает, что если образы двух элементов совпадают, то и сами элементы совпадают. Функция f является инъективной.

б) Доказательство сюръективности:

Нужно доказать, что для любого элемента (b, a) из множества B × A существует прообраз в множестве A × B такой, что f переведет его в (b, a).

Возьмем произвольный элемент (b, a) ∈ B × A. По построению B × A, это означает, что b ∈ B и a ∈ A.

Рассмотрим элемент (a, b) из множества A × B. Он существует, так как a ∈ A и b ∈ B.

Применим функцию f к этому элементу:

f( (a, b) ) = (b, a)

Мы получили как раз тот элемент (b, a), который взяли произвольно. Это означает, что для любого элемента из B × A найдется прообраз в A × B. Функция f является сюръективной.

Заключение

Поскольку мы построили функцию f: A × B → B × A, которая является взаимно-однозначным соответствием (биекцией), мы доказали, что множества A × B и B × A равномощны:

|A × B| = |B × A|

Возвращаясь к определению умножения, получаем:

a * b = |A × B| = |B × A| = b * a

Таким образом, коммутативный закон умножения a * b = b * a для целых неотрицательных чисел доказан.

Задание 6.

Докажите ассоциативный закон умножения целых неотрицательных чисел.

Указание: Рассмотрите множества A, B, C и установите взаимно-однозначное соответствие между (A \times B) \times C и A \times (B \times C) .

Решение:

Определение умножения через декартово произведение

Согласно определению, если a, b и c — целые неотрицательные числа, то:

a * b = |A × B|, где |A| = a, |B| = b
(a * b) * c = |(A × B) × C|
b * c = |B × C|
a * (b * c) = |A × (B × C)|

Цель доказательства

Нам нужно доказать, что для любых целых неотрицательных чисел a, b и c выполняется:

(a * b) * c = a * (b * c)

Используя определение, это преобразуется в необходимость доказать, что:
|(A × B) × C| = |A × (B × C)|

Построение взаимно-однозначного соответствия

Рассмотрим функцию f, которая действует между множествами (A × B) × C и A × (B × C) по следующему правилу:

f: (A × B) × C → A × (B × C)
f( ((a, b), c) ) = (a, (b, c))

для любого ((a, b), c) ∈ (A × B) × C, где a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C.

Доказательство того, что f — биекция

а) Доказательство инъективности:

Предположим, что для двух элементов ((a₁, b₁), c₁) и ((a₂, b₂), c₂) из (A × B) × C выполняется:
f(((a₁, b₁), c₁)) = f(((a₂, b₂), c₂))

По определению функции f это означает:
(a₁, (b₁, c₁)) = (a₂, (b₂, c₂))

По определению равенства упорядоченных пар это возможно тогда и только тогда, когда:

a₁ = a₂ (первые компоненты равны)
(b₁, c₁) = (b₂, c₂) (вторые компоненты равны)

Из пункта 2 следует, что:
3. b₁ = b₂
4. c₁ = c₂

Из 1, 3 и 4 следует, что ((a₁, b₁), c₁) = ((a₂, b₂), c₂).

Функция f является инъективной.

б) Доказательство сюръективности:

Нужно доказать, что для любого элемента (a, (b, c)) из множества A × (B × C) существует прообраз в множестве (A × B) × C такой, что f переведет его в (a, (b, c)).

Возьмем произвольный элемент (a, (b, c)) ∈ A × (B × C). По построению это означает, что a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C.

Рассмотрим элемент ((a, b), c) из множества (A × B) × C. Он существует, так как:

(a, b) ∈ A × B (поскольку a ∈ A и b ∈ B)
((a, b), c) ∈ (A × B) × C (поскольку (a, b) ∈ A × B и c ∈ C)

Применим функцию f к этому элементу:
f( ((a, b), c) ) = (a, (b, c))

Мы получили как раз тот элемент (a, (b, c)), который взяли произвольно. Это означает, что для любого элемента из A × (B × C) найдется прообраз в (A × B) × C. Функция f является сюръективной.

Заключение

Поскольку мы построили функцию f: (A × B) × C → A × (B × C), которая является взаимно-однозначным соответствием (биекцией), мы доказали, что множества (A × B) × C и A × (B × C) равномощны:

|(A × B) × C| = |A × (B × C)|

Возвращаясь к определению умножения, получаем:
(a * b) * c = |(A × B) × C| = |A × (B × C)| = a * (b * c)

Таким образом, ассоциативный закон умножения (a * b) * c = a * (b * c) для целых неотрицательных чисел доказан.

