ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА
Предмет: Алгебра
Класс: 8
Учитель: Заяц Н.В.
Тема урока: Степень с целым показателем
УМК: Макарычев Ю.Н.
Тип урока: Урок открытия нового знания
Продолжительность: 45 минут
Цель урока: Сформировать понятие степени с целым (отрицательным) показателем, вывести определение и свойства, научить применять их при вычислениях и преобразованиях выражений.
Задачи урока:
• Организовать актуализацию знаний о степени с натуральным показателем и подготовить базу для введения нового понятия.
• Обеспечить открытие учащимися определения степени с целым отрицательным показателем через исследовательскую деятельность в группах.
• Сформировать умение применять свойства степени с целым показателем при вычислениях разного уровня сложности, включая задания функциональной грамотности и формата ВПР.
• Развить навыки самоконтроля, коммуникации и работы в группах и парах через разноуровневые задания.
Планируемые результаты:
Личностные:
• Формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности к саморазвитию на основе мотивации к познанию нового.
• Развитие математического мышления, критичности суждений при анализе учебных ситуаций и оценке своей деятельности.
• Воспитание уважения к мнению товарища, умения работать в команде и принимать совместные решения.
Метапредметные:
• Регулятивные: умение самостоятельно определять цель урока, планировать шаги для достижения результата, осуществлять самопроверку и корректировать свои действия.
• Познавательные: умение строить логическое рассуждение, обнаруживать закономерность, формулировать определение на основе наблюдения, применять знаково-символические средства.
• Коммуникативные: умение формулировать и аргументировать свою точку зрения, слушать и понимать речь других, работать в паре и группе, распределять роли.
Предметные:
• Знать определение степени с целым отрицательным показателем: a^(-n) = 1/a^n при a ≠ 0, а также определение a^0 = 1.
• Уметь вычислять значения степеней с целым показателем, применять свойства степеней при упрощении алгебраических выражений.
• Уметь решать задачи практического содержания (функциональная грамотность), в которых используются степени с целым показателем, в том числе в формате ВПР.
Оборудование:
• Учебник: Алгебра 8, Макарычев Ю.Н. и др.
• Интерактивная доска или мультимедийный проектор
• Презентация к уроку (слайды с таблицей степеней, определением, заданиями)
• Раздаточный материал: карточки с разноуровневыми заданиями (уровни А, В, С)
• Листы для групповой работы (формат А3, маркеры)
• Оценочные листы для самопроверки
• Калькулятор (для проверки вычислений при необходимости)
Ход урока:
| Этап урока | Время | Деятельность учителя | Деятельность учеников | УУД |
|---|---|---|---|---|
| Мотивация к учебной деятельности | 3 мин | Учитель приветствует класс и демонстрирует на доске слайд с практической ситуацией: ‘Масса одной бактерии составляет примерно 0,000001 г. Как удобно записать это число? Учёные пишут: 10^(-6) г. Как вы думаете, что означает такая запись?’ Задаёт вопрос классу: ‘Вы знаете, что такое степень с натуральным показателем. А что делать, если показатель — отрицательное число или ноль? Сегодня мы откроем это вместе.’ Фиксирует тему на доске. | Учащиеся слушают учителя, рассматривают слайд. Высказывают предположения: ‘Это очень маленькое число’, ‘Наверное, это дробь’. Осознают, что сталкиваются с неизвестным понятием, и выражают желание разобраться. Записывают тему урока в тетради: ‘Степень с целым показателем’. | Личностные: формирование учебно-познавательного интереса через связь математики с реальной жизнью. Регулятивные: принятие учебной задачи. Коммуникативные: высказывание предположений, участие в диалоге. |
| Актуализация знаний и пробное учебное действие | 7 мин | Учитель организует работу в парах. Выводит на доску задания для устного счёта и просит пары обсудить ответы: ‘1) Вычислите: 2^4, 3^3, 5^2, 10^3. 2) Запишите свойства степени с натуральным показателем: a^m · a^n = ?, a^m / a^n = ?, (a^m)^n = ?. 3) Попробуйте вычислить: 2^1, 2^0, 2^(-1), 2^(-2) — что получается?’ После обсуждения в парах просит пары озвучить результаты, особо акцентируя внимание на затруднении с отрицательными показателями. | Учащиеся работают в парах: обсуждают и записывают ответы. С первыми двумя заданиями справляются уверенно: 2^4=16, 3^3=27 и т.д., воспроизводят свойства. При попытке вычислить 2^(-1) и 2^(-2) возникает затруднение — пары дают разные ответы или отказываются отвечать. Пары по очереди озвучивают свои версии, фиксируется противоречие. | Познавательные: воспроизведение знаний о степени с натуральным показателем, попытка применить их в новой ситуации. Коммуникативные: работа в парах, совместное обсуждение, формулировка ответа. Регулятивные: осуществление пробного учебного действия, фиксация результата. |
