ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

автор: Саарян Анеля Наириена
студентка
ФГБОУ ВО «Армавирский государственный педагогический университет

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

УДК 511

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

Саарян Анеля Наириевна 

Студент                      

ФГБОУ ВО «Армавирский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: Шкрябко Никита Андреевич

Преподаватель  кафедры 

ФГБОУ ВО «Армавирский государственный педагогический университет»

Аннотация: В данной статье рассматриваются основные элементы теории чисел, которые входят в школьный курс математики. Обсуждаются ключевые темы, такие как делимость, простые числа и классические задачи, а также методы обучения, включая интерактивные занятия и проектную деятельность. Подчеркивается важность теории чисел для развития логического мышления и аналитических способностей учащихся, а также ее значимость для подготовки к математическим олимпиадам. Статья акцентирует внимание на том, как элементы теории чисел обогащают знания школьников и способствуют их всестороннему развитию в области математики.

Ключевые слова: теория чисел, делимость, простые числа, алгоритм Евклида, наибольший общий делитель (НОД).

UDC 511

ELEMENTS OF NUMBER THEORY IN THE SCHOOL MATHEMATICS COURSE.

Saaryan Anelya Nairievna 

Student 

Armavir State Pedagogical University

Scientific Supervisor: Nikita Andreevich Shkriabko

Lecturer of the department 

Armavir State Pedagogical University

Abstract: This article discusses the basic elements of number theory that are included in the school mathematics course. Key topics such as divisibility, prime numbers, and classical problems are discussed, as well as teaching methods, including interactive classes and project activities. The importance of number theory for the development of logical thinking and analytical abilities of students is emphasized, as well as its importance for preparing for mathematical Olympiads. The article focuses on how the elements of number theory enrich the knowledge of school children and contribute to their comprehensive development in the field of mathematics.

Keywords: number theory, divisibility, prime numbers, Euclid algorithm

Введение: Теория чисел — это один из самых древних и увлекательных разделов математики, который изучает свойства целых чисел. Она охватывает множество тем, включая простые числа, делимость, остаточные классы, диофантовые уравнения и многое другое. В школьном курсе математики элементы теории чисел играют важную роль, так как они не только развивают логическое мышление, но и формируют базу для дальнейшего изучения более сложных математических концепций. В данной статье мы рассмотрим ключевые элементы теории чисел, их применение в школьном курсе и значимость для развития математических навыков учащихся.

Простые числа.

 Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые имеют ровно два делителя: единицу и само число. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. Простые числа являются основой теории чисел, так как каждое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых чисел, что формулируется в теореме о разложении на множители.

Свойства простых чисел

1. Бесконечность простых чисел: Доказано, что простых чисел бесконечно много. Это было показано Евклидом в его знаменитом доказательстве.
2. Простые числа и их распределение: Простые числа становятся реже по мере увеличения чисел, но их распределение подчиняется определённым закономерностям, которые изучаются в более продвинутых курсах.

Применение в школьном курсе: В школьной программе изучение простых чисел начинается с определения и поиска простых чисел в пределах заданного диапазона. Учащиеся знакомятся с различными методами, такими как решето Эратосфена, которое позволяет эффективно находить все простые числа до заданного числа n.

Пример задачи: Найдите все простые числа до 30. Учащиеся могут использовать решето Эратосфена, чтобы исключить составные числа и оставить только простые.

Делимость.

Разделить целое число m на целое число n – означает нахождение целого k, при умножении которого на n получается m, то есть m =n·k. Если для целых чисел m и n такое целое число k существует, то говорят, что m делится на k. Если m делится на k, то k называется делителем m. Например, 64 делится на 8, так как существует такое целое число k, что 64=8·k, а именно k=8; число 27 не делится на 6, так как не существует такого целого числа k, при котором верно равенство 27 = 6·k. Вместо «m делится на k» говорят также: «m кратно k», «число k делитель m», «k делит m». Обозначают: m⋮k (m делится на k). Это эквивалентно пониманию некоего соотношения между ними. Делимость как категория относится только к целым числам. Для рациональных чисел данная категория не имеет смысла ввиду обязательного наличия результата деления одного рационального числа на отлично от нуля 13 другое. Поэтому под «числом», говоря о делимости, подразумевают целое число.