Примечание:

Функция f устанавливает естественный изоморфизм между множествами (A × B) × C и A × (B × C), «переупаковывая» элементы. Хотя эти множества technically different (их элементы имеют разную «структуру» вложенных пар), они находятся во взаимно-однозначном соответствии, что и доказывает равенство их мощностей.

Задание 7.

Докажите дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

Указание: Используйте определение через декартово произведение. Рассмотрите множество A мощности a и непересекающиеся множества B и C мощностей b и c соответственно.

Решение:

Определения через теорию множеств

Пусть:

|A| = a, |B| = b, |C| = c, где B и C — непересекающиеся множества (B ∩ C = ∅)
Сложение: b + c = |B ∪ C| (так как B ∩ C = ∅)
Умножение: a × b = |A × B|, a × c = |A × C|

Цель доказательства

Нам нужно доказать, что:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Используя определения, это преобразуется в:
|A × (B ∪ C)| = |(A × B) ∪ (A × C)|

Доказательство равенства множеств

Сначала докажем теоретико-множественное тождество:
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

Доказательство:

Возьмем произвольный элемент (x, y) ∈ A × (B ∪ C).

По определению декартова произведения:

x ∈ A
y ∈ B ∪ C

Из y ∈ B ∪ C следует, что y ∈ B или y ∈ C.

Случай 1: Если y ∈ B, то (x, y) ∈ A × B
Случай 2: Если y ∈ C, то (x, y) ∈ A × C

В любом случае (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).

Следовательно, A × (B ∪ C) ⊆ (A × B) ∪ (A × C).

Теперь возьмем произвольный элемент (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C).

Тогда (x, y) ∈ A × B или (x, y) ∈ A × C.

Случай 1: Если (x, y) ∈ A × B, то x ∈ A и y ∈ B, следовательно y ∈ B ∪ C, значит (x, y) ∈ A × (B ∪ C)
Случай 2: Если (x, y) ∈ A × C, то x ∈ A и y ∈ C, следовательно y ∈ B ∪ C, значит (x, y) ∈ A × (B ∪ C)

В любом случае (x, y) ∈ A × (B ∪ C).

Следовательно, (A × B) ∪ (A × C) ⊆ A × (B ∪ C).

Таким образом, A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).

Доказательство равенства мощностей

Поскольку B ∩ C = ∅, докажем, что (A × B) ∩ (A × C) = ∅.

Предположим, что существует элемент (x, y) ∈ (A × B) ∩ (A × C).

Тогда:

(x, y) ∈ A × B ⇒ y ∈ B
(x, y) ∈ A × C ⇒ y ∈ C

Значит y ∈ B ∩ C, но B ∩ C = ∅ — противоречие.

Следовательно, (A × B) ∩ (A × C) = ∅.

Заключение

Имеем:

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (равенство множеств)
(A × B) ∩ (A × C) = ∅ (непересекающиеся множества)

Поэтому:
|A × (B ∪ C)| = |(A × B) ∪ (A × C)| = |A × B| + |A × C|

Возвращаясь к определению операций:
a × (b + c) = |A × (B ∪ C)| = |A × B| + |A × C| = (a × b) + (a × c)

Таким образом, дистрибутивный закон умножения относительно сложения
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
для целых неотрицательных чисел доказан.

Примечание:

Условие B ∩ C = ∅ существенно для корректного применения определения сложения через объединение множеств. Если бы множества B и C пересекались, то |B ∪ C| ≠ |B| + |C|, и доказательство не было бы верным.

Самостоятельная работа на тему: Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Случаи деления нуля и деления на нуль. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в…» и «меньше в….». Теоретико-множественное истолкование деления с остатком.

Задание 1.

Дайте теоретико-множественное определение операции деления натуральных чисел. Объясните, что означают отношения «больше в несколько раз» и «меньше в несколько раз» с теоретико-множественной точки зрения.

Решение:

Теоретико-множественное определение деления натуральных чисел

Определение: Для натуральных чисел a и b (где b ≠ 0) частное a ÷ b определяется как мощность множества классов равномощных подмножеств при разбиении множества A на подмножества мощности b.

Более формально: если |A| = a, то a ÷ b = k, где k — натуральное число, если существует разбиение множества A на k попарно непересекающихся подмножеств A₁, A₂, …, Aₖ таких, что:

A = A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₖ
Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ при i ≠ j
|Aᵢ| = b для всех i = 1, 2, …, k

Если такого натурального числа k не существует, то деление не выполняется на множестве натуральных чисел.

Пример: 12 ÷ 4 = 3

A — множество из 12 элементов
Разбиваем на 3 подмножества по 4 элемента в каждом
Каждое подмножество имеет мощность 4

Отношение «больше в несколько раз»

С теоретико-множественной точки зрения, «a больше b в k раз» означает, что множество A мощности a можно разбить на k подмножеств, каждое из которых равномощно множеству B мощности b.