| Выявление места и причины затруднения | 4 мин | Учитель организует фронтальную беседу: ‘Итак, при вычислении 2^1, 2^0, 2^(-1), 2^(-2) у нас возникло затруднение. Скажите: с чем именно вы затруднились? Почему вы не можете воспользоваться знакомым определением?’ Подводит учащихся к формулировке: ‘Определение степени с натуральным показателем предполагает перемножение основания n раз, но умножить число само на себя (-1) раз невозможно — это бессмысленно. Значит, нужно новое определение.’ Записывает на доске: ‘Проблема: что такое a^(-n) и a^0?’ | Учащиеся анализируют ситуацию и формулируют причину затруднения: ‘Мы не знаем, как перемножить число само на себя отрицательное число раз’, ‘Старое определение не работает’. Осознают, что имеющихся знаний недостаточно. Один из учеников формулирует: ‘Нам нужно придумать новое определение для степени с нулевым и отрицательным показателем’. | Регулятивные: анализ ситуации затруднения, определение места разрыва в знаниях. Познавательные: логический анализ причины затруднения, формулировка проблемы. Коммуникативные: участие в фронтальной беседе, аргументация своей позиции. |
| Построение проекта выхода из затруднения | 6 мин | Учитель организует групповую работу (4 группы по 4–5 человек). Каждая группа получает лист А3 с заданием-исследованием: ‘Рассмотрите таблицу: 2^4=16, 2^3=8, 2^2=4, 2^1=2, 2^0=?, 2^(-1)=?, 2^(-2)=?. Найдите закономерность (что происходит с результатом при уменьшении показателя на 1?) и продолжите таблицу. Сформулируйте предполагаемое определение a^0 и a^(-n).’ Учитель консультирует группы, задаёт наводящие вопросы: ‘Во сколько раз каждый следующий результат отличается от предыдущего?’ | Учащиеся работают в группах: заполняют таблицу, замечают, что при уменьшении показателя на 1 результат делится на 2 (на основание). Выводят: 2^0 = 2^1 / 2 = 1; 2^(-1) = 2^0 / 2 = 1/2; 2^(-2) = 1/4. Формулируют гипотезу: ‘a^0 = 1; a^(-n) = 1/a^n’. Каждая группа записывает свою формулировку на листе А3 и готовится представить результат. Спикер группы формулирует определение. | Познавательные: исследовательская деятельность, обнаружение закономерности, построение гипотезы, знаково-символическое моделирование. Регулятивные: планирование шагов исследования, совместное целеполагание. Коммуникативные: распределение ролей в группе, совместное построение вывода, подготовка публичного выступления. |
| Реализация построенного проекта | 7 мин | Учитель приглашает спикеров групп представить выводы. После выступлений подводит итог, открывает слайд с официальным определением из учебника: ‘a^(-n) = 1/a^n, где a ≠ 0, n — натуральное число; a^0 = 1, где a ≠ 0.’ Сравнивает формулировки групп с учебником, отмечает точность и полноту. Объясняет, почему a ≠ 0: ‘При a = 0 деление на нуль невозможно.’ Демонстрирует примеры: ‘5^(-2) = 1/25; (1/3)^(-2) = 9; 7^0 = 1.’ Просит учеников записать определение в тетрадь. | Спикеры групп поочерёдно представляют выводы, сравнивают со своими формулировками, корректируют при необходимости. Все учащиеся записывают в тетрадь определение: ‘a^(-n) = 1/a^n (a ≠ 0); a^0 = 1 (a ≠ 0)’ и три примера. Задают уточняющие вопросы: ‘А что если a = 0 и n = 0?’. Осознают ограничение определения. | Познавательные: соотнесение гипотезы с научным определением, установление соответствия, извлечение информации из учебника. Регулятивные: корректировка собственных формулировок, принятие нового знания. Коммуникативные: представление результата группы, участие в коллективном обсуждении. |
