«Технологическая карта урока»

Сегодняшний урок я хочу начать со слов французского философа-материалиста  Дени Дидро: «Начинать исследования можно по-разному… Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки»

Включаются в деловой ритм урока.

— создание условий для самопознания и самореализации;

— создание комфортной здоровье сберегающей среды.

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры: 

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = х2 одну общую точку (1; 1), однако не является касательной к параболе. 

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

2) Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку (π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида  (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.

Попробуйте сами сформулировать цель  и тему урока.

На данном уроке, мы с вами должны понять, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной и рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

— самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; выдвижение гипотез и их обоснование.

Личностные:

— самоопределение (внутренняя позиция ученика).

Коммуникативные:

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

1. Графиком какой функции является прямая? 

2. Каким уравнением задается линейная функция? 

3. Как называется число, стоящее перед «x»? 

4. Как связано угловой коэффициент к и производная функции в точке?

1. Линейной;
2. y=kx+b;
3. Угловой коэффициент прямой;
4. к=f,x0

— уметь извлекать из математических текстов необходимую информацию.

Коммуникативные:

— уметь выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Мы знаем, что уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y=kx+b.

Для того, чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b. Найдем k (из геометрического смысла производной):

k=f,1=3∙12=3, т.е. k=3.

Наше уравнение приобретает вид: y=3x+b. Далее нам необходимо найти ординату точки –значение функции в точке x0= 1: f,1=13=1. Точка касания имеет координаты (1;1).

Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем: 1=3∙1+b; значит, b=-2. Подставим найденные значения k=3,b=-2 в уравнение прямой: y=3x-2. 

-уметь формулировать учебную задачу, определять последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата.

Коммуникативные:

— уметь выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y=kx+b. 

Из геометрического смысла производной: k=f,x0y=f,x0x+b.Значение функции в точке x0естьf(x), значит, касательная проходит через точку с координатами (x0;fx0)→fx0=f,x0x+b. 

   Выразим из данной записи b: b=fx0—f,x0x.

Подставим все выражения в уравнение прямой: 

y=f,x0x+b=f,x0x+fx0—f,x0x0=f,x0x-x0+fx0.

Принято записывать уравнение касательной в следующем виде: 

y=fx0+f,x0x-x0.

— уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других.

Регулятивные:

— уметь работать по коллективному плану.

1. Найти значение функции в точке x0;

2. Вычислить производную функции;

3. Найти значение производной функции в точке x0;

4. Подставить полученные числа в формулу

y=fx0+f,x0x-x0;

5. Привести уравнение к стандартному виду.

— Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2-4x-3x2в точке с абсциссой x0=-2. 

   Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях. 

Ответ: y=8x+14.

• Применяя формулу, выполните №37.1

Решают примеры в тетрадях.

-уметь проговаривать последовательность действий на уроке.

Коммуникативные: 

— уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других.

— умение соотносить свои действия с действиями учителя;

-умения контролировать в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

-умение одновременно удерживать несколько видов деятельности: двигательную, речевую, мыслительную.

Коммуникативные:

— умение интегрироваться в группу сверстников  и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.

Личностные:

-умение применять в жизненных ситуациях и учебном процессе способы снятия напряжения, концентрации внимания, умение включаться в общую деятельность, развивать творческий потенциал.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1                           Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, x0=1                     f(x)= х-3х², x0=2

Ответы: 1 вариант: у=3х;                               2 вариант: у= -11х+12

-уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки.

Познавательные: 

— использовать знаково-символические средства.

Личностные: 

-уметь осуществлять самооценку.

2. Какие цели мы с вами ставили на этот урок? 

3. Достигли ли вы цели урока? 

4. Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?

Собирает тетради с работами. Дает оценку работы класса.

— вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке;

Сдают тетради с выполненными работами.

— проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха).

— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

— оценивать правильность выполненных действий;

— анализировать и оценивать результаты своей деятельности.