Формально: a = k × b тогда и только тогда, когда:

Существует разбиение A = A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₖ (попарно непересекающиеся)
|Aᵢ| = b для всех i = 1, 2, …, k
Существует биекция между каждым Aᵢ и B

Пример: «12 больше 4 в 3 раза»

Множество из 12 элементов можно разбить на 3 подмножества по 4 элемента
Каждое подмножество равномощно множеству из 4 элементов

Отношение «меньше в несколько раз»

С теоретико-множественной точки зрения, «a меньше b в k раз» означает, что множество A мощности a составляет одну k-ю часть множества B мощности b, или что множество B можно разбить на k подмножеств, каждое из которых равномощно множеству A.

Формально: a = b ÷ k тогда и только тогда, когда:

Существует разбиение B = B₁ ∪ B₂ ∪ … ∪ Bₖ (попарно непересекающиеся)
|Bᵢ| = a для всех i = 1, 2, …, k
Существует биекция между каждым Bᵢ и A

Пример: «4 меньше 12 в 3 раза»

Множество из 12 элементов можно разбить на 3 подмножества по 4 элемента
Множество из 4 элементов равномощно каждому из этих подмножеств

Геометрическая интерпретация

Эти отношения можно наглядно представить:

«Больше в k раз»: если фигура B укладывается в фигуре A ровно k раз
«Меньше в k раз»: если фигура A составляет 1/k часть фигуры B

Такое теоретико-множественное понимание деления и кратных отношений лежит в основе формирования понятия дроби и пропорциональных отношений в начальном курсе математики.

Задание 2.

Проанализируйте случаи деления нуля и деления на нуль:

а)Можно ли разделить 0 на натуральное число? Дайте теоретико-множественное обоснование.

б)Можно ли разделить число на 0? Объясните, почему это невозможно, используя теоретико-множественный подход.

Решение:

Теоретико-множественный смысл деления

С точки зрения теории множеств, деление целого неотрицательного числа a на натуральное число b — это действие, которое решает одну из двух взаимосвязанных задач:

Задача на разбиение (деление по содержанию): Разделить множество из a элементов на равные части так, чтобы в каждой части было по b элементов. Требуется найти число частей.
- Вопрос: «Сколько раз по b содержится в a?»
Задача на нахождение размера части (деление на равные части): Разделить множество из a элементов на b равных частей. Требуется найти число элементов в каждой части.
- Вопрос: «Чему равна одна b-ая часть от a?»

Результатом в обоих случаях является одно и то же число c (частное), такое что a=b⋅c.

а) Деление нуля на натуральное число

Ответ: Да, можно. Результат равен нулю.

Теоретико-множественное обоснование:

Рассмотрим обе задачи деления для случая a=0, b — натуральное число.

Задача на разбиение (деление по содержанию):
- У нас есть множество, содержащее 0 элементов (пустое множество).
- Нам нужно разбить его на части, в каждой из которых будет по b элементов.
- Вопрос: «Сколько раз по b элементов содержится в пустом множестве?»
- Ответ: 0 раз. Мы не можем составить ни одной части, содержащей b элементов, потому что у нас вообще нет элементов. Следовательно, количество частей равно 0.
Задача на нахождение размера части:
- У нас есть множество, содержащее 0 элементов.
- Нам нужно разделить его на b равных частей.
- Вопрос: «Сколько элементов будет в каждой из b частей?»
- Ответ: 0 элементов. Если мы распределим 0 элементов между b частями, то каждая часть останется пустой. Размер каждой части равен 0.

Вывод: В обоих случаях результат (частное) равен 0. Это полностью согласуется с обратной операцией умножения: 0⋅b=0.

б) Деление числа на нуль

Ответ: Нет, разделить число на 0 невозможно.

Теоретико-множественное обоснование:

Рассмотрим обе задачи деления для случая b=0, a — любое число (сначала предположим, что a≠0).

Задача на разбиение (деление по содержанию):
- У нас есть множество из a элементов (a≠0).
- Нам нужно разбить его на части, в каждой из которых должно быть по 0 элементов.
- Вопрос: «Сколько раз по 0 элементов содержится в множестве из a элементов?»
- Проблема: Часть, содержащая 0 элементов, — это пустое множество. Мы можем «отделять» от исходного множества пустые подмножества бесконечное количество раз, и при этом исходное множество не уменьшится. Количество частей не может быть определено однозначно. Оно бесконечно велико и не является числом.
Задача на нахождение размера части:
- У нас есть множество из a элементов (a≠0).
- Нам нужно разделить его на 0 равных частей.
- Вопрос: «Сколько элементов будет в каждой из 0 частей?»
- Проблема: Сама постановка задачи абсурдна. Невозможно что-либо разделить на 0 частей. Если частей нет, то бессмысленно спрашивать о размере несуществующих частей. Эта операция не имеет смысла.