В школьном курсе рассматриваются различные свойства делимости, такие как:

1. Транзитивность: Если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c.
2. Свойства делимости: Например, если a≡b mod m, то a и b имеют одинаковые остатки при делении на m

Применение в задачах: Задачи на делимость часто встречаются в экзаменационных материалах. Например, учащимся могут быть предложены задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел. Эти понятия можно эффективно изучать с помощью алгоритма Евклида, который позволяет находить НОД двух чисел за конечное число шагов.

Пример задачи: Найдите НОД чисел 48 и 18. Учащиеся могут использовать алгоритм Евклида:

1. 48mod18=12
2. 18mod12=6
3. 12mod6=0

Таким образом, НОД(48, 18) = 6.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это один из самых известных и эффективных методов для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Этот алгоритм был предложен древнегреческим математиком Евклидом в его труде «Начала» и остается актуальным в современном математическом анализе и вычислениях. В школьном курсе математики алгоритм Евклида служит важным инструментом для изучения делимости и свойств целых чисел.

Основная идея алгоритма заключается в использовании свойства делимости: НОД двух чисел a  и b  (где  a > b ) равен НОД числа b  и остатка от деления  a на  b . Это можно записать в виде:

НОД(a,b)=НОД(b,a mod b)

Процесс продолжается до тех пор, пока одно из чисел не станет равным нулю. Когда это происходит, другое число является НОД.

Алгоритм Евклида можно описать следующими шагами:

1. Инициализация: Начинаем с двух целых чисел a и b, где a≥b.
2. Вычисление остатка: Находим остаток от деления a на b (обозначается как r = a mod b).
3. Замена: Заменяем a на b и b на r.
4. Повторение: Повторяем шаги 2 и 3, пока b не станет равным нулю.
5. Результат: Когда b=0, НОД равен a.

Пример работы алгоритма

Рассмотрим пример нахождения НОД чисел 48 и 18.

1. Первый шаг:
   • a=48, b=18
   • Находим остаток: 48mod18=12
   • Заменяем: a=18, b=12
2. Второй шаг:
   • a=18, b=12
   • Находим остаток: 18mod12=6
   • Заменяем: a=12, b=6
3. Третий шаг:
   • a=12, b=6
   • Находим остаток: 12mod6=0
   • Заменяем: a=6, b=0
4. Заключительный шаг:
   • Поскольку b=0, НОД равен a=6.

Таким образом, НОД(48, 18) = 6.

Применение в задачах: Алгоритм Евклида можно использовать для решения различных задач, связанных с делимостью. Например, нахождение НОД для нескольких чисел, а также применение его в задачах на нахождение НОК.

Остаточные классы

Остаточные классы — это важная концепция в теории чисел, которая позволяет работать с числами по модулю. Если два числа a  и  b  дают одинаковый остаток при делении на  m , то они принадлежат одному и тому же остаточному классу по модулю  m.

Применение в школьном курсе: в школьной программе остаточные классы изучаются в контексте задач на делимость и решение линейных уравнений. Учащиеся могут решать задачи, используя свойства остаточных классов, что помогает им развивать навыки работы с числами.

Заключение

Элементы теории чисел в школьном курсе математики не только обогащают знания учащихся, но и развивают их аналитические способности. Изучение простых чисел, делимости, алгоритма Евклида и остаточных классов формирует прочную основу для дальнейшего изучения более сложных тем в математике. Важно, чтобы преподаватели уделяли должное внимание этим элементам, так как они способствуют не только пониманию теории чисел, но и развитию общего математического мышления у школьников.

Таким образом, теория чисел является неотъемлемой частью математического образования, и её элементы должны быть представлены в школьной программе с акцентом на практическое применение и развитие критического мышления.

Список использованных источников:

1. Бухштаб А. А. Теория чисел : учеб. пособ. для студентов педвузов. М.: Просвещение, 1966. 120 с.
2. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. – М.: Гелиос АРВ, 2001.
3. Математика, 5 класс: учебник для общеобразовательных организ а-ций: / Н. Я. Виленкин [и др.]; М. : Мнемозина, 2019. 288 с