| Первичное закрепление с комментированием | 7 мин | Учитель организует работу у доски с комментированием. Вызывает учеников по одному и предлагает выполнить задания вслух с объяснением каждого шага: ‘1) Вычислите: 3^(-2); 2^(-4); (1/5)^(-1). 2) Запишите в виде степени с отрицательным показателем: 1/8; 1/100. 3) (Задание в формате ВПР) Запишите число 0,001 в виде степени числа 10.’ После каждого ответа учитель задаёт классу: ‘Согласны? Есть ли другой способ? Что было применено?’ Акцентирует внимание на алгоритме и возможных ошибках. | Ученики у доски объясняют решение вслух: ‘3^(-2) = 1/3^2 = 1/9, так как по определению a^(-n) = 1/a^n’. Класс следит за рассуждением, при необходимости дополняет или исправляет. Ученики в тетрадях записывают решения вместе с комментатором. При выполнении задания ВПР формата: ‘0,001 = 1/1000 = 1/10^3 = 10^(-3)’ — проговаривают связь с десятичными дробями. | Познавательные: применение определения по алгоритму, установление связи между десятичными дробями и степенями. Регулятивные: пошаговое выполнение действия с самоконтролем, корректировка ошибок. Коммуникативные: комментирование вслух, взаимооценка ответов одноклассников. |
| Самостоятельная работа с самопроверкой | 6 мин | Учитель раздаёт карточки с разноуровневыми заданиями. Уровень А (базовый): ‘1) Вычислите: 4^(-2); 10^(-3); 2^0. 2) Запишите в виде обычной дроби: 6^(-1); 3^(-3).’ Уровень В (повышенный): ‘1) Упростите: a^(-3) · a^5; b^4 / b^(-2). 2) Задание на функциональную грамотность: расстояние от Земли до Солнца — около 1,5·10^8 км. Запишите это число без степени.’ Уровень С (высокий, ВПР-формат): ‘Найдите значение выражения: (2^(-3) · 4^2) / 2^(-1). Объясните каждый шаг.’ После выполнения учитель открывает слайд с ответами для самопроверки и просит учеников оценить себя по критериям на оценочном листе. | Учащиеся самостоятельно выбирают уровень (или получают карточку согласно дифференциации учителя) и выполняют задания в тетради. По истечении времени проверяют свои ответы по образцу на доске: А-уровень: 4^(-2)=1/16; 10^(-3)=0,001; 2^0=1 и др. В-уровень: a^(-3)·a^5=a^2; 1,5·10^8=150 000 000. С-уровень: пошагово упрощают выражение. Заполняют оценочный лист: отмечают количество верных ответов, выставляют себе балл. | Регулятивные: самостоятельное выполнение задания, самопроверка по эталону, самооценка результата. Познавательные: применение определения и свойств степени, работа с информацией в контексте функциональной грамотности, решение задач ВПР-формата. Личностные: осознанный выбор уровня сложности, честная самооценка. |
| Включение в систему знаний и повторение | 3 мин | Учитель организует парную работу и предлагает задание на установление связи с ранее изученным: ‘Обсудите с соседом: как свойства степени с натуральным показателем (произведение, частное, степень степени) работают для целого показателя? Приведите пример для каждого свойства с отрицательными показателями.’ Фиксирует на доске примеры, названные парами: ‘a^(-2) · a^(-3) = a^(-5); a^(-6) / a^(-2) = a^(-4)’. Подчёркивает: ‘Все свойства сохраняются для целых показателей’. | Пары обсуждают и приводят примеры, убеждаясь, что свойства степени распространяются на целые показатели. Несколько пар озвучивают свои примеры. Учащиеся убеждаются в единстве системы знаний о степени: новое понятие органично вписывается в уже известное. Записывают в тетрадь общий вывод: ‘Свойства степени справедливы для любого целого показателя (a ≠ 0)’. | Познавательные: систематизация знаний, установление связей между новым и ранее изученным материалом. Коммуникативные: работа в парах, совместное построение вывода. Регулятивные: обобщение результатов урока. |
| Рефлексия учебной деятельности | 2 мин | Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы рефлексии (на слайде): ‘1) Что нового я узнал(а) сегодня? 2) Что у меня получилось хорошо? 3) Что вызвало затруднение и над чем нужно поработать дополнительно?’ Просит 2–3 учеников озвучить свои ответы. Подводит итог урока: ‘Сегодня вы самостоятельно открыли определение степени с целым показателем, научились вычислять значения и применять свойства.’ Сообщает домашнее задание дифференцированно: базовый уровень — §…, №…(a,b); повышенный — дополнительно №… (задача практического содержания из учебника). | Учащиеся письменно отвечают на вопросы рефлексии в тетради (1–2 предложения на каждый вопрос). Желающие озвучивают свои ответы: ‘Я узнал, что 10^(-3) = 0,001 — это очень удобно для науки’; ‘Мне трудно давалось упрощение выражений с буквами — потренируюсь дома’. Записывают домашнее задание согласно выбранному уровню. | Личностные: адекватная самооценка результатов деятельности, осознание ценности математических знаний. Регулятивные: оценка степени достижения цели урока, планирование дальнейшей работы по устранению пробелов. Коммуникативные: умение формулировать и выражать свои мысли в устной и письменной форме. |
Технологическая карта урока «Степень с целым показателем»