Теперь рассмотрим случай, когда a=0, то есть 0/0:

Задача: «Найти число c, такое что 0⋅c=0″.
Проблема: Любое число c удовлетворяет этому уравнению (0⋅5=0, 0⋅100=0 и т.д.). Мы снова не можем получить единственный, однозначно определенный результат.

Общий вывод: При делении на ноль (b=0) нарушается фундаментальное свойство операции деления — ее однозначность. В зависимости от подхода мы либо получаем бесконечность (которая не является числом в обычном смысле), либо абсурдную постановку задачи, либо бесконечное количество возможных ответов. Поэтому в математике деление на ноль запрещено.

Краткая сводка:

Операция	Возможность	Результат	Теоретико-множественное объяснение
0 : b (b ∈ ℕ)	Да	0	Разделить пустое множество на части или на b частей — в любом случае получим 0.
a : 0 (a ≠ 0)	Нет	Не определено	Невозможно найти однозначный ответ на вопрос «сколько частей?» или «какой размер части?».
0 : 0	Нет	Не определено	Любое число подходит в качестве ответа, результат не единственный.

Задание 3.

Решите следующие задачи, используя теоретико-множественную интерпретацию деления:

а)Разделите множество A = \{a, b, c, d, e, f\} на подмножества равной мощности. Сколько получится подмножеств и какой они мощности, если деление осуществляется на 2? на 3?

б)Объясните, почему множество B = \{x, y, z\} нельзя разделить на 4 равномощных подмножества.

Решение:

Теоретико-множественная интерпретация деления

С точки зрения теории множеств, деление целого числа на другое — это разбиение исходного множества на несколько равномощных (т.е. содержащих одинаковое количество элементов) подмножеств.

Делимое — это общее количество элементов в исходном множестве (его мощность).
Делитель — это количество равномощных подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество.
Частное — это мощность (количество элементов) каждого из получившихся подмножеств.

Формула, которая связывает эти понятия: n(A) = k * m, где:

n(A) — мощность множества A,
k — количество подмножеств (делитель),
m — мощность каждого подмножества (частное).

Решение задачи а)

Дано множество A = {a, b, c, d, e, f}. Его мощность n(A) = 6.

Случай 1: Делим на 2 (k = 2)

Нужно найти мощность каждого подмножества (m).
Используем формулу: n(A) = k * m => 6 = 2 * m => m = 3.

Количество подмножеств: 2
Их мощность: 3

Пример разбиения:
A₁ = {a, b, c}
A₂ = {d, e, f}

Случай 2: Делим на 3 (k = 3)

Используем формулу: 6 = 3 * m => m = 2.

Количество подмножеств: 3
Их мощность: 2

Пример разбиения:
A₁ = {a, b}
A₂ = {c, d}
A₃ = {e, f}

Решение задачи б)

Дано множество B = {x, y, z}. Его мощность n(B) = 3.

Мы хотим разделить его на k = 4 равномощных подмножества. Нужно найти мощность каждого подмножества (m).
Используем формулу: n(B) = k * m => 3 = 4 * m.

Объяснение, почему это невозможно:

С точки зрения уравнения: Уравнение 3 = 4 * m не имеет решения в целых неотрицательных числах. Не существует такого натурального числа m, при умножении которого на 4 получится 3. Это означает, что мы не можем распределить 3 элемента по 4 подмножествам так, чтобы во всех подмножествах было поровну элементов.
С точки зрения процесса: Если мы попытаемся создать 4 подмножества, и в каждом должно быть одинаковое число элементов (m), то общее число элементов должно быть кратно 4. Мощность множества B равна 3, что не кратно 4. Следовательно, как минимум одно из подмножеств будет пустым, а другие — нет, что нарушает условие равномощности.

Ответ: Множество B нельзя разделить на 4 равномощных подмножества, потому что его мощность (3) не делится нацело на число подмножеств (4).

Задание 4.

Используя теоретико-множественный подход, Объясните:

а)Что означает утверждение «12 больше 4 в 3 раза»?

б)Что означает утверждение «4 меньше 12 в 3 раза»?

Решение:

а) Утверждение «12 больше 4 в 3 раза»

Теоретико-множественное объяснение:

Рассмотрим множество A, содержащее 4 элемента: A = {a1, a2, a3, a4}.
Утверждение «12 больше 4 в 3 раза» означает, что существует множество B из 12 элементов, которое можно разбить на 3 непересекающихся подмножества (B₁, B₂, B₃), каждое из которых эквивалентно (равномощно) множеству A.

B = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃, где B₁ ≈ A, B₂ ≈ A, B₃ ≈ A и B₁ ∩ B₂ = ∅, B₁ ∩ B₃ = ∅, B₂ ∩ B₃ = ∅.

Другими словами, можно установить взаимно-однозначное соответствие между каждым из этих трех подмножеств и исходным множеством A. Количество элементов в B равно 4 + 4 + 4 = 4 * 3 = 12.

б) Утверждение «4 меньше 12 в 3 раза»

Теоретико-множественное объяснение:

Рассмотрим множество B, содержащее 12 элементов: B = {b1, b2, …, b12}.
Утверждение «4 меньше 12 в 3 раза» означает, что множество B можно разбить на 3 непересекающихся подмножества (B₁, B₂, B₃), каждое из которых эквивалентно (равномощно) множеству A, содержащему 4 элемента.

B = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃, где B₁ ≈ A, B₂ ≈ A, B₃ ≈ A.

В этом случае акцент смещается на то, что для «покрытия» всего множества B нам потребуется 3 экземпляра множества A. Мощность множества A в 3 раза меньше мощности множества B, потому что |B| / |A| = 12 / 4 = 3.

Ответ:

Оба утверждения описывают одну и ту же количественную связь между числами 12 и 4, но с разных точек зрения:

«12 больше 4 в 3 раза» — это взгляд «снизу вверх»: мы берем меньшую величину и повторяем ее 3 раза, чтобы получить большую.
«4 меньше 12 в 3 раза» — это взгляд «сверху вверх»: мы раскладываем большую величину на 3 части, каждая из которых равна меньшей.

Теоретико-множественная модель в обоих случаях одна и та же: она основана на операции разбиения большего множества на классы, равномощные меньшему множеству. Отношение мощностей |B| / |A| = 3 является мерой этого сравнения.

Задание 5.

Дано множество M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} . Выполните деление с остатком:

а) 10 ÷ 4

б) 10 ÷ 3

Представьте результат в теоретико-множественной форме.

Решение:

Вспомним, что такое деление с остатком в теоретико-множественном смысле.

Когда мы говорим о делении с остатком в контексте множества, мы представляем его как разбиение исходного множества на классы (подмножества) по заданному модулю.

Деление числа a на число b (где b — модуль) означает, что мы группируем элементы множества M в b классов в зависимости от их остатка от деления на b.

Делимое (10) — это, как правило, наибольший элемент рассматриваемого множества M. Само множество M содержит числа от 1 до 10.
Делитель (4 или 3) — это модуль, по которому мы строим классы эквивалентности (остатков).

Решим задачу для случая а) 10 ÷ 4

Арифметически: 10 ÷ 4 = 2 (частное) и 2 в остатке, так как 10 = 4 * 2 + 2.
Теоретико-множественный смысл: Мы разбиваем множество M на 4 класса (так как делитель равен 4), соответствующих остаткам 0, 1, 2 и 3.
- Класс с остатком 0: {4, 8} (числа, делящиеся на 4)
- Класс с остатком 1: {1, 5, 9}
- Класс с остатком 2: {2, 6, 10}
- Класс с остатком 3: {3, 7}
Результат деления 10 ÷ 4:
- Частное (2) — это количество полных классов, которые «помещаются» в числе 10. Посмотрим на классы: класс с остатком 0 имеет элементы 4 и 8 — это «полные» элементы по модулю 4. Класс с остатком 1 имеет элементы 1, 5, 9 — они также «полные». Класс с остатком 2 имеет элементы 2, 6 и 10. Число 10 — это как раз тот элемент, который определяет остаток. Таким образом, у нас есть 2 полных «цикла» по 4 элемента (1-4 и 5-8), и остаток (9, 10), который попадает в два разных класса. Но само частное 2 показывает, сколько раз делитель «укладывается» в делимом.
- Остаток (2) — это мощность (количество элементов) последнего, неполного класса, если мы будем строить классы последовательно, начиная с 1. Давайте построим:
  - Первый класс (остаток 1): {1, 5, 9}
  - Второй класс (остаток 2): {2, 6, 10}
  - Третий класс (остаток 3): {3, 7}
  - Четвертый класс (остаток 0): {4, 8}

Видно, что класс с остатком 2, в котором находится само число 10, содержит 3 элемента. Это не соответствует остатку 2.

Более корректная интерпретация для конечного множества: Остаток — это элементы, которые «остались» после формирования полных групп размера b (делителя), если мы будем перечислять множество по порядку.

Давайте сформируем группы размера 4 из множества M:

Группа 1: {1, 2, 3, 4}
Группа 2: {5, 6, 7, 8}
Остаток: {9, 10}

Вывод для а):

Частное = 2 (две полные группы по 4 элемента).
Остаток = 2 (два элемента в последней, неполной группе).

Ответ в теоретико-множественной форме:

10 ÷ 4 => M = {1,2,3,4} ∪ {5,6,7,8} ∪ {9,10}, где {1,2,3,4} и {5,6,7,8} — полные группы (частное), а {9,10} — остаток.

Решим задачу для случая б) 10 ÷ 3

Арифметически: 10 ÷ 3 = 3 (частное) и 1 в остатке, так как 10 = 3 * 3 + 1.
Теоретико-множественный смысл: Аналогично, формируем группы размера 3 (делителя) из множества M, перечисляя его по порядку.
- Группа 1: {1, 2, 3}
- Группа 2: {4, 5, 6}
- Группа 3: {7, 8, 9}
- Остаток: {10}

Вывод для б):

Частное = 3 (три полные группы по 3 элемента).
Остаток = 1 (один элемент в последней, неполной группе).

Ответ в теоретико-множественной форме:

10 ÷ 3 => M = {1,2,3} ∪ {4,5,6} ∪ {7,8,9} ∪ {10}, где {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9} — полные группы (частное), а {10} — остаток.

Ответ:

а) 10 ÷ 4
Частное: 2
Остаток: 2
Теоретико-множественная форма: M = {1,2,3,4} ∪ {5,6,7,8} ∪ {9,10}

б) 10 ÷ 3
Частное: 3
Остаток: 1
Теоретико-множественная форма: M = {1,2,3} ∪ {4,5,6} ∪ {7,8,9} ∪ {10}

Задание 6.

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b (где b ≠ 0 ) существует единственная пара чисел q и r таких, что:

a = b × q + r ,где 0 ≤ r < b

Объясните теоретико-множественный смысл каждого компонента этого равенства.

Решение:

Доказательство теоремы (теорема о делении с остатком)

Утверждение: Для любых натуральных чисел a (делимое) и b (делитель, b ≠ 0) существуют единственные целые неотрицательные числа q (неполное частное) и r (остаток) такие, что:
a = b * q + r, где 0 ≤ r < b.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования и доказательство единственности.

Часть 1: Доказательство существования (∃q, r)

Рассмотрим множество всех целых неотрицательных чисел, которые можно представить в виде a — b * x, где x — целое число (может быть и отрицательным, но нас интересуют неотрицательные результаты).

S={a−b∗x∣x∈Z, a−b∗x≥0}

Непустота: Покажем, что множество S не пусто. Подставим, например, x = 0. Тогда элемент множества будет равен a — b*0 = a. Так как a — натуральное число, a ≥ 0. Если a > 0, то оно лежит в S. Если же a = 0 (рассматривая целые неотрицательные числа), то 0 также лежит в S. Значит, S не пусто.

Поскольку S — непустое подмножество неотрицательных целых чисел, по принципу наименьшего числа (аксиома, гласящая, что любое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент), в S существует наименьший элемент. Обозначим его за r.

Так как r ∈ S, по определению множества S существует некоторое целое число q такое, что:

r=a−b∗q

Или, что то же самое:

a=b∗q+r

Теперь докажем, что 0 ≤ r < b.

r ≥ 0 по построению множества S.
Предположим, что r ≥ b. Тогда рассмотрим число r’ = r — b.
- r’ = (a — b*q) — b = a — b*(q+1)
- Так как мы предположили, что r ≥ b, то r’ = r — b ≥ 0.
- Следовательно, r’ также является элементом множества S (поскольку он неотрицателен и имеет вид a — b*x, где x = q+1).
- Но r’ = r — b < r (так как b > 0). Это означает, что мы нашли элемент в S (r’), который меньше наименьшего элемента r. Получили противоречие.

Следовательно, наше предположение r ≥ b неверно. Значит, r < b.

Таким образом, мы нашли числа q и r, удовлетворяющие всем условиям: a = b * q + r и 0 ≤ r < b. Существование доказано.

Часть 2: Доказательство единственности (!∃q, r)

Предположим, что существует две разные пары чисел (q₁, r₁) и (q₂, r₂), такие что:

{a=b∗q1+r1,0≤r1<b; a=b∗q2+r2,0≤r2<b

Приравняем оба выражения:

b∗q1+r1=b∗q2+r2

Перенесем слагаемые:

b∗q1−b∗q2=r2−r1

Проанализируем это равенство:

Левая часть b * (q₁ — q₂) делится на b.
Рассмотрим правую часть r₂ — r₁. Мы знаем, что 0 ≤ r₁ < b и 0 ≤ r₂ < b. Это значит, что r₂ — r₁ по модулю строго меньше b:
- Максимальное значение r₂ — r₁ достигается при r₂ = b-1, r₁ = 0, тогда r₂ — r₁ = b-1.
- Минимальное значение достигается при r₂ = 0, r₁ = b-1, тогда r₂ — r₁ = -(b-1).
- Итак, -(b-1) ≤ r₂ — r₁ ≤ b-1, то есть |r₂ — r₁| < b.

Единственное число, которое одновременно делится на b (т.е. кратно b) и по модулю строго меньше b, — это ноль.
Следовательно:

r2−r1=0 ⟹ r1=r2

Подставим это в уравнение:

b∗(q1−q2)=0

Так как b ≠ 0, получаем:

q1−q2=0 ⟹ q1=q2

Таким образом, пары (q₁, r₁) и (q₂, r₂) совпадают. Предположение о существовании двух разных пар привело к противоречию. Единственность доказана.

Теоретико-множественный смысл каждого компонента

Давайте представим, что у нас есть множество из a предметов (например, a яблок).

a (делимое): Мощность исходного множества. Общее количество элементов.
- Смысл: Исходное большое множество, которое мы хотим разделить.
b (делитель): Мощность «стандартного» или «эталонного» подмножества.
- Смысл: Размер одной порции, группы, коробки. Это «единица измерения» для нашего деления.
q (неполное частное): Количество полных (целых) подмножеств мощности b, которые мы можем образовать из множества мощности a.
- Смысл: Количество целых коробок, которые мы можем полностью заполнить. Это число показывает, сколько раз множество b «помещается» в множество a без остатка.
r (остаток): Мощность множества элементов, которые остались после того, как мы сформировали q полных подмножеств мощности b.
- Смысл: «Остаток», «лишние» элементы, которых не хватило, чтобы собрать еще одну полную коробку размера b. По условию 0 ≤ r < b, что означает: остаток либо пуст (r=0), либо это неполная, меньшая группа.
Равенство a = b * q + r:
- Смысл: Исходное множество мощности a можно разбить на q непересекающихся подмножеств мощности b и одно подмножество мощности r.
- Это классический пример того, как множество разбивается на классы эквивалентности одинакового размера (b) и возможный «довесок» меньшего размера (r).

Наглядный пример: Пусть a = 14 (яблок), b = 4 (яблока в одной упаковке).

q = 3 (мы можем собрать 3 полные упаковки по 4 яблока).
r = 2 (у нас останется 2 яблока, которым не хватило пары для четвертой упаковки).
Равенство: 14 = 4 * 3 + 2.
Теоретико-множественный смысл: Множество из 14 элементов является объединением трех непересекающихся подмножеств по 4 элемента и одного подмножества из 2 элементов.

Задание 7.

Проанализируйте с теоретико-множественной точки зрения следующие ситуации:

а)Деление множества мощностью 15 на подмножества мощностью 5

б)Деление множества мощностью 15 на подмножества мощностью 4

В каком случае деление выполняется без остатка, а в каком — с остатком?

Решение:

Основные понятия

С точки зрения теории множеств, «деление множества на подмножества» означает его разбиение на непересекающиеся подмножества (классы), объединение которых даёт исходное множество.

Мощность множества — это количество его элементов.
Деление без остатка означает, что мы можем разбить исходное множество на несколько равномощных подмножеств так, что каждый элемент исходного множества принадлежит ровно одному из этих подмножеств. Ни одного элемента не остается «лишним».
Деление с остатком означает, что при попытке такого разбиения остается подмножество элементов (остаток), которое не может быть включено в группу требуемой мощности, не нарушив условия равномощности подмножеств.

Анализ ситуаций

а) Деление множества мощностью 15 на подмножества мощностью 5

Пусть у нас есть множество A, где |A| = 15 (мощность A равна 15).
Мы хотим разбить его на подмножества B₁, B₂, B₃, …, где |Bᵢ| = 5 для каждого i.

Чтобы проверить, возможно ли такое разбиение без остатка, нужно выяснить, делится ли ли общее количество элементов на мощность требуемого подмножества.

15 / 5 = 3

Результат — целое число (3). Это означает, что множество A можно разбить ровно на 3 непересекающихся подмножества, в каждом из которых будет по 5 элементов.

A = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃, где B₁ ∩ B₂ = ∅, B₁ ∩ B₃ = ∅, B₂ ∩ B₃ = ∅ и |B₁| = |B₂| = |B₃| = 5.

Вывод: В этом случае деление выполняется без остатка.

б) Деление множества мощностью 15 на подмножества мощностью 4

Снова имеем множество A, где |A| = 15.
Пытаемся разбить его на подмножества C₁, C₂, C₃, …, где |Cᵢ| = 4 для каждого i.

Проверяем делимость: 15 / 4 = 3.75 или 15 = 4 * 3 + 3.

Результат — не целое число. Мы можем образовать 3 полных подмножества по 4 элемента, но после этого у нас останется 15 — (4 * 3) = 3 элемента.

A = C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ ∪ R, где

|C₁| = |C₂| = |C₃| = 4
R — остаточное множество, |R| = 3.

Множество R не может быть включено в группу подмножеств мощности 4, так как для этого в нем должно быть 4 элемента, а есть только 3.

Вывод: В этом случае деление выполняется с остатком.

Ответ

а) Деление на подмножества мощности 5: Выполняется без остатка, так как 15 делится на 5 нацело. Множество разбивается на 3 непересекающихся подмножества равной мощности.
б) Деление на подмножества мощности 4: Выполняется с остатком, так как 15 не делится на 4 нацело. Можно образовать 3 подмножества мощности 4 и одно остаточное подмножество мощности 3.

Общее правило: Деление множества мощности n на подмножества мощности k выполняется без остатка тогда и только тогда, когда n делится на k нацело. В этом случае количество подмножеств равно n / k. Если n не делится на k нацело, то деление происходит с остатком, мощность которого равна n mod k (остаток от деления n на k).

Заключение

Целые неотрицательные числа называют натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств (животных, людей, различных предметов), а также для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и др.).

Содержание обучения математике в начальной школе направлено на формирование у учащихся математических представлений, умений и навыков, которые обеспечат успешное овладение математикой в основной школе. Обучающиеся изучают четыре арифметических действия, овладевают алгоритмами устных и письменных вычислений, учатся вычислять значения числовых выражений, решать текстовые задачи. У детей формируются пространственные и геометрические представления. Весь программный материал представляется концентрически, что позволяет постепенно углублять умения и навыки, формировать осознанные способы математической деятельности.

Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел — целенаправленная работа, которая положительно сказывается на формировании вычислительных навыков у младших школьников, зависит от применения интересных и разнообразных методов работы, от использования знаний и опыта школьников и опоры на них.

Большое число задач, связанных с теоретико-множественным подходом, позволяет установить связь между операциями над множествами и действиями над натуральными числами, что помогает детям избегать ошибок в выборе действия при решении текстовых задач.

Таким образом, разработанные нами задания свидетельствуют о том, что они могут быть использованы учителем начальных классов, как на уроках математики, так и как дополнительный материал.

Список использованных источников

1.	*https://dspace.www1.vlsu.ru/bitstream/123456789/2507/1/01150.pdf*
2.	*https://kpfu.ru/staff_files/F_1728336401/Osnovy_nachalnogo_kursa_matematiki_Sbornik_samost_i_kontr_rabot.pdf; https://diskra.ru/reshenie_zadach/?lesson=1&id=1*
3.	Истомина, Н.Б. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2023. – 158с.
4.	Истомина, Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс» / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2023. – 94с.
5.	Кеньшова, Г.А. Математическое домино. Начальная школа, 1993. – №5. – С.37.
6.	Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь. – М.: Просвещение, – 2025. – 84 с.
7.	Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. Пособие для учителя. / Изд. 2-е, перераб.и доп. Серия: Библиотека учителя начальных классов. – М.: Просвещение, – 2025. – 335 с.

«Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел»

"Академия педагогических проектов Российской Федерации"

КУРАТОР УЧАСТНИКОВ:
Филатова Ольга Петровна
Доцент кафедры начального образования, кандидат педагогических наук в ГУП
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОСВЕЩЕНИЯ»

Свидетельство о публикации в электронном СМИ: СВ №202098

Наименование конкурса: Всероссийский конкурс для студентов «Мой шаг в науку»

Наименование конкурсной работы: «Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел»

Итоговая оценка: 1 место, 89 баллов(-а)

Диплом Всероссийского конкурса, бланк: ЕА №202098

КУРАТОР УЧАСТНИКОВ:Филатова Ольга Петровна Доцент кафедры начального образования, кандидат педагогических наук в ГУП «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОСВЕЩЕНИЯ»

Свидетельство о публикации в электронном СМИ: СВ №202098

Наименование конкурса: Всероссийский конкурс для студентов «Мой шаг в науку»

Наименование конкурсной работы: «Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел»

Итоговая оценка: 1 место, 89 баллов(-а)

Диплом Всероссийского конкурса, бланк: ЕА №